第十章分式（45道壓軸題專練）

第十章分式（45道壓軸題專練）1．（2023·上?！て吣昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：若n的值為5，則y的值為1；結(jié)論Ⅱ：的值為定值；結(jié)論Ⅲ：若，則y的值為4或1．A．I，Ⅲ均對 B．Ⅱ?qū)?，Ⅲ錯 C．Ⅱ錯，Ⅲ對 D．I，Ⅱ均錯【答案】B【分析】先由題意得到，，然后解方程組得到，當(dāng)時，，則此時，即可判斷I；得，即可判斷②；根據(jù)1的任何次方為1，的偶次方為1，非零底數(shù)的0次方為1，三種情況討論求解即可判斷Ⅲ．【詳解】解：由題意得，，，得，解得，把代入①得，解得，∴方程組的解為，∵，∴當(dāng)時，，則此時，故結(jié)論I正確；得，∴，故結(jié)論Ⅱ正確；當(dāng)時，，此時滿足；當(dāng)時，則，此時，∴，，此時滿足；當(dāng)時，則，此時，∴，此時滿足，綜上所述，若，則y的值為4或3或1，故結(jié)論Ⅲ錯誤，故選B．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程的解，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若整數(shù)使關(guān)于的不等式組，有且只有45個整數(shù)解，且使關(guān)于的方程的解為非正數(shù)，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或或【答案】B【分析】先解不等式組，根據(jù)不等式組的整數(shù)解確定的范圍，結(jié)合為整數(shù)，再確定的值，再解分式方程，根據(jù)分式方程的解為非正數(shù)，得到的范圍，注意結(jié)合分式方程有意義的條件，從而可得答案．【詳解】解：由①得：由②得：＞，因為不等式組有且只有45個整數(shù)解，＜＜＜＜為整數(shù)，為，而且又綜上：的值為：故選B．【點睛】本題考查的是由不等式組的整數(shù)解求參數(shù)系數(shù)的問題，考查分式方程的解為非正數(shù)，易錯點是疏忽分式方程有意義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）當(dāng)分別取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019時，計算代數(shù)式的值，將所得結(jié)果相加，其和等于A．1 B． C．1009 D．0【答案】D【分析】先把和代入代數(shù)式，并對代數(shù)式化簡求值，得到它們的和為0，然后把代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值，再把所得的結(jié)果相加求出所有結(jié)果的和．【詳解】解：設(shè)，將和代入代數(shù)式，，∴，則原式=，故選：D．【點睛】本題考查的是代數(shù)式的求值，本題的x的取值較多，并且除外，其它的數(shù)都是成對的且互為倒數(shù)，把互為倒數(shù)的兩個數(shù)代入代數(shù)式得到它們的和為0，原式即為代入代數(shù)式后的值．4．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如果，那么代數(shù)式的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】由可得，再化簡，最后將代入求值即可．【詳解】解：由可得======2故答案為A．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，正確化簡分式以及根據(jù)得到都是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）用換元法解方程，設(shè)，那么換元后，方程可化為整式方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，則，然后將其代入原方程即可.【詳解】解：∵∴∴可化為，即．故答案為D．【點睛】本題考查了用換元法解分式方程，掌握換元法和解分式方程的去分母是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知，為實數(shù)且滿足，，設(shè)，．①若時，；②若時，；③若時，；④若，則．則上述四個結(jié)論正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出對于①當(dāng)時，可得，所以①正確；對于②當(dāng)時，不能確定的正負(fù)，所以②錯誤；對于③當(dāng)時，不能確定的正負(fù)，所以③錯誤；對于④當(dāng)時，，④正確．【詳解】，①當(dāng)時，，所以，①正確；②當(dāng)時，，如果，則此時，，②錯誤；③當(dāng)時，，如果，則此時，，③錯誤；④當(dāng)時，，④正確．故選B．【點睛】本題關(guān)鍵在于熟練掌握分式的運算，并會判斷代數(shù)式的正負(fù)．7．（2021·上海·九年級專題練習(xí)）甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時（

）A．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少B．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多C．甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同D．甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定【答案】C【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相應(yīng)墨水的比例，進(jìn)而得到混入相應(yīng)墨水的質(zhì)量，比較即可．【詳解】甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：乙杯中紅墨水的比例為，藍(lán)墨水的比例為，再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是aa?