解析函數(shù) 初等函數(shù)

第二章解析函數(shù)

導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的概念柯西-黎曼條件解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系初等函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)基本概念

正確理解導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的概念，以及可導(dǎo)與解析之間的關(guān)系掌握使用柯西-黎曼條件判定函數(shù)的解析性1、導(dǎo)數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的分析定義：2、微分

導(dǎo)數(shù)反映“變化率”；微分體現(xiàn)“逼近”的思想。3.可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系(1)可導(dǎo)可微可導(dǎo)可微；可微可導(dǎo)(2)可導(dǎo)連續(xù)上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)一致。

對(duì)二元實(shí)函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)存在可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。4.求導(dǎo)法則(1)四則運(yùn)算法則(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、解析函數(shù)奇點(diǎn)(singularitypoint)1、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性為一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；2、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)，反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析；3、閉區(qū)域上的解析函數(shù)在包含這個(gè)區(qū)域的一個(gè)更大的區(qū)域上解析；注：關(guān)系(2)區(qū)域可導(dǎo)區(qū)域解析(1)點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)解析解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)(2)(3)利用這些法則，我們可以計(jì)算常數(shù)、多項(xiàng)式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。注解：三、函數(shù)解析的充要條件證明（必要性）：證明（充分性）：復(fù)變函數(shù)的解析條件注意:1和數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論不同，此定理表明解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實(shí)部和虛部不是完全獨(dú)立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；2柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件而非充分條件；3解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡潔的形式：反例：u(x,y)、v(x,y)如下：推論：例1討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性：１.指數(shù)函數(shù)２.對(duì)數(shù)函數(shù)３.乘冪與冪函數(shù)４.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)５.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)第二節(jié)初等函數(shù)6.多值函數(shù)導(dǎo)引：幅角函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)1）f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析;2）f'(z)=f(z);3）當(dāng)Im(z)=0時(shí),f(z)=ex,其中x=Re(z)。定義函數(shù)f(z)，滿足下列三個(gè)條件：指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)

由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有

所以，

因此，

我們也重新得到歐拉公式：二、對(duì)數(shù)函數(shù)注解：由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)。即由于Argz為多值函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)w=f(z)為多值函數(shù)，并且每兩個(gè)值相差的整數(shù)倍，

記作令，則所以

如果規(guī)定上式中的Argz取主值argz，則Lnz為

一單值函數(shù)，記作lnz，稱為Lnz的主值；因此有特別地,當(dāng)z=x>0時(shí),Lnz的主值lnz=lnx就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)。

其余各值可由

表示；對(duì)于每一個(gè)固定的k，上式為一單值函數(shù)，

稱為Lnz的一個(gè)分支；三種對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：函數(shù)單值與多值定義域注解lnx單所有正實(shí)數(shù)Lnz多所有非零復(fù)數(shù)一個(gè)單值分支為lnzlnz單所有非零復(fù)數(shù)z=x>0時(shí)，為lnx對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的單值化：相應(yīng)與幅角函數(shù)的單值化，我們也可以將對(duì)數(shù)函數(shù)單值化：考慮復(fù)平面除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，對(duì)數(shù)函數(shù)可以分解為無窮多個(gè)單值連續(xù)分支。沿負(fù)實(shí)軸的割線的取值情況：上沿下沿一般區(qū)域：由于對(duì)數(shù)函數(shù)的每個(gè)單值連續(xù)分支都是解析的，所以我們也將它的連續(xù)分支稱為解析分支。我們也稱對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)無窮多值解析函數(shù)。我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的無窮階支點(diǎn)（對(duì)數(shù)支點(diǎn)）；特點(diǎn)：1、當(dāng)z繞它們連續(xù)變化一周時(shí)，Lnz連續(xù)變化到其它值；2、不論如何沿同一方向變化，永遠(yuǎn)不會(huì)回到同一個(gè)值。三、乘冪ab與冪函數(shù)

設(shè)a為不等于0的一個(gè)復(fù)數(shù)，b為任意一個(gè)復(fù)數(shù)，

定義乘冪ab為ebLna,即

ab=ebLna由于是多值的,因而

ab也是多值的。所以這時(shí)ab具有單一的值。（1）當(dāng)b為整數(shù)時(shí),由于（2）當(dāng)b=p/q

(p和q為互質(zhì)的整數(shù),q>0)時(shí),由于ab具有q個(gè)值,即當(dāng)k=0,1,...,(q-1)時(shí)相應(yīng)的各個(gè)值。除上述情況外此而外,一般而論，ab具有無窮多個(gè)值冪函數(shù)的基本性質(zhì)：

