2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率6正態(tài)分布課后作業(yè)含解析北師大版選修2-3

PAGE6正態(tài)分布[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列函數(shù)中哪個是正態(tài)分布密度函數(shù)()A．f(x)＝eq\f(1,\r(2πσ))e，μ和σ(σ>0)都是實數(shù)B．f(x)＝eq\f(\r(2π),2π)eC．f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))eD．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e解析：細(xì)致比照正態(tài)分布密度函數(shù)：f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)·e，x∈(－∞，＋∞)，留意指數(shù)上的σ和系數(shù)分母上的σ要一樣，且指數(shù)部分是一個負(fù)數(shù)．選項A是錯誤的，錯在系數(shù)部分中的σ應(yīng)當(dāng)在分母根號的外面．選項B是正確的，它是正態(tài)分布密度函數(shù)N(0,1)．選項C是錯誤的，從系數(shù)方面看σ＝2，可是從指數(shù)部分看σ＝eq\r(2)，不統(tǒng)一．選項D是錯誤的，指數(shù)部分缺少一個負(fù)號．所以，選擇B.答案：B2．關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)有下列敘述：(1)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，這條曲線在x軸的上方；(2)曲線關(guān)于直線x＝0對稱，這條曲線只有當(dāng)x∈(－3σ，3σ)時，才在x軸的上方；(3)曲線關(guān)于y軸對稱，因為曲線對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)是一個偶函數(shù)；(4)曲線在x＝μ時位于最高點，由這一點向左、右兩邊延長時，曲線漸漸降低；(5)曲線的對稱軸由μ確定，曲線的形態(tài)由σ確定；(6)當(dāng)μ肯定時，σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．上述說法正確的是()A．只有(1)(4)(5)(6) B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)解析：正態(tài)曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ時處于最高點并由該點向左、右兩邊無限延長時，漸漸降低的曲線，該曲線總是位于x軸的上方，曲線的形態(tài)由σ確定，而且當(dāng)μ肯定時，比較若干不同的σ對應(yīng)的正態(tài)曲線，可以發(fā)覺σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“高瘦”．答案：A3．設(shè)隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p解析：由P(ξ>1)＝p，知P(－1<ξ<1)＝1－2p，∴P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－p.答案：D4．設(shè)隨機變量X聽從正態(tài)分布，且相應(yīng)的分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，則()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：由f(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))e－，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故選C.答案：C5．若隨機變量X聽從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點的坐標(biāo)是(10，eq\f(1,2))，則該隨機變量的方差等于()A．10 B．100C.eq\f(2,π) D.eq\r(\f(2,π))解析：由正態(tài)分布密度曲線上的最高點為(10，eq\f(1,2))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴DX＝σ2＝eq\f(2,π).答案：C6．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(X<3)＝________.解析：由正態(tài)分布圖像知，μ＝3為該圖像的對稱軸，P(X<3)＝P(X>3)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．已知隨機變量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，則P(a≤x＜4－a)＝________.解析：由正態(tài)分布圖像的對稱性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.答案：0.368．在某項測量中，測量結(jié)果X聽從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．解析：∵X～N(1，σ2)，故X落在(0,1)及(1,2)內(nèi)的概率相同均為0.4，如圖所示，故X落在(0,2)內(nèi)的概率為P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.89．某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X(g)聽從正態(tài)分布N(184，2.52)，求：(1)隨機抽取1罐，其實際凈重超過186.5g的概率；(2)隨機抽取1罐，其實際凈重大于179g小于等于189g解析：由題意知μ＝184，σ＝2.5.(1)∵P(X＞186.5)＝P(X＜181.5)，又P(181.5≤X≤186.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683，∴P(X＞186.5)＝eq\f(1,2)[1－P(181.5≤X≤186.5)]＝eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.(2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.10．某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)聽從正態(tài)分布N(4,0.25)，質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查一件，測得它的外直徑為5.7cm，試問該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？請說明理由．解析：由于隨機變量X～N(4,0.25)，由正態(tài)分布的性質(zhì)和3σ原則可知，正態(tài)分布N(4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7?(2.5,5.5)，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了小概率事務(wù)，所以據(jù)此可認(rèn)為該批零件是不合格的．[B組實力提升]1．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若隨機變量X～N(2,100)，若X落在區(qū)間(－∞，k)和(k，＋∞)內(nèi)的概率是相等的，則k等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)內(nèi)的概率是相等的，所以正態(tài)曲線在直線x＝k的左側(cè)和右側(cè)與x軸圍成的面積應(yīng)當(dāng)相等，于是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝k對稱，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘車從A地到B地，所需時間(分鐘)聽從正態(tài)分布N(30,100)，則此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.954，那么此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.954－0.683＝0.271，由正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x＝30對稱得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.1355.答案：0.13554．若一個正態(tài)分布密度曲線對應(yīng)的函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).(1)求該正態(tài)分布密度曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4)內(nèi)的概率．解析：(1)由于該正態(tài)分布密度曲線對應(yīng)的函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，即μ＝0，由eq\f(1,4\r(2π))＝eq\f(1,\r(2π)σ)，解得σ＝4，所以該函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.5．某投資商制定了兩個投資方案，打算選擇其中一個．已知這兩個投資方案的利潤x(萬元)分別聽從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)．該投資商要求“利潤超過5萬元”的概率盡量地大，他應(yīng)當(dāng)選擇哪一個方案？解析：①當(dāng)選擇X～N(8,32)的方案時，則有μ＝8，σ＝3.∴P(8－3<X<8＋3)＝P(5<X<11)＝0.683，∴P(X>5)＝eq\f(1,2)＋P(5<X<8)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(5<X<11)＝0.5＋0.3415＝0.8415.即選擇X～N(8,32)的方案時，利潤超過5萬元的概率為0.8415.②當(dāng)選擇X～N(7,12)的方案時，則有μ′＝7，σ′＝1.∴P(7－2×1<X<7＋