數(shù)字信號(hào)處理 離散傅里葉變換(DFT)

離散傅里葉變換(DFT)

問(wèn)題的提出

有限長(zhǎng)序列的傅里葉分析離散傅里葉變換的性質(zhì)利用DFT計(jì)算線性卷積利用DFT分析信號(hào)的頻譜學(xué)習(xí)要求了解四種信號(hào)的傅里葉變換的數(shù)學(xué)概念及特點(diǎn)。深刻理解有限長(zhǎng)序列DFT的定義及概念。掌握序列DFT與序列DTFT和z變換的相互關(guān)系。掌握利用DFT分析任意信號(hào)頻譜的原理和方法。理解DFT分析信號(hào)頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法。掌握利用DFT實(shí)現(xiàn)序列線性卷積的原理和方法。

重點(diǎn)和難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是信號(hào)DFT的數(shù)學(xué)概念和物理概念，以及DFT在信號(hào)分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點(diǎn)是利用DFT分析連續(xù)信號(hào)頻譜過(guò)程中出現(xiàn)的現(xiàn)象引言

連續(xù)時(shí)間傅里葉變換CTFT不適宜于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。其主要原因?yàn)椋盒盘?hào)覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸(時(shí)間受限信號(hào)除外);信號(hào)是時(shí)間連續(xù)的;信號(hào)的頻譜覆蓋了整個(gè)頻譜軸(頻帶受限信號(hào)除外);信號(hào)是頻譜連續(xù)的。連續(xù)時(shí)域信號(hào)與連續(xù)頻譜不能在計(jì)算機(jī)被處理，需要離散化DFT是重要的變換

1.分析有限長(zhǎng)序列的有用工具。

2.在信號(hào)處理的理論上有重要意義。

3.在運(yùn)算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁DFT要解決兩個(gè)問(wèn)題:(1).是離散與量化，(2).是快速運(yùn)算。信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化

有限長(zhǎng)序列的傅里葉分析

四種信號(hào)傅里葉表示有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換

DFT矩陣表示利用MATLAB計(jì)算DFT

四種信號(hào)的傅里葉分析連續(xù)周期信號(hào)連續(xù)非周期信號(hào)離散非周期信號(hào)離散周期信號(hào)連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)離散傅里葉變換離散傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換

連續(xù)時(shí)間(周期)、離散頻率---傅里葉級(jí)數(shù)(FS)

連續(xù)時(shí)間(非周期)、連續(xù)頻率(非周期)---傅里葉變換(FT)

離散時(shí)間(非周期)、連續(xù)頻率---序列的傅里葉變換(DTFT)

離散時(shí)間(周期)、離散頻率---離散傅里葉變換(DFT)傅里葉變換的幾種形式(四種，時(shí)域與頻域)：四種信號(hào)傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：離散非周期譜時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的周期的非周期的離散的*時(shí)域周期為T0,，頻域譜線間隔為2π/T0四種信號(hào)傅里葉表示2.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對(duì)稱性:時(shí)域連續(xù)，則頻域非周期。反之亦然。四種信號(hào)傅里葉表示3.離散非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為2

的連續(xù)譜時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的非周期的周期的連續(xù)的*時(shí)域抽樣間隔為Ts，頻域的周期為2

或者模擬角頻率為：四種信號(hào)傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為N的離散譜

由上述分析可知，要想在時(shí)域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時(shí)域信號(hào)頻域信號(hào)離散的周期的周期的離散的*時(shí)域周期為T0,，頻域譜線間隔為2π/T0*時(shí)域抽樣間隔為Ts，頻域的周期為2

或者模擬角頻率為：k01N-1m01N-1

四種信號(hào)的傅里葉表示的物理含義時(shí)域信號(hào)可以表示為正弦(虛指數(shù))信號(hào)的線性組合；其對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)就是信號(hào)的頻譜函數(shù)；反映了信號(hào)中各個(gè)頻率正弦(虛指數(shù))信號(hào)的分布特性。

四種信號(hào)的頻譜之間聯(lián)系如果離散非周期信號(hào)x[k]是連續(xù)非周期信號(hào)x(t)的等間隔抽樣序列，則信號(hào)x[k]的頻譜函數(shù)X(ej

)是信號(hào)x(t)的頻譜函數(shù)X(jω)的周期化。信號(hào)在時(shí)域的離散化導(dǎo)致其頻譜函數(shù)的周期化如果離散周期信號(hào)是離散非周期信號(hào)x[k]的周期化，則信號(hào)的頻譜函數(shù)是信號(hào)x[k]的頻譜函數(shù)的離散化。信號(hào)在時(shí)域的周期化導(dǎo)致其頻譜函數(shù)的離散化有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號(hào)表示有限長(zhǎng)序列DFT與DTFT關(guān)系

