2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)2直線和圓的方程2.5.1第2課時(shí)直線與圓的方程的應(yīng)用課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二十一)直線與圓的方程的應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4C．3 D．2B[圓心(3，－1)到直線x＝－3的距離d＝3－(－3)＝6.則|PQ|的最小值為6－2＝4，故選B．]2．過點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2,1)，則圓C的方程是()A．(x－5)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝4C．(x－5)2＋y2＝4 D．(x－3)2＋y2＝2D[∵直線x－y－1＝0的斜率為1，∴過點(diǎn)B的圓的直徑所在直線的斜率為－1.∵B(2,1)，∴此直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,3－a)，∵|AC|＝|BC|，即eq\r(a－42＋3－a－12)＝eq\r(a－22＋3－a－12)，解得a＝3，∴圓心C坐標(biāo)為(3,0)，半徑為eq\r(2).∴圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.故選D．]3．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(3π,2) D．πD[如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).]4．假如實(shí)數(shù)x，y滿意等式(x－1)2＋y2＝eq\f(3,4)，那么eq\f(y,x)的最大值是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)D[eq\f(y,x)的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形(圖略)得，斜率的最大值為eq\r(3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\r(3).]5．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k＋m＝()A．－1 B．1C．0 D．2B[∵直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點(diǎn)，且M，N關(guān)于直線x＋2y＝0對(duì)稱，∴直線x＋2y＝0是線段MN的中垂線，得k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解之得k＝2，又圓方程為x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.故選B．]二、填空題6．實(shí)數(shù)x，y滿意方程x＋y－4＝0，則x2＋y2的最小值為________．8[x2＋y2表示原點(diǎn)到直線x＋y－4＝0上的點(diǎn)的距離的平方，則x2＋y2的最小值為原點(diǎn)到直線x＋y－4＝0的距離的平方，原點(diǎn)到直線的距離為d＝eq\f(|－4|,\r(2))＝2eq\r(2)，則x2＋y2的最小值為8.]7．已知點(diǎn)A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是________．8[點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－1，－1)，則點(diǎn)A′到圓C最短距離就是所求距離，又|A′C|＝eq\r(62＋82)＝10，所以所求最短路程為10－2＝8.]8．已知x和y滿意(x＋1)2＋y2＝eq\f(1,4)，則x＋y的最大值為________，最小值為________．eq\f(\r(2),2)－1－eq\f(\r(2),2)－1[令x＋y＝b并將其變形為y＝－x＋b.問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距的最值．當(dāng)直線和圓相切時(shí)，在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時(shí)有eq\f(|－1－b|,\r(2))＝eq\f(1,2)，解得b＝±eq\f(\r(2),2)－1，即最大值為eq\f(\r(2),2)－1，最小值為－eq\f(\r(2),2)－1.]三、解答題9．已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：(1)eq\f(y,x)的最大值與最小值；(2)eq\r(x－22＋y2)的最大值與最小值．[解](1)設(shè)k＝eq\f(y,x)，則k表示圓上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，直線OP的方程為y＝kx，當(dāng)直線OP與圓C相切時(shí)，斜率取得最值．由點(diǎn)C(3,3)到直線y＝kx的距離d＝eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(6)，得k＝3±2eq\r(2)，即k＝3±2eq\r(2)時(shí)，直線OP與圓C相切，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝3＋2eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))min＝3－2eq\r(2).(2)代數(shù)式eq\r(x－22＋y2)表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)(2,0)的距離，圓心(3,3)與定點(diǎn)(2,0)的距離為eq\r(3－22＋32)＝eq\r(10)，又圓C的半徑是eq\r(6)，所以(eq\r(x－22＋y2))max＝eq\r(10)＋eq\r(6)，(eq\r(x－22＋y2))min＝eq\r(10)－eq\r(6).10．如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處動(dòng)身，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到？若能，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？(要求用坐標(biāo)法)[解]如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程為x2＋y2＝252.直線AB方程為eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到．設(shè)監(jiān)測(cè)時(shí)間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．即外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到，持續(xù)時(shí)間為0.5h.1．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．{－eq\r(2)}B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．[－1,1)D．{k|k＝eq\r(2)或－1≤k<1}D[由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形(圖略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).]2．過圓外一點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線PM，PN(M，N為切點(diǎn))，若∠MPN＝90°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝4(y≠0)C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝2(y≠0)D[設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PO|＝eq\r(x2＋y2).∵∠MPN＝90°，∴四邊形OMPN為正方形，∴|PO|＝eq\r(2)|OM|＝eq\r(2)，∴eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2)，即x2＋y2＝2，故選D．]3．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1，點(diǎn)A(－2,0)及點(diǎn)B(3，a)，從點(diǎn)A視察點(diǎn)B，要使視線不被圓C攔住，則a的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5\r(2),4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),4)，＋∞))[由題意知，AB所在直線與圓C相切或相離時(shí)，視線不被攔住，直線AB的方程為y＝eq\f(a,5)(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以d＝eq\f(|3a|,\r(a2＋－52))≥1，即a≥eq\f(5\r(2),4)或a≤－eq\f(5\r(2),4).]4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點(diǎn)P，Q分別在線段AD，CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中，已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A動(dòng)身向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C動(dòng)身向B移動(dòng)，則在點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約________秒．(精確到0.1)4.4[以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(－10，－10＋1.5t)，Q(10,10－t)，可得出直線PQ的方程為y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圓O的方程為x2＋y2＝1.由直線PQ與圓O有公共點(diǎn)，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2.5t－20,2)－t＋10)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－2.5t,20)))eq\s\up12(2)))≤1，化為3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為4.4秒．故答案為4.4.]如圖所示，為愛護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形愛護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；愛護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上隨意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).(1)求新橋BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形愛護(hù)區(qū)的面積最大？[解](1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.由條件知，A(0,60)，C(170,0)，直線BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，則kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4)，②聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.所以BC＝eq\r(170－802＋0－1202)＝150.因此新橋BC的長(zhǎng)為150m.(2)設(shè)愛護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即r＝eq\f(|3d－680|,\r(42＋32)