=毫升①乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是a?=毫升，②∵①=②∴故選C．【點睛】考查了用濃度和溶液表示溶質(zhì)的等量關(guān)系；用到的知識點為：純墨水的質(zhì)量=總質(zhì)量×相應(yīng)的濃度．8．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）對于任意的x值都有，則M，N值為（）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【分析】先計算=,根據(jù)已知可得關(guān)于M、N的二元一次方程組，解之可得．【詳解】解：==∴=∴，解得：，故選B．【點睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減法則，并根據(jù)已知等式得出關(guān)于M、N的方程組．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為A． B． C． D．【答案】B【分析】先去分母方程兩邊同乘以，根據(jù)無解的定義即可求出m．【詳解】解：方程去分母得，，則，當(dāng)分母即時，方程無解，所以即時方程無解，故選B．【點睛】本題考查了分式方程無解的條件，是需要識記的內(nèi)容．分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．10．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學(xué)校?？计谥校┮阎獙崝?shù)，、滿足，有下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確個數(shù)有（

）個．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給條件，對各項進(jìn)行變形，利用整體代入、解方程、通分、完全平方式進(jìn)行計算即可驗證．【詳解】解：①當(dāng)時，，故結(jié)論正確；②當(dāng)時，解得：，，故②結(jié)論正確；③，，故③結(jié)論正確；④當(dāng)，則，故④結(jié)論正確；綜上所述，正確的結(jié)論有個；故選：．【點睛】本題考查代數(shù)式求值及恒等式證明，根據(jù)題意，結(jié)合四個結(jié)論中的代數(shù)式恒等變形是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023春·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）已知方程，計算（

）A．8 B．14 C．16 D．32【答案】C【分析】利用平方差公式，將方程左邊分步通分，進(jìn)而得到，再求解，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：，∴，即，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查分式的化簡、代數(shù)式求值，靈活運用平方差公式，將分式分步通分求解是解答的關(guān)鍵．12．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知兩個分式：，：將這兩個分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個分式相乘，結(jié)果記為；相除，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，相乘，結(jié)果記為；相除，結(jié)果記為；（即，）第三次操作：將，相乘，結(jié)果記為；相除，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再相乘，相除，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：①；

②若，則；③在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，④當(dāng)時，一定成立（n為正整數(shù)）．⑤在第n（n為正整數(shù)）次和第次操作的結(jié)果中：為定值；以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，據(jù)此找到規(guī)律，然后逐項判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴……，，由,即①正確；由，則，即，故②錯誤；由，，故③正確；由當(dāng)時，，故④正確；由，可知不是定值，故⑤錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查的分式乘和除法，掌握分式的運算法則、找到運算結(jié)果的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽淮北·七年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組的解集為，關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先分別解不等式組里的兩個不等式，根據(jù)解集求出的取值范圍，再由分式方程的解求出的范圍，得到兩個的范圍必須同時滿足，即求得可得到的整數(shù)的值．【詳解】解：解不等式：，得：，解不等式：，得：，∵不等式組的解集為，∴，即：，解關(guān)于的分式方程，得，∵分式方程的解為整數(shù)解，∴為整數(shù)，且，，即，，∴所有滿足條件的整數(shù)的值有：2，，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及應(yīng)用，解分式方程．解題關(guān)鍵是由條件得到的取值范圍．14．（2022·八年級單元測試）甲、乙、丙三名工人共承擔(dān)裝搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天時的對話信息如下：甲說：我的工作效率比乙的工作效率少乙說：我3小時完成的工作量與甲4小時完成工作量相等；丙說：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁說：我沒參加此項工作，但我可以計算你們的工作效率．知道工程問題三者關(guān)系是：工作效率×工作時間＝工作總量．如果每小時只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務(wù)，共需（

