山東專用2025屆高考數(shù)學二輪專題闖關(guān)導練四熱點問題專練熱點十離心率含解析

PAGE熱點(十)離心率1．(橢圓離心率＋等差數(shù)列)若一個橢圓長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)2．(雙曲線離心率＋拋物線性質(zhì))已知拋物線x2＝4y的焦點F到雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)一條漸近線的距離是eq\f(1,2)，則該雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)3．(橢圓離心率＋直線與圓相切)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)4．[2024·山東臨沂模擬](雙曲線離心率＋直線與圓相交)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓x2＋(y－2)2＝2截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D．2eq\r(5)5．[2024·山東九校聯(lián)考](雙曲線離心率＋直線與圓相切)已知直線l1，l2為雙曲線M：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線，若l1，l2與圓N：(x－2)2＋y2＝1相切，雙曲線M離心率的值為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\r(3)D.eq\f(4\r(3),3)6．(橢圓離心率)以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一點C為圓心的圓與x軸恰好相切于橢圓的一個焦點F，且與y軸交于M，N兩點．若△MNC為正三角形，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)7．[2024·山東淄博模擬](雙曲線離心率)已知直線y＝kx(k≠0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F.若△ABF的面積為4a2，則雙曲線的離心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)8．[2024·山東濟南模擬](橢圓離心率＋橢圓定義)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(7),4)9．[2024·山東臨沂質(zhì)量檢測](雙曲線率心率＋直線對稱)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，直線l為雙曲線C的一條漸近線，F(xiàn)1關(guān)于直線l的對稱點為F′1，且點F′1在以F2為圓心、以半虛軸長b為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(5)C．2D.eq\r(3)10．(多選題)[2024·山東臨沂羅莊區(qū)模擬](雙曲線離心率)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線的左支上，若2|MF2|＝5|MF1|，則雙曲線的離心率可以是()A．3B.eq\f(7,3)C．2D.eq\f(5,3)11．(多選題)[2024·山東泰安模擬](雙曲線離心率＋余弦定理)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，且|PF1|＝2|PF2|，若sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，則對雙曲線中a，b，c，e的有關(guān)結(jié)論正確的是()A．e＝eq\r(6)B．e＝2C．b＝eq\r(5)aD．b＝eq\r(3)a12．(多選題)(橢圓、雙曲線的離心率)已知△ABC為等腰直角三角形，其頂點為A，B，C，若圓錐曲線E以A，B為焦點，并經(jīng)過頂點C，該圓錐曲線E的離心率可以是()A.eq\r(2)＋1B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(2)－113．[2024·山東棗莊質(zhì)量檢測](雙曲線離心率)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|(O為坐標原點)，則C的離心率為________．14．[2024·山東淄博試驗中學模擬](雙曲線離心率)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－2,0)、F2(2,0)，M是C右支上的一點，MF1與y軸交于點P，△MPF2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點為Q，若|PQ|＝eq\r(2)，則C的離心率為________．15．(橢圓、雙曲線離心率)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．16．[2024·山東省試驗中學、淄博試驗中學、煙臺一中、萊蕪一中四校聯(lián)考](雙曲線離心率＋直線與圓相切)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的方程是2eq\r(2)x－y＝0，則雙曲線E的離心率e＝________；若雙曲線E的實軸長為2，過雙曲線E的右焦點F可作兩條直線與圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，則實數(shù)m的取值范圍是________．熱點(十)離心率1．答案：B解析：由題意得2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac,3a2－2ac－5c2＝0，兩邊同除以a2得到3－2e－5e2＝0，因為0<e<1，所以e＝eq\f(3,5)2．答案：C解析：由拋物線x2＝4y得焦點F(0,1)，而雙曲線C的漸近線方程為bx±ay＝0，則有eq\f(a,\r(a2＋b2))＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,2)，則雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2，故選C.3．答案：A解析：由題意知以線段A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為a又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故選A.4．答案：B解析：設圓心到雙曲線的漸近線的距離為d，由弦長公式可得，2eq\r(2－d2)＝2，解得d＝1，又雙曲線C的漸近線方程為bx±ay＝0，圓心坐標為(0,2)，故eq\f(|0±2a|,\r(a2＋b2))＝1，即eq\f(2a,c)＝1，所以雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2，故選B.5．