考研高數(shù)二真題及答案97年到12年

考研數(shù)學(xué)二真題1997年

一、填空題

已知/(%)={(COSX)I2,%#0在x=0處連續(xù)，則Q=_______

IQ,X=0

2、

設(shè)，=必需豆惻川”。

?

1.二

3，A(4-x)

4、

廣也=

Jox2+4x+8

5、

已知向量組6=(1,2,-1,l),a2=(2,03,0),a,=(0,-4,5,-2)的秩為2,則，=

二、選擇題

6、

設(shè)％―0時(shí),e"*1'-e”與一是同階無(wú)窮小，則〃為

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.[]

7,

設(shè)在閉區(qū)間[a,6]上/(%)5>0,/'(工)<0,/B(z)>0.記&=⑸dx,S”f⑹(b-a),

S3=j-[f(a)+f(b)](b-)a),則

(A)S|<S2<S3.(B)S2<S3<S].

(C)S3<Si<S2.(D)S2<s,<s3.[]

8.

已知函數(shù)y=f?)對(duì)一切x滿足工/”(“)+3x[/f(x)]2=1-e\若/'(痂)=0(%KO),

則

(A)/(x0)是人工)的極大值.

(B)/(x0)是的極小值.

(C)(x0/(x0))是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)?

]

(D)/(x0)不是7?(￡)的極值,(&J(。))也不是曲線y=/(?)的拐點(diǎn).

9、

設(shè)尸(工)=je'Esintd，，則F'(x)

(A)為正常數(shù).(B)為負(fù)常數(shù).

(C)恒為零.(D)不為常數(shù).]

10、

設(shè)g⑺七:：>>=*'*則g[/(x)]為

一*x>0

2+欠2,x<02-4?，X<0

(A)(B)

,2-%,x02+%,4N0

2-x,x<02+4’，.4<0

(C)(D)】

2-”,*N02+x.4分0

三、解答題

11、

求極限lim+x-1

,―/x2+sinx

12、

設(shè)，=火")由｛2,-曠+，=5所確定'

13、

計(jì)算卜'(tan%+1)2(lx.

14、

求微分方程(3酎+2xy-/)<k+(x2-2町)dy=0的通解.

15、

2

已知力=xe"+e*,力=xe*+e*,y3=xe'+-e：是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)

解，求此微分方程.

16、

17、

r2xX

x+A2-x3=1

取何值時(shí)，方程組，無(wú)解，有唯一解或有無(wú)窮多解?并在有無(wú)窮多解時(shí)寫出

AAx,-x2+z3=2

X

4%［+5%2-53=-1

方程組的通解.

18、

設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r（6）,M（r,0）為〃上任一點(diǎn),4（2,0）為L(zhǎng)上一定點(diǎn),若極徑0%、

0M與曲線L所圍成的曲線扇形面積值等于L上此.W兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)值一半,求曲線L的方程?

19、

設(shè)函數(shù)/（工）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)大于零，并滿足工/，《）=/（工）+第2（。

為常數(shù)），又曲線y=/（%）與X=l,y=0所圍的圖形S的面積值為2,求函數(shù)y=/（工），并問(wèn)a為何

值時(shí)，圖形S繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.

20、

已知函數(shù)/（工）連續(xù),且四竺=2,設(shè)令（工）=求/（工），并討論,（"）的連續(xù)性.

21、

就A的不同取值情況，確定方程工-^sinx=k在開區(qū)間（0,手）內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

答案：

一、填空題

e±

1,

【命Ml目的】考查不定式極限的計(jì)算.

【詳細(xì)解答）由題設(shè)出那工）=/（0）,即

a=lim（cosx）x2=12=-2*=e2.

【易錯(cuò)辨析】察指函數(shù);^尸⑸轉(zhuǎn)換為是解決這類極限的關(guān)鍵.

［延伸拓展】嘉指函數(shù)求極限是極限計(jì)算問(wèn)題中的一類較復(fù)雜的題目，本題的方法帶有普遍性.