）小時．A．20 B．21 C．19 D．19【答案】D【分析】設(shè)甲單獨完成任務(wù)需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，根據(jù)乙提供的信息列出方程并解答；根據(jù)丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的順序至完成工作任務(wù)所需的時間．【詳解】解：設(shè)甲單獨完成任務(wù)需要小時，則甲的工作效率是，乙的工作效率是，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的根，且符合題意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，∵丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，∴一輪的工作量為：，∴輪后剩余的工作量為：，∴還需要甲工作1小時后，乙需要的工作量為：，∴乙還需要工作的時間為（小時），∴按照甲、乙、丙的輪流順序至完成工作任務(wù)，共需（小時）．故選：D．【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找到合適的等量關(guān)系進(jìn)行求解．15．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知兩個分式：，；將這兩個分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為：作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過實際操作，有以下結(jié)論：．①；②當(dāng)時，；③若，則；④在第n（n為正整數(shù)）次和第次操作的結(jié)果中：為定值：⑤在第2n（n為正整數(shù)）次操作的結(jié)果中：，；以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】通過計算確定第2n個式子的變化規(guī)律和第2n1個式子的變化規(guī)律，然后確定一般形式，進(jìn)行判定即可．【詳解】解：，，，，，，，，……當(dāng)2n1為奇數(shù)時（1除外），，，當(dāng)2n為偶數(shù)時，，，∵，故①正確；當(dāng)x=1時，M2+M4+M6+M8==30，故②錯誤；，解得x=1或2，故③錯誤；當(dāng)n=2k2時，=x，x不是定值，故④錯誤；由規(guī)律知，⑤正確；故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡以及探究式子的規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵是確定式子的變化規(guī)律．16．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】10或或3【分析】分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：（1）為原方程的增根，此時有，即，解得；（2）為原方程的增根，此時有，即，解得．（3）方程兩邊都乘，得，化簡得：．當(dāng)時，整式方程無解．綜上所述，當(dāng)或或時，原方程無解．故答案為：10或或3．【點睛】本題考查的是分式方程的解，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．17．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）已知：m29m+1=0，則m2+=．【答案】79【分析】先將變形求出，再將原式通分得到將代入求值即可.【詳解】∵，∴，∴，=，=，=，=79，故答案為：79.【點睛】此題考查分式的加法計算，分式的通分，正確將將原式變形后代入分式中進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.18．（2019春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有唯一解，則應(yīng)滿足的條件是．【答案】【分析】根據(jù)隱含條件，，，先去分母、去括號、移項，再合并，保證未知數(shù)的系數(shù)不等于0即可．【詳解】解：，，兩邊同乘以得，整理后，得因方程有唯一解，故，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，一元一次方程有唯一解的條件是：未知數(shù)的系數(shù)不等于0．19．（2022秋·七年級單元測試）已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是.【答案】且【分析】先對分式方程進(jìn)行通分，因式分解后得出m與x的關(guān)系，由于分式方程的解為正數(shù)，且要保證分式方程有意義，故可知x的取值范圍，再利用m與x的關(guān)系，求出m的取值范圍.【詳解】等式左邊為：等式右邊：左邊等于右邊則有：解，得：，即要滿足方程得解為正數(shù)，即，且必須保證分式方程有意義，故且，綜合解得分式方程的解為且，故且，解得且，即為m的取值范圍.【點睛】本題考查分式方程的解法，要想分式方程有解，前提必須保證分式有意義（即分母不為0），再根據(jù)得到的關(guān)系式求出m的取值范圍.20．