答案：B解析：設漸近線方程y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(b,a)x±y＝0，與圓N：(x－2)2＋y2＝1相切，圓心到直線的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1))＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1,3b2＝a2,3(c2－a2)＝a2，所以3c2＝4a2，e2＝eq\f(4,3)，e＞1，e＝eq\f(2\r(3),3).故選B.6．答案：D解析：不妨設點F為橢圓的右焦點，點C在x軸上方，由題意得點C的橫坐標為c，代入橢圓的方程得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，則△MNC的邊長為eq\f(b2,a)，高為c，則cos30°＝eq\f(c,\f(b2,a))＝eq\f(ac,a2－c2)＝eq\f(\r(3),2)，化簡得3c2＋2eq\r(3)ac－3a2＝0，則3e2＋2eq\r(3)e－3＝0，解得e＝eq\f(\r(3),3)或e＝－eq\r(3)(舍去)，故選D.7．答案：D解析：設雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線的對稱性得圓O經(jīng)過點F1，且|BF1|＝|AF|，設|BF1|＝|AF|＝m，|BF|＝n，因為BF⊥AF，BF1⊥BF，所以S△ABF＝eq\f(1,2)mn＝4a2，m2＋n2＝4c2，則mn＝8a2，又因為|BF1|－|BF|＝|m－n|＝2a，所以|m－n|2＝m2－2mn＋n2＝4c2－16a2＝4a2，化簡得雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，故選D.8．答案：C解析：設|F2B|＝m，則|F1B|＝2a－m，|AF2|＝2m，所以|AF1|＝2a－2m，|AB|＝|AF2|＋|F2B|＝3m，由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，得AF1⊥AF2，AF1⊥AB，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|AF1|2＋|AB|2＝|F1B|2,|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2m2＋9m2＝2a－m2，,2a－2m2＋4m2＝4c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3m，,c＝\r(5)m，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，故選C.9．答案：B解析：(法一)易知F1(－c,0)，設F′1(x0，y0)，則F1，F(xiàn)′1的中點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)，\f(y0,2)))，易知M點在雙曲線的一條漸近線上，不妨設該漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，再結(jié)合直線F1F′1與直線l垂直可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0－c,2)×b－a×\f(y0,2)＝0，,\f(y0,x0＋c)×\f(b,a)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(b2－a2,c)，,y0＝－\f(2ab,c).))再依據(jù)|F′1F2|＝b，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2－a2,c)－c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2ab,c)))2)＝b，整理可得4a2＝b2，故5a2＝c2，故e＝eq\r(5)，故選B.(法二)依據(jù)題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則F1到該漸近線的距離為eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，設F1關(guān)于該漸近線的對稱點為F′1，F(xiàn)1F′1與該漸近線的交點為A，所以F1F′1＝2b，A為線段F1F′1的中點，又O是線段F1F2的中點，所以OA∥F2F′1，所以∠F1F′1F2＝90°，即△F1F′1F2為直角三角形，由勾股定理得4c2＝b2＋(2b)2，所以4c2＝5c2－5a2，離心率e10．答案：BCD解析：由雙曲線的定義可得|MF2|－|MF1|＝eq\f(3,2)|MF1|＝2a.依據(jù)點M在雙曲線的左支上，可得|MF1|＝eq\f(4a,3)≥c－a，∴e＝eq\f(c,a)≤eq\f(7,3)，∴雙曲線離心率的最大值為eq\f(7,3)，故選BCD.11．答案：ABCD解析：由雙曲線定義可知：|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a∴|PF1|＝4a，由sin∠F1PF2＝eq\f(\r(15),4)，可得cos∠F1PF2＝±eq\f(1,4)，在△PF1F2中，由余弦定理可得：eq\f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)＝±eq\f(1,4)，解得：eq\f(c2,a2)＝4或eq\f(c2,a2)＝6，∴e＝eq\f(c,a)＝2或eq\r(6).∴c＝2a或c＝eq\r(6)a又∵c2＝a2＋b2，∴b＝eq\r(3)a或b＝eq\r(5)a.故選ABCD.12．答案：ABD解析：(1)△ABC為等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,2)，圓錐曲線E為橢圓，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(\r(2),2)，(2)△ABC為等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,4)，A或B為直角，圓錐曲線E為橢圓，e＝eq\f(AB,CA＋CB)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.(3)△ABC為等腰直角三角形，假如C＝eq\f(π,4)，A或B為直角，圓錐曲線為雙曲線，e＝eq\f(AB,|CA－CB|)＝eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.故選ABD.13．答案：2解析：由題意得F(c,0)，一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴|FD|＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由|FD|＝eq\f(\r(3),2)|OF|得b＝eq\f(\r(3),2)c，∴b2＝eq\f(3,4)c2＝c2－a2，c2＝4a2，∴e＝eq\f(c,a)＝2.14．答案：eq\r(2)解析：設△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知|MA|＝|MB|，|PA|＝|PQ|，|BF2|＝