2、

3

~T

【命用目的】考查對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù).

【詳細(xì)解答】由題意得

V=yln(1-x)-yln(1+x),

y2

2(1-x)~I+x'

H________[_]_￡

7~~2(x-I)2-(1+x2)21

于是川。=-冬

1x=0Z

【易錯(cuò)辨析】如果直接對(duì)原式求導(dǎo)可能較繁瑣，容易出錯(cuò).

【延伸拓展】對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)后，再求導(dǎo)數(shù)可以簡(jiǎn)化計(jì)算.

3、

2arcsin孝+C或arcsin%.

+C.

【命用目的)考查換元積分法在不定積分中的應(yīng)用.

[詳細(xì)解答1]f-"-=[—"一；=arcsin"2+C,

J/x(4-x)'&-(4-2)’2

[洋細(xì)解答2][-,也=[,>———=2[,6?=2arcsing+C.

J7x(4-x)：力…卬)J4_?2

[易錯(cuò)辨析】正確的使用配方、換元及基本積分公式是解題關(guān)鍵所在.

【延伸拓展】計(jì)算不定積分時(shí)往往方法較多，應(yīng)注重平時(shí)的訓(xùn)練和理解，但不管怎樣基本積分公

4、

TT

【命雙目的】考查廣義積分的計(jì)算方法.

dx______f+-d(4+2)1x+2I+B

[詳細(xì)解答)/+4工+8=4+(工+2尸=5arctan—|°=yIT-

[易錯(cuò)辨析】將分母正確地配方,熟練地運(yùn)用公式并求出原函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限值是解題關(guān)鍵.

【延伸拓展】廣義積分的計(jì)算方法并不困難，只要理解細(xì)心,就可以解決.

5、

3.

【用用目的】考查向量組的秩的概念與性質(zhì).

2-1】、

[祖用解答1]由于秩=2,則矩陣2010的任一個(gè)三階子陣的行列

<0-45-2/

式的值為零，即

12-1

20t=0,

0-45

解得t=3.

口2-12-10、

[*<?*??-2]20t。卜-41+3-2,

、0-45-2)lo-45-2>

秩r(at,a2,a3)=2=t+3=5,即c=3.

【易錯(cuò)辨析】矩陣4經(jīng)初等變換化為B應(yīng)寫作4-8,而不是4=8.

【延伸拓展】一般地向量組的秩等于從它們?yōu)樾?列)向量的矩陣的秩.

二、選擇題

6、C

又tanx=x+-^-x3+o(x5),

e'*"-e*=yx5+o(x5).

從而-e■與x3為同階非等價(jià)無(wú)窮小.

應(yīng)取n=3.故選(C).

【易錯(cuò)辨析】對(duì)兒個(gè)常用函數(shù)的馬克勞林展式必須熟悉?

【延伸拓展】函數(shù)的寡級(jí)數(shù)展開是解決許多題目的橋梁，此題就是將泰勒公式、等階無(wú)窮小和洛

必達(dá)法則結(jié)合起來(lái)的一個(gè)例子.

7、B

【命雙目的】考查定積分的幾何意義.

【洋3解答】由題設(shè)條件，易知f(x)在％軸上方、單調(diào)下降且向上

凹，如圖所示,E、Sz和S3分別為圖中所示區(qū)域的面積，顯然<S]

<Sy

【易錯(cuò)辨析】由所給條件和定積分的幾何意義可從幾何圖形中

選出正確選項(xiàng).

【延伸拓展】此題既可從性質(zhì)入手比較圖形面積，也可直接計(jì)算

出找出答案

8、B

【6m目的】考查極值、拐點(diǎn)的判定.

【詳?都答)由/'(工°)=o知所是/(%)的駐點(diǎn)，將％=加代入微分方程

x/*(x)+3x[f,(x)]2=1-e-\

”-1

得fHM=

M)e*0

可見無(wú)論飛(K0)為何值，都有/”(3)>0,

所以工=3是函數(shù)/U)的極小值點(diǎn).