設(shè)區(qū)域G內(nèi)，可以把Lnz分成無窮個(gè)解析分支。對(duì)于Lnz的一個(gè)解析分支，相應(yīng)地za有一個(gè)單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，w=za這個(gè)單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且其中za應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。

對(duì)應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，za在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形,定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),顯然這與上式完全一致。將這兩式相加與相減,分別得到由歐拉公式有現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形,定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),顯然這與上式完全一致。為周期的周期函數(shù),由于ez是以因此cosz和sinz以為周期,即三角函數(shù)的性質(zhì)

（1）（2）cosz是偶函數(shù),sinz是奇函數(shù)：（3）由指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以求得（4）從公式還易知普遍正確,即對(duì)于復(fù)數(shù),歐拉公式仍然成立。由此得（5）由定義和指數(shù)函數(shù)的加法定理，成立：所以這兩個(gè)公式對(duì)于計(jì)算cosz與sinz的值有用。當(dāng)z為純虛數(shù)iy時(shí),有當(dāng)y

時(shí)，|siniy|和|cosiy|都趨于無窮大，因此，|sinz|1和|cosz|1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立。其它復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義如下：分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù)。與三角函數(shù)密切相關(guān)的是雙曲函數(shù),定義不難證明chz和shz都是以為周期的函數(shù)，chz偶函數(shù)，shz為奇函數(shù)。他們都是復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)。及導(dǎo)數(shù)分別為：五、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)則稱w為z的反余弦函數(shù),記作反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù),設(shè)由得二次方程數(shù)。兩端取對(duì)數(shù)得它的根為其中應(yīng)理解為雙值函顯然Arccosz是一個(gè)多值函數(shù)，

它的多值性正是cosw的偶性和周期性的反映。用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數(shù),

并且重復(fù)上述步驟,可以得到它們的表達(dá)式：

反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù)。用與推導(dǎo)它們都是多值函數(shù)。反三角函數(shù)表達(dá)式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數(shù)的表達(dá)式：反雙曲正弦反雙曲余弦反雙曲正切多值函數(shù)導(dǎo)引：幅角函數(shù)：

因?yàn)槌醯葟?fù)變多值函數(shù)的多值性是由于輻角的多值性引起的，所以我們先研究輻角函數(shù)：它本身不是一般意義下的初等函數(shù)。

w=Argz函數(shù)有無窮個(gè)不同的值：

其中argz表示Argz的主值：(我們也把Argz的任意一個(gè)確定的值記為argz)

為了研究方便起見，我們把幅角函數(shù)在某些區(qū)域內(nèi)分解為一些單值連續(xù)函數(shù)，每一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)稱為幅角函數(shù)在這區(qū)域內(nèi)的一個(gè)單值連續(xù)分支。

考慮復(fù)平面除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，Argz的主值argz

是一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)。因此，w=Argz在區(qū)域D內(nèi)可以分解成無窮多個(gè)單值連續(xù)函數(shù)，它們都是w=Argz在D內(nèi)的單值連續(xù)分支。

對(duì)一個(gè)固定的整數(shù)k，也是一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)。沿負(fù)實(shí)軸的割線：上沿下沿研究下圖的情形：一般區(qū)域：一般區(qū)域（含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）：結(jié)論：因此，對(duì)于幅角函數(shù)w=Argz，0和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是特殊的兩點(diǎn)。在復(fù)平面上，取連接0和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一條無界簡單連續(xù)曲線L作為割線，得到一個(gè)區(qū)域D，其邊界就是曲線L。則可以將argz分解成一些連續(xù)分支：1、當(dāng)L為負(fù)實(shí)軸時(shí)，幅角函數(shù)可以分解成無窮個(gè)單值連續(xù)分支；2、一般區(qū)域見下圖：因此，對(duì)于幅角函數(shù)w=Argz可以分解成無窮個(gè)單值連續(xù)分支

Argz在C內(nèi)上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）的各值之間的聯(lián)系：通過作一條簡