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）計算：.【答案】【分析】利用裂項法先將每個分式化簡，再將結(jié)果相加即可.【詳解】∵，……∴原式===.【點睛】此題考查分式的混合運算，運用裂項法將每個分式化簡是解題的關(guān)鍵.21．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的方程存在整數(shù)解，則正整數(shù)m的所有取值的和為．【答案】15【詳解】顯然x≠2017，由題意得：m=，令y=，則x=，∴m==，∵m是正整數(shù)，y≥0，∴y=1時，m=12，y=2時，m=3，∴正整數(shù)m的所有取值的和為15，故答案為15．【點睛】本題考查了方程的整數(shù)解問題，解決本題巧妙運用整數(shù)的特點及在分?jǐn)?shù)計算中整數(shù)的倍數(shù)關(guān)系求解，令y=從而使得用x表示m的代數(shù)式不含根式是解題的關(guān)鍵.22．（2021春·上海楊浦·六年級?？计谥校┤?則x的取值范圍是．【答案】x＜1【詳解】根據(jù)x1的絕對值與本身的比為1，說明絕對值與本身互為相反數(shù)，故可知x1＜0，即x＜1.故答案為x＜1.23．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）有正整數(shù)，且為整數(shù)，，則．【答案】【分析】由，，為正整數(shù)，且，為正整數(shù)可得只能為，從小到大討論，，的值求解．【詳解】解：，，為正整數(shù)，且，，，，，即，又為整數(shù)，，．若，則，即，只能為，即，若，則，即．只能為，，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查分式的加減法，解答本題的關(guān)鍵是分類討論，，的值．24．（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成（），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“快樂分解”．例如，因為，22和24的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)”．（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個“如意數(shù)”M進(jìn)行“快樂分解”，即，A與B的和記為，A與B的差記為，若能被7整除，則M的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可得；（2）設(shè)兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個位數(shù)字為，則的個位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，從而可得，，再求出，根據(jù)，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，以及，可得為5或者4，然后根據(jù)能被7整除分別求出、的值，由此即可得．【詳解】（1）∵自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，∴根據(jù)“如意數(shù)”的定義可得最小的“如意數(shù)”為：，故答案為：；（2）由題意，設(shè)兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個位數(shù)字為，則的個位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，，，，，∵，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，∴為5、4或者3，∵，∴為5或者4，，即的分子時奇數(shù)，當(dāng)時，，分子是奇數(shù)，分母時偶數(shù)，則該數(shù)不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，能被7整除，且m為1至9的自然數(shù)，滿足條件的整數(shù)只有6，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、整式加減的應(yīng)用等知識點，正確理解“如意數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．25．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是．【答案】【分析】先解不等式組，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出的值，相乘即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，則根據(jù)題意可知，不等式組的解集為：，關(guān)于的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，則該不等式的整數(shù)解至少包含：，，，解得：，分式方程去分母得：，解得：，∵，∴，是正整數(shù)，且，∴或，或，滿足條件的整數(shù)的積為，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟以及解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．26．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？计谀τ谝粋€四位自然數(shù)M，設(shè)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，它的千位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，十位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，若A與B的差等于M的千位數(shù)字與百位數(shù)字和的相反數(shù)，則稱M為“開數(shù)”．