【易錯(cuò)辨析】充分利用所給條件及x0點(diǎn)一階或二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).

【延伸拓展】極值問(wèn)題一般用定義或第一、第一充分條件判定.

9、A

【命皿目的】考杳周期函數(shù)的積分性質(zhì)和分步積分法.

【詳細(xì)解答】由于函數(shù)e'%in￡以2”為周期，

因此F(x)=「5iM

^sin/dl=￡\Sin4d4(為常數(shù))

=-(e""dcost=。+[cos2te5l,udt>0.

【易錯(cuò)辨析】利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)可簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，利用積分保號(hào)性判定可以F(x)的符

號(hào).

【延伸拓展】一般地，若f(x)是以7為周期的連續(xù)函數(shù),則必有「7(%)也=p(x)dx.

10、D

【命題目的】考查考生對(duì)分段函數(shù)的理解和領(lǐng)會(huì).

【詳細(xì)解答】根據(jù)g(工)的定義知，復(fù)合函數(shù)

g[f(x)]=/(工)*0,

UV(x)+2,/(x)>0.

而兀<0時(shí)/(%)=x2>0；zN0時(shí)J(4)=-%W0.

X<0,

故gg)]叱:2

欠N0.

【易錯(cuò)辨析】由復(fù)合函數(shù)的定義，分段確定g[/(x)]的表達(dá)式.

[延伸拓展】與分段函數(shù)有關(guān)的題目是常見題型,應(yīng)予以重視.

三、解答題

11、

【"雙目的)考查極限的四則運(yùn)算.

本題為“史”型未定式.

00

［詳細(xì)解答1］原式=litnTT；

…-sinz

<-?*JIl-產(chǎn)1

【彈獨(dú)解存2】先進(jìn)行有理化，再計(jì)算.

?Jx+sinx(\/4x2+x-1-x-1)

J__2

-2

［易錯(cuò)辨析］應(yīng)特別注意:當(dāng)“—8時(shí)，將一提出根號(hào)外時(shí)應(yīng)為-乂

【延伸拓展】對(duì)巴型不定式，基本方法是分子、分母同除以最大的“項(xiàng)”，此題中注意到工T-8,

00

為了避免出錯(cuò)，故可令，=-x.

12、

【,見目的】考查參數(shù)方程及隱函數(shù)求導(dǎo).

【.■通一墳】y=r(x)由參數(shù)方程和隱函數(shù)方程聯(lián)合確定，求今須先分別求出招和筆而求富

應(yīng)按隱函數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算.也可以將，=tanx代入方程2y-9+e'=5中，兩邊對(duì)工求導(dǎo)便可解出

叱

dx-

得業(yè)

因*=)(，./).

dx2(1-ty)

［詳演都答2】由欠=arctanf,得l=tanx,將其代入題目中第二式有2y-y2tanx+e”"=5,

兩邊對(duì)“求導(dǎo)得

dyAy.22.un*2

o2,-oZy??tan%-y??secx+e?secx=A0,

axax

解得

dy_(y2e'g)(1+lar?%)

dx2(1-ytanz)

［易錯(cuò)辨析】求用須先分別求出華及今，而今的計(jì)算又要按隱函數(shù)求導(dǎo)法計(jì)算.

【延伸拓展】參數(shù)方程求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)是考研的重點(diǎn)，應(yīng)多練習(xí).

13、

【命用目的】考查不定積分的分步積分法.

帖點(diǎn)撥】被積函數(shù)為兩個(gè)不同類型的函數(shù)之積，應(yīng)考慮采用分步積分法.

222

［洋加a答】原式=-^-e*(tanx+1)-je〃(tanx+1)secxdx

=y-e2*(tanx+1)2-Je2jftanxsec2zdx-卜2*se—dx

=-^e2*(tanx+1)2--^-e2xlan2x+Je2xtan2%dx一/e2tsec24dx

=-^-e2,(2tanx+1)-Je^dx

="^~e"(2tanx+1)-=+C

=e^tanx+C.

