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由序列z變換表達(dá)序列DFT

由序列DFT表達(dá)序列z變換離散傅里葉變換與z變換的關(guān)系已知有限長(zhǎng)序列x[k],k=0,1,2,…,N-1,存在三種形式變換:1.z變換:收斂域(ROC)|z|>02.DTFT變換:3.DFT變換:?jiǎn)栴}提出DTFTX(ej

)DFTX[m]ZTX(z)單位圓上均勻抽樣?x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔取樣序列DFT與z變換的關(guān)系][mX????IDFT][kx?????變換Z)(zX(內(nèi)插公式)由序列DFT表示序列z變換已知DFT求ZT=?

兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積2.4利用DFT計(jì)算序列線性卷積*問(wèn)題提出:實(shí)際需要:LTI系統(tǒng)響應(yīng)y[k]=x[k]

h[k]可否利用DFT計(jì)算線性卷積??jī)蓚€(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積線性卷積:有限長(zhǎng)序列的線性卷積與循環(huán)卷積*x1[k]的長(zhǎng)度為N1x2[k]的長(zhǎng)度為N2能否用循環(huán)卷積代替有長(zhǎng)序列的線性卷積?為什么不同?x1[k]的長(zhǎng)度為N1x2[k]的長(zhǎng)度為N2在線性卷積中,yl[k]

不為零長(zhǎng)度是多少?yl[k]

不為零長(zhǎng)度是N1+N2-1N點(diǎn)循環(huán)卷積:NN不足的部分補(bǔ)零x1[k]的長(zhǎng)度為N1x2[k]的長(zhǎng)度為N2討論循環(huán)卷積和線性卷積之間的關(guān)系:對(duì)x1[k]和x2[k]補(bǔ)零,使其長(zhǎng)度均為N點(diǎn)對(duì)x2[k]周期延拓:循環(huán)卷積:代入x2[k]周期延拓交換求和次序例如:x1[k]x2[k]kkNx1[k]的長(zhǎng)度為3x2[k]的長(zhǎng)度為5yl[k]

不為零長(zhǎng)度是7yl[k]=x1[k]*x2[k]k5k6kyl[k]=x1[k]*x2[k]k7=yl[k]k8=yl[k]k例:x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計(jì)算解:x1[k]和x2[k]的4點(diǎn)循環(huán)卷積y[k]為(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點(diǎn)循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點(diǎn)、6點(diǎn)和7點(diǎn)循環(huán)卷積解:(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點(diǎn)循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點(diǎn)、6點(diǎn)和7點(diǎn)循環(huán)卷積x1[k]和x2[k]的5點(diǎn)循環(huán)卷積y5[k]為y5[k]={2,2,2,2,1}x1[k]和x2[k]的6點(diǎn)循環(huán)卷積y6[k]為y6[k]={1,2,2,2,1,1}x1[k]和x2[k]的7點(diǎn)循環(huán)卷積y7[k]為y7[k]={1,2,2,2,1,1,0}例:x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計(jì)算解:(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點(diǎn)循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點(diǎn)、6點(diǎn)和7點(diǎn)循環(huán)卷積x1[k]和x2[k]6點(diǎn)循環(huán)卷積y6[k]={1,2,2,2,1,1}x1[k]和x2[k]線性卷積例:x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計(jì)算線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟

若x[k]的長(zhǎng)度為N,h[k]的長(zhǎng)度為M,則L=N+M-1點(diǎn)循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。小結(jié):線性卷積求解方法時(shí)域直接求解

補(bǔ)N-N1個(gè)零x[k]N點(diǎn)DFT補(bǔ)N-N2個(gè)零h[k]N點(diǎn)DFTN點(diǎn)IDFTy[k]=x[k]*h[k]z變換法DFT法N的長(zhǎng)度等于多少?%CalculateLinearConvolutionbyDFTx=[1201];h=[2211];%determinethelengthforzeropaddingL=length(x)+length(h)-1;%ComputetheDFTsbyzero-paddingXE=fft(x,L);HE=fft(h,L);%DeterminetheIDFToftheproducty1=ifft(XE.*HE);例:利用MATLAB由DFT計(jì)算x[k]*h[k]。

x[k]={1,2,0,1},h[k]={2,2,1,1}直接計(jì)算與由DFT間接計(jì)算結(jié)果比較若x1[k]為M

點(diǎn)序列,x2[k]為L(zhǎng)