判斷：1029是否為“開數(shù)”（填“是”“否”）；若M為“開數(shù)”，記，當(dāng)能被7整除時，則滿足條件的M的最大值為．【答案】是8892【分析】根據(jù)“開數(shù)”的定義判斷1029是否為“開數(shù)”；若M為“開數(shù)”，則，由此可得，代入可得，再根據(jù)能被7整除分析可得答案．【詳解】解：時，，，，千位數(shù)字與百位數(shù)字和為：，與1互為相反數(shù)，1029是“開數(shù)”；若M為“開數(shù)”，則，，，是7的倍數(shù)，若要M最大，則，，，，M最大值為8892．故答案為：是，8892．【點睛】本題考查數(shù)字整除問題，運用題設(shè)條件進(jìn)行數(shù)值分析是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·八年級課時練習(xí)）現(xiàn)有形狀、大小、庫存貨物完全相同的，兩個倉庫，已知甲、乙兩人合作搬運完倉庫需要小時，乙、丙兩人合作搬運完倉庫需要小時．現(xiàn)由乙先與甲合作搬運倉庫，同時丙在獨立搬運倉庫，小時后，乙停止搬運進(jìn)行休息，乙休息小時立即到倉庫和丙一起搬運，若搬運完，兩個倉庫各用了小時，則．【答案】【分析】可設(shè)單獨搬運甲需要小時，乙需要小時，丙需要小時，根據(jù)等量關(guān)系：甲、乙兩人合作搬運完倉庫需要小時；乙、丙兩人合作搬運完倉庫需要小時；搬運完、兩個倉庫各用了小時；列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)單獨搬運甲需要小時，乙需要小時，丙需要小時，依題意有①③得⑤，②④得⑥，聯(lián)立⑤⑥得，經(jīng)檢驗得，n，y的值是原方程組的解，∴n的值為6.故答案為：6．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．28．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？级＃┮阎瑒t的值為．【答案】13【分析】根據(jù)已知條件易得，，，從而可得，然后利用完全平方公式可得，最后將所求的式子進(jìn)行變形計算，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：13．【點睛】本題主要考查了分式的求值，熟練掌握完全平方公式，利用整體思想進(jìn)行求值是解題的關(guān)鍵．29．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）已知．即當(dāng)為于1的奇數(shù)時，；當(dāng)為大于1的偶數(shù)時，．計算的結(jié)果為．【答案】【分析】先找到規(guī)律的值每6個一循環(huán)，再求出，由，可得．【詳解】解：，，，，，，，…，∴的值每6個一循環(huán)，∵，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出的值，每6個一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．30．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解不超過6，且關(guān)于的不等式組有且僅有四個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)的和．【答案】【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超過6，得且，解得：且、，然后解不等式組得，根據(jù)不等式組有四個整數(shù)解，得，解得：，所以且，又因為m為整數(shù)，則，，即可求解．【詳解】解：解方程，得，∵的解不超過6，∴且，解得：且、，解不等式組，得，∵不等式組有四個整數(shù)解，∴，解得：，∴且，∵m為整數(shù)，∴，，∴符合條件的整數(shù)的和為：，故答案為：．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況和不等式組的整數(shù)解求字母系數(shù)值，熟練掌握解分式方程和不等式組是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）某生態(tài)柑橘園現(xiàn)有柑橘噸，租用輛A和兩種型號的貨車將柑橘一次性運往外地銷售．已知每輛車滿載時，A型貨車的總費用元，型貨車的總費用元，每輛型貨車的運費是每輛A型貨車的運費的倍．（1）每輛A型貨車和型貨車的運費各多少元？（2）若每輛車滿載時，租用輛A型車和輛型車也能一次性將柑橘運往外地銷售，則每輛A型貨車和型車貨各運多少噸？【答案】（1）每輛A型貨車運費元，每輛型貨車的運費元；（2）每輛A型貨車運噸，型貨車運噸【分析】（1）設(shè)每輛A型貨車運費為元，則每輛型車運費為1.2元；根據(jù)題意，列分式方程并求解，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得A型貨車和型貨車的數(shù)量；結(jié)合題意，設(shè)每輛A型貨車運噸，每輛型貨車運噸，列二元一次方程組并求解，即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)每輛A型貨車運費為元，則每輛型貨車運費為1.2元由題意得：，解得：經(jīng)檢驗，時，，