【易錯(cuò)辨析】熟練應(yīng)用分步積分法，選擇一個(gè)湊微分的函數(shù)是分步積分的關(guān)鍵.

【延伸拓展】在積分時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)某些復(fù)雜積分重復(fù)出現(xiàn)的情況,這時(shí)我們不必苛求每一部分

都能積出，常常是可以將其消去或其即為所求積分.

14、

【命題目的】考查一階微分方程的解法.

(4蹌點(diǎn)撥】由于也,dy前的系數(shù)是關(guān)于x,y的二次式，方程為齊次方程，可引入變換y=8,將

原方程化為可分離變量的方程再求解.

【洋答】易知此方程為齊次方程，令y=ux,則

代人原方程有

皿=_3(u2-M-1)

Ax2u-1'

此為可分離變量方程，解得

u2-u-1=C”，即/-町--=Cx~l.

【易錯(cuò)辨析】正確地判斷方程的類型，是解題關(guān)鍵.

【延伸拓展】求解一階微分方程，應(yīng)先確定方程的類型,再選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

15、

【?"目的】考查線性方程的解的結(jié)構(gòu)及常系數(shù)線性齊次方程的特征方程法.

【電路點(diǎn)報(bào)】由解與特征根的對(duì)應(yīng)關(guān)系得特征方程，由特征方程與齊次線性微分方程的對(duì)應(yīng)關(guān)

系得齊次線性微分方程,然后再得非齊次項(xiàng).

由題設(shè)，并根據(jù)二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)知*-h=e-是齊次方程的

解，而力-e-=%/仍為非齊次方程的特解,進(jìn)而得力-加，=e〃為齊次方程的解，即有e”與e-"

是相應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且“不是非齊次方程的一個(gè)特解，故

y=xe'+Ge"+C,e'x

是所求方程的通解，由

1u1

y'=e*+xe+2Cte—^e',

x

y"=2e*+xe*+4。產(chǎn)+C2e-

消去GG得所求方程為

y*--2y=e*-2xe,.

［易儲(chǔ)辨析］熟悉掌握并運(yùn)用線性方程解的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵所在.

［延伸拓慮］此題為求解微分方程的反問(wèn)題,解題的依據(jù)是線性方程解的結(jié)構(gòu)以及解常系數(shù)線

性齊次方程的特征方程法.

16、

【命班目的】考查矩陣方程的解法.

【，電路點(diǎn)撥)先利用A的可逆性將原矩陣方程化簡(jiǎn)，再求氏

【詳如對(duì)谷)因IAIK0,在A?-4Z?=七兩邊左乘A-、得

A-B=A'1,即3=A-A-1.

(11-n/I-1-2A

又由A=011得內(nèi)=011,

<00-1>、00-1>

’11-n(\-1~2\(021、

從而3=011-011=000

<00-1>、oo-1Jlo00>

【易錯(cuò)辨析】可以利用等式444=E來(lái)驗(yàn)證4的計(jì)算是否正確.

【延伸拓展】設(shè)4,B是n階矩陣，若4B=&則4,8均可逆且互為逆矩陣

17、

【“雙目的】考查含參數(shù)線性方程組的解法.

［*?■*?.］考慮到方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)一致，可用克萊姆法則求解，當(dāng)系數(shù)矩陣行列式

IAI#0時(shí)有唯一解;而當(dāng)IAI=0時(shí)，可確定參數(shù)人,最后轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的線性方程組求解.

【洋看M番】原方程組的系數(shù)行列式

2A—1

A-11=5A2-A-4=(A-1)(5A+4),

45-5

故當(dāng)A#1且4K-義時(shí)，方程組有唯一解.

rlOxj-4X2-5X3=5,

<4xj+5X2-5X3=-10,

4xj+5X2-5X3=-1,

對(duì)其增廣矩陣的施行初等變換：

(10-4-5：5\(10-4-5：5、

45-5：-10P45-5：-10,

、45-5：-1JV000：9;

1?