點(diǎn)序列,L>Mx1[k]L

x2[k]中哪些點(diǎn)不是線性卷積的點(diǎn)?問(wèn)題討論*0

k

M-2不是線性卷積的結(jié)果,即前(M-1)個(gè)點(diǎn)與線性卷積不一樣。線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示

x1[k]L

x2[k]k=0~M-2,前M-1個(gè)點(diǎn)不是線性卷積的點(diǎn)k=M-1~L-1,L-M+1個(gè)點(diǎn)與線性卷積的點(diǎn)對(duì)應(yīng)線性卷積L~L+M-2后M-1點(diǎn)沒(méi)有計(jì)算

則L點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)論若x1[k]為M

點(diǎn)序列,x2[k]為L(zhǎng)

點(diǎn)序列,L>M圖示長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積

直接利用DFT計(jì)算的缺點(diǎn):(1)信號(hào)要全部輸入后才能進(jìn)行計(jì)算,延遲太多(2)內(nèi)存要求大(3)算法效率不高

解決問(wèn)題方法:采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法(overlapadd)將長(zhǎng)序列x[k]分為若干段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列其中長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法(overlapadd)y0[k]的非零范圍y1[k-L]的非零范圍

序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點(diǎn)數(shù)L+M-2-L+1=M-1

依次將相鄰兩段的M-1個(gè)重疊點(diǎn)相加,即得到最終的線性卷積結(jié)果。重疊相加法分段卷積舉例重疊相加法分段卷積舉例fftfilt(h,x,n)h:FIRfilterx:inputsequencen

為DFT點(diǎn)數(shù),一般取2的整數(shù)次冪利用MATLAB實(shí)現(xiàn)分段卷積利用MATLAB實(shí)現(xiàn)分段卷積%GeneratethenoisesequenceN=64;d=rand(N,1)-0.5;%Generatetheuncorruptedsequenceandaddnoiseform=1:1:N,s(m)=2*(m-1)*((0.9)^(m-1));x(m)=s(m)+d(m);end%thelengthofmovingaveragefilterM=4;%Generatethemovingaveragefiltercoefficientsh=ones(1,M)/M;%Performtheoverlap-addfilteringoperationy=fftfilt(h,x,8);4點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)去噪結(jié)果長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法(overlapsave)

方法:

(1)

將x[k]長(zhǎng)序列分段,每段長(zhǎng)度為L(zhǎng);

(2)

各段序列xn[k]與

M點(diǎn)短序列h[k]循環(huán)卷積;

(3)

從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。前M-1個(gè)點(diǎn)不是線性卷積的點(diǎn)因yn[k]=xn[k]Lh[k]故分段時(shí),每段與其前一段有M-1個(gè)點(diǎn)重疊。長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法(overlapsave)--x[k(M1)]M-1--L(M1)L-1x0[k]x1[k]2L-Mk第一段前需補(bǔ)M-1個(gè)零長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法(overlapsave)記

yn[k]=xn[k]Lh[k]長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法(overlapsave)y0[k]中的[M-1,L-1]點(diǎn)對(duì)應(yīng)于線性卷積

x[k]*h[k]中的[0,L-M]點(diǎn)y1[k]中的[M-1,L-1]點(diǎn)對(duì)應(yīng)于線性卷積x[k]*h[k]中的[L-(M-1),

2L-M-(M-1)]點(diǎn)y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}解:

重疊相加法x1[k]={2,3,4,5,6}x2[k]={7,8,9,10,11}x3[k]={12,13,14}y1[k]={2,7,12,16,20,17,6}y2[k]={7,22,32,36,40,32,11}y3[k]={12,37,52,41,14}例:

已知序列x[k]=k+2,0

k

12,h[k]={1,2,1}試分別利用重疊相加和保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。解:

重疊保留法y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}x1[k]={0,0,2,3,4}x2[k]={3,4,5,6,7}x3[k]={6,7,8,9,10}y1[k]=x1[k]

h[k]={11,4,2,7,12}x4[k]={9,10,11,12,13}y2[k]=x2[k]

h[k]={23,17,16,20,24}y3[k]=x3[k]

h[k]={35,29,28,32,

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