∴每輛A型貨車運費元，每輛型貨車的運費元；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，A型貨車的數(shù)量為：輛∴型貨車的數(shù)量為：輛設(shè)每輛A型貨車運噸，每輛型貨車運噸，由題意得：，解得：，∴每輛A型貨車運噸，型貨車運噸．【點睛】本題考查了二元一次方程組、分式方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組、分式方程的性質(zhì)，從而完成求解．32．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）甲?乙兩人同時從A地出發(fā)到B地，距離為100千米．（1）若甲從A地出發(fā)，先以20千米/小時的速度到達(dá)中點，再以25千米/小時的速度到達(dá)B地，求走完全程所用的時間．（2）若甲從A地出發(fā)，先以千米/小時的速度到達(dá)中點，再以千米/小時的速度到達(dá)B地．乙從A地出發(fā)到B地的速度始終保持V千米/小時不變，請問甲?乙誰先到達(dá)B地?（3）若甲以a千米/時的速度行走x小時，乙以b千米/時的速度行走x小時，此時甲距離終點為千米，乙距離終點為千米．分式對一切有意義的x值都有相同的值，請?zhí)剿鱝，b應(yīng)滿足的條件．【答案】（1）小時；（2）乙先到；（3）a，b應(yīng)滿足的條件是．【分析】（1）根據(jù)“時間路程速度”分別求出兩段路程的時間，再求和即可得；（2）根據(jù)“時間路程速度”分別求出甲、乙走完全程所用的時間，再比較大小即可得；（3）設(shè)，從而可得，再根據(jù)無關(guān)型問題求解即可得．【詳解】（1）由題意得：，，（小時），答：走完全程所用的時間為小時；（2）甲走完全程所用的時間為，乙走完全程所用的時間為，因為，所以乙先到；（3）設(shè)，則，整理得：，∵分式對一切有意義的值都有相同的值，∴k的值與x的取值無關(guān)，∴，即，∴，解得，∴，故a，b應(yīng)滿足的條件是．【點睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用等知識點，依據(jù)題意，正確列出各運算式子是解題關(guān)鍵．33．（2019·上海·九年級上海交大附中?？甲灾髡猩榈母魑粩?shù)字之和，例．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，求的最小值；（3）當(dāng)時，求的最小值．【答案】（1）1.9，見解析；（2），見解析；（3），見解析．【分析】（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則，要使最小，則為最大，然后求值即可；（2）設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字為，根據(jù)（1）中的方法進(jìn)行求值即可；（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為，個位數(shù)字是，參照（1）中的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則，要使的值最小，則則為最大；，，最小為；（2））設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字為；要使的值最小，即的值為最小，，，，，；（3）設(shè)這個四位數(shù)的千位數(shù)字是，百位數(shù)字是，十位數(shù)字為，個位數(shù)字是；則，其值最小，則，，類似分析時符合題意，的最小值為．【點睛】本題主要考查分式的性質(zhì)及運算的運用，關(guān)鍵是會用整體思想及轉(zhuǎn)化思想把復(fù)雜問題簡單化．34．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）先化簡，再求值，，其中的值從不等式組的整數(shù)解中選?。敬鸢浮?，．【分析】先根據(jù)分式的運算法則化簡原式，然后再求出不等式的整數(shù)解，然后選擇合適的整數(shù)解代入已化簡的分式即可．【詳解】解：原式所以不等式組的整數(shù)解是0,1,2,3要使分式有意義，x的值只能取1，所以原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件以及求不等式組的整數(shù)解等知識點，正確化簡分式和求不等式組的整數(shù)解是解答本題的關(guān)鍵．35．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，，則和都是“和諧分式”．（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號）．①

②

③

④（2）將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式．（3）應(yīng)用：先化簡，并求取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．【答案】（1）②；（2）；（3），當(dāng)時，該式的值為整數(shù)【分析】（1）把給出的各式進(jìn)行處理，根據(jù)和諧分式的定義判斷；（2）把分式先變形為，再寫成整式與分式分子為常數(shù)的形式；（3）先算除法，把分式轉(zhuǎn)化成和諧分式，再確定x的值．【詳解】解：（1）①；②；③；④；∴①③④屬于和諧分式，②不屬于和諧分式；故答案為：②；（2）原式；（3）原式；根據(jù)題意得：原式；當(dāng)原式的值為整數(shù)時，應(yīng)該是2的因數(shù)，∴或或或解得：或或或，∵且且且，∴當(dāng)時，該式的值為整數(shù)．【點睛】本題考查了分式的混合運算及和新定義“和諧分式”．解決本題的關(guān)鍵是理解定義的內(nèi)容并能運用．36．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)x取何整數(shù)時，分式的值是正整數(shù)【答案】x=0或1或2或5．【分析】先把分式進(jìn)行因式分解，然后約分，再根據(jù)分式的值是正整數(shù)，得出的取值，從而得出x的值．【詳解】解：∴要使的值是正整數(shù)，則分母必須是6的約數(shù)，即或2或3或6，則x=0或1或2或5．【點睛】此題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的值是正整數(shù)，討論出分母的取值．37．（2019秋·上海徐匯·七年級上海市田林第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，求的值【答案】2023.【分析】將代數(shù)式化簡，然后利用求解即可.