可見當(dāng)A=-*時(shí),原方程組無(wú)解.

［易錯(cuò)辨析】對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換相當(dāng)于對(duì)方程組進(jìn)行同解變形?

【延伸拓展】方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同的線性方程組就=0,當(dāng)141#0時(shí)有唯一解；當(dāng)I4

I=0時(shí),無(wú)解或有無(wú)窮多解.在后一情況下，通常要對(duì)增廣矩陣施行初等行變換進(jìn)一步討論并求

解.

18、

?■目的】考查極坐標(biāo)系下求面積和弧長(zhǎng)的方法及微分方程的解法.

【息珞點(diǎn)撥】在極坐標(biāo)系中，由曲線r(0)及射線8=a,6=B圍成的曲邊劇形的面積為

曲線弧r=r(0)(aW6W0)的長(zhǎng)度為［，產(chǎn)(/)+尸(夕)曲

【洋加N甘】由題設(shè)，有

/司。=X〃+產(chǎn)她

兩邊對(duì)。求導(dǎo)，得

r2=，r2+r”,即/=±rJ￥-1,

從而嚴(yán)一=上此，

r/r2-1

因?yàn)?---=—arcsin—+C,

1rr

所以-arcsin十+C=±ft

由條件r(0)=2^C=尢

故所求曲線L的方程為

rsin(菅干。)=1,即r=csc(1?干。)，

oo

亦即直線方程為

x+V§y=2.

【易錯(cuò)辨析】利用極坐標(biāo)下的面積及弧長(zhǎng)建立微分方程并解此微分方程是關(guān)鍵.

【延伸拓展】本題由幾何問(wèn)題建立微分方程，所以要求我們熟悉極坐標(biāo)下面積及弧長(zhǎng)的計(jì)算方

法.

19、

【命雙目的)考查定積分的幾何應(yīng)用、微分方程求解及函數(shù)極值.

【,，珞點(diǎn)撥】先由微分方程

xf'(x)=/(x)+y?

求得/(x)為參數(shù)a及任意常數(shù)C的函數(shù)，再由題設(shè)S的面積為2,定出a、C的關(guān)系式，最后得體積

U為a的函數(shù)*a),對(duì)Ma)求最值即可.

[?**??*]由題設(shè)知，當(dāng)x*0時(shí)，

=.，即；*)]=蕓

據(jù)此并由/(外在點(diǎn)工=0處的連續(xù)性，得

f(x)=—ax2+Cx,xe[0,1].

又由已知條件得

2=((yax2+Cx)dx=(yax3+yx2)|：=ya+yC.EPC=4-a.

因此/(x)=yax2+(4-a)x.

旋轉(zhuǎn)體的體積為

V(a)=irjf/(x)<k=[yax2+(4-a)x]2dx=臉a?+~a+y)?r.

由V*(a)=(=a+-1-)7r=0得a=-5.

又因片(a)=">0,故a=-5時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最小.

[易錯(cuò)辨析】在這類綜合題目的解題過(guò)程中，應(yīng)注意對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解，以簡(jiǎn)化計(jì)算.

【延伸拓展】這是一道涉及定積分幾何應(yīng)用、微分方程求解和求函數(shù)極值的綜合題，要求平時(shí)加

強(qiáng)訓(xùn)練和積累.

20、

【中處目的】考查導(dǎo)數(shù)、變上限函數(shù)求導(dǎo)及連續(xù)的知識(shí).

【路點(diǎn)撥】題設(shè)條件lim以垃=A隱含著/(0)=0,/70)=4,在解題時(shí)應(yīng)特別注意這類隱含

x-0X

條件.被積函數(shù)中G不是積分變量，為了對(duì)Mx)求導(dǎo)，必須作變換u=xt.