有限長(zhǎng)序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時(shí)間傅里葉變換X(ejW)在一個(gè)周期[0,2p)的等間隔取樣DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對(duì)解:解:例:

求有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列的DFT如果序列后補(bǔ)零，其DFT有何變化?*(答案見(jiàn)書(shū)59頁(yè))解:x[k]=R4[k]，求x[k]的DTFT，8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT解：(1).x[k]=R4[k]的8點(diǎn)DFT解：(2).x[k]=R4[k]的16點(diǎn)DFT解：(3).X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列DFT矩陣表示DFT矩陣表示DFT矩陣表示DFT矩陣形式為其中DFT矩陣表示IDFT矩陣形式為dftmtx(N)

函數(shù)產(chǎn)生N×N的DFT矩陣DNconj(dftmtx(N))/N

函數(shù)產(chǎn)生N×N的IDFT矩陣DN-1利用MATLAB計(jì)算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計(jì)算M點(diǎn)的DFT。M是序列x的長(zhǎng)度。fft(x,N)

計(jì)算N點(diǎn)的DFT。

M>N，將原序列裁為N點(diǎn)計(jì)算N點(diǎn)的DFT；

M<N，將原序列補(bǔ)零至N點(diǎn)，然后計(jì)算N點(diǎn)DFT。利用MATLAB計(jì)算16點(diǎn)序列x[k]的512點(diǎn)DFTk=0:N-1;f=cos(2*pi*k*4./16);F=fft(f);FE=fft(f,512);L=0:511;plot(L/512,abs(FE))holdonplot(k/16,abs(F),'o');N=16;離散傅里葉變換的性質(zhì)1.線性需將較短序列補(bǔ)零后，再按長(zhǎng)序列的點(diǎn)數(shù)做DFT2.循環(huán)位移(Circularshiftofasequence)

循環(huán)位移定義為序列的循環(huán)位移過(guò)程序列的循環(huán)移位包括三層意思(操作過(guò)程)：1.先將x[k]

進(jìn)行周期延拓2.再進(jìn)行周期序列移位3.最后取主值序列k0N-10k周期延拓k0左移2k0N-1取主值DFT時(shí)域循環(huán)位移特性時(shí)域的循環(huán)位移對(duì)應(yīng)頻域的相移DFT循環(huán)位移特性

時(shí)域的循環(huán)位移對(duì)應(yīng)頻域的相移

時(shí)域的相移對(duì)應(yīng)頻域的循環(huán)位移離散傅里葉變換的性質(zhì)3.對(duì)稱性(symmetry)

周期共軛對(duì)稱(Periodicconjugatesymmetry)定義為

周期共軛反對(duì)稱(Periodicconjugateantisymmetry)定義為

當(dāng)序列x[k]為實(shí)序列時(shí)，周期偶對(duì)稱序列滿足

當(dāng)序列x[k]為實(shí)序列時(shí)，周期奇對(duì)稱序列滿足x[k]為有限長(zhǎng)實(shí)數(shù)序列，偶對(duì)稱：奇對(duì)稱：對(duì)稱中心點(diǎn)在何處？對(duì)稱中心點(diǎn)=N/2對(duì)稱中心點(diǎn)01324576N=8偶對(duì)稱801324576N=8對(duì)稱中心點(diǎn)奇對(duì)稱8對(duì)稱中心點(diǎn)01324576N=9偶對(duì)稱89對(duì)稱中心點(diǎn)013245768N=9奇對(duì)稱9離散傅里葉變換的性質(zhì)3.對(duì)稱性(symmetry)當(dāng)x[k]是實(shí)序列時(shí)例：已知一9點(diǎn)實(shí)序列的DFT在偶數(shù)點(diǎn)的值為X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j,X[4]=-1.7+5.2j,X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。確定DFT在奇數(shù)點(diǎn)的值。

解：X[1]=X*[9-1]=X*[8]=5.5+8.0j;X[3]=X*[9-3]=X*[6]=9.3-6.3j；X[5]=X*[9-5]=X*[4]=-1.7-5.2j;X[7]=X*[9-7]=X*[2]=2.5-4.6j;

根據(jù)實(shí)序列DFT的對(duì)稱特性X[m]=X*[N-m]可得離散傅里葉變換的性質(zhì)4.序列的循環(huán)卷積例：計(jì)算序列的循環(huán)卷積h[(-n)N]h[(1-n)N]h[(2-n)N]h[(3-n)N]x2[(-n)6]

R6[n]

100111

x2[(-n)6]100111100111100111x2[(n)6]111100111100111100x2[k/n]111100x1[k/n]543210k/n

-6-5-4-3-2-101234567891011x1[n]543210y[0]=8x2[(1-n)6]

R6[n]

11001110x1[n]543210y[k]x2[(2-n)6]

R6[n]

11100112x2[(3-n)6]

R6[n]

11110014x2[(4-n)6]

R6[n]

011110