【詳解】解：∵∴∴原式【點睛】本題考查的是代數(shù)式的化簡求值，能熟練化簡代數(shù)式，并且能轉(zhuǎn)化求出是解題的關(guān)鍵.38．（2022秋·上海·七年級專題練習(xí)）某廣告公司招標(biāo)了一批燈箱加空工程，需要在規(guī)定時間內(nèi)加工1400個燈箱，該公司按一定速度加工5天后發(fā)現(xiàn)，按此速度加工下去會延期十天完成，于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工，使工作效率提高了50%，結(jié)果如期完成工作，按規(guī)定時間是多少天？【答案】25天.【分析】根據(jù)計劃的天數(shù)列出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得到答案【詳解】設(shè)工廠前5天每天加工x個，，得x=40，經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的解，（天）答：規(guī)定的時間是25天.【點睛】此題考查分式方程的實際應(yīng)用，正確理解題意，找到題中的等量關(guān)系列方程，注意檢驗不能缺.39．（2019秋·上海虹口·七年級校考階段練習(xí)）已知，求A，B的值?！敬鸢浮緼=1，B=5.【分析】將等式右邊相加得到，因為分母相同，所以，由此解得A=1，B=5.【詳解】...∴..∴A=1，2A+B=3.∴A=1，B=5.【點睛】此題求解分式方程中其它未知數(shù)的值，根據(jù)化簡后分母相同得到分子中對應(yīng)相等的關(guān)系，由此解得A與B的值.40．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀理解：把一個分式寫成兩個分式的和叫做把這個分式表示成部分分式．如何將表示成部分分式？設(shè)分式=，將等式的右邊通分得：=，由=得：，解得：，所以=．（1）把分式表示成部分分式，即=，則m=，n=；（2）請用上述方法將分式表示成部分分式．【答案】（1），；（2）．【分析】仿照例子通分合并后，根據(jù)分子的對應(yīng)項的系數(shù)相等，列二元一次方程組求解.【詳解】解：(1)∵，∴，解得：.(2)設(shè)分式=將等式的右邊通分得：=，由=，得，解得.所以=.41．（2023春·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的方程，其中，均為整數(shù)且．(1)若方程有增根，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)若是方程的解，求的值．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即為增根；（2）將代入求得，根據(jù)題意可得或或，分別帶入求得的值即可．【詳解】（1）解：由分式方程有增根，得到，解得：，將分式方程化為整式方程：，整理得：，將代入得：，即若方程有增根，則．（2）解：∵是方程的解，將代入得：，整理得：，∴，∴，且∵，均為整數(shù)且，∴或或，當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，；當(dāng)時，即，；綜上，的值為或或．【點睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．42．（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”．例：將分式表示成部分分式．解：設(shè)，將等式右邊通分，得，依據(jù)題意，得，解得，所以請你適用上面所學(xué)到的方法，解決下面的問題：(1)將分式表示成部分分式；(2)按照（1）的規(guī)律，求的值．【答案】(1)，見解析．(2)．【分析】（1）模仿閱讀材料可得答案；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律變形，再計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，∴，∴，∴．（2）；【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能把一個分式化為部分分式．43．（2023春·河北保定·八年級保定市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）本學(xué)期初二年級舉辦了籃球比賽，為了讓參賽的運動員更好地訓(xùn)練，體育組計劃購買甲，乙兩種品牌的籃球，已知甲品牌籃球的單價比乙品牌籃球的單價低40元，且用4800元購買甲品牌籃球的數(shù)量是用4000元購買乙品牌籃球數(shù)量的倍．(1)求甲、乙兩種品牌籃球的單價．(2)若學(xué)校計劃購買甲、乙兩種品牌的籃球共90個，且乙品牌籃球的數(shù)量不小于甲品牌籃球數(shù)量的2倍，購買兩種品牌籃球的總費用不超過17200元．則該校共有幾種購買方案？(3)在（2）條件下，專賣店準(zhǔn)備對乙種品牌的籃球進(jìn)行優(yōu)惠，每個乙種籃球優(yōu)惠元，甲種籃球價格不變，那么學(xué)校采用哪一種購買方案可使總費用最低？【答案】(1)甲、乙兩種品牌籃球的單價分別為：160元，200元；(2)該校共有11種購買方案；(3)見解析【分析】（1）設(shè)甲品牌籃球的單價為x元，則乙品牌籃球的單價為元，根據(jù)用4800元購買甲品牌籃球的數(shù)量是用4000元購買乙品牌籃球的數(shù)量的倍列方程即可得到答案；（2）根據(jù)總費用不超過17200元及乙品牌籃球的數(shù)量不小于甲品牌籃球數(shù)量的2倍列不等式組求解即可得到答案；（3）設(shè)總利潤為W，根據(jù)總利潤等于兩種籃球的利潤之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲品牌籃球的單價為x元，則乙品牌籃球的單價為元，由題意可得，，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，則，答：甲、乙兩種品牌籃球的單價分別為：160元，200元；（2）解：設(shè)購買甲