【洋細(xì)H答】由題設(shè)，知/(0)=0,^(0)=0.

f/(u)du

令得6(x)=-------(x#0),

即即公.”0,

=0,

從而”(工)(xK0).

由導(dǎo)數(shù)定義有

f/(u)du

/(0)=lim----j---加華=A

…xi2x2，

xf(x)-[/(u)du

由于lim“(4)=lim

*--Ox-OxT)XlOx

=-4-y-y="(°),

從而知d(工)在工=0處連續(xù).

【易錯(cuò)辨析】已知條件1而n垃=4隱含著f(0)=0及/(0)=4、對(duì)r(x)求導(dǎo)作變換“=也是

*l0X

這一題目中應(yīng)當(dāng)注意的兩點(diǎn).

【延伸拓展】此題中在計(jì)算lim”(工)時(shí)不可直接用洛必達(dá)法則，因?yàn)榇藭r(shí)lim”(x)不知道是否

X-0?-*)

存在，故不滿足洛必達(dá)法則的條件.

21、

【命用目的)考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

(,0路?點(diǎn)撥】令/(z)=l-&inx,討論方程f(x)=人在開區(qū)間(。,手)內(nèi)根的個(gè)數(shù)，實(shí)質(zhì)上只需

研究函數(shù)/(*)在(0,年)上圖形的特點(diǎn)J(z)=A在開區(qū)間(0,半)內(nèi)根的個(gè)數(shù)即為直線y=人與

曲線y=/(%)在(0寧)區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【評(píng)?ia"答】設(shè)f(x)=x-y-sinx,

則/(4)在［0號(hào)］上連續(xù).

由廣⑴=1-Tcosx=。，得人工)在(0,子)內(nèi)的唯一駐點(diǎn)/=arccos—.

由于當(dāng)工e(O,xo)時(shí)，廣⑴<0,當(dāng)工e5子)時(shí),廣⑷>0,

所以/(功在［0,%］上單調(diào)減少，在［工。,m］上單調(diào)增加.

因此乙是f(x)在(0號(hào))內(nèi)的唯一最小值點(diǎn)，最小值為%=/(%)=xQ-y-siru:0.

又因/(0)=/(f)=0,故在(0手)內(nèi)/(x)的取值范圍為［%,0).

故當(dāng)A任［九,0),即左<%或CO時(shí),原方程在(0號(hào))內(nèi)沒(méi)有根；

當(dāng)k=%時(shí),原方程在(0,占)內(nèi)有唯一根與；

當(dāng)心(兀,0)時(shí)，原方程在(0,%)和(g號(hào))內(nèi)各恰有一根，即原方程在(0號(hào))內(nèi)恰有兩個(gè)不同

的根.

【易錯(cuò)辨析】熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的增減、極值是解題的關(guān)鍵.

【延伸拓展】討論方程的根、函數(shù)零點(diǎn)、曲線的交點(diǎn)屬于同類題型，是涉及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合題，應(yīng)

予以重視.

考研數(shù)學(xué)二真題1998年

一、填空題

1、

2、

曲線y=-P?/+2x與x軸所圉成的圖形的面積4=.

3、

CInsinx.

I-r■心=________?

Jsinx

4、

設(shè)/(*)連續(xù)，則奈-/)山=________；

5、

曲線y=xln(e+L)(x>0)的漸近線方程為

X--------

二、選擇題

6、

設(shè)數(shù)列X,與九滿足則JIJ?=0.則下列斷言正確的是

(A)若凡發(fā)散,則y.J發(fā)故(B)若x.無(wú)界,則y.必有界.

(C)若x.有界，則以必為無(wú)窮小.(D)若上為無(wú)窮小,則力必為無(wú)窮小.【]

7、

函數(shù)f(x)=(?-x-2)l-xl的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

(A)0.(B)l.(C)2.(1))3.[]

8、

已知函數(shù)y=y(x)在任意點(diǎn)x處的增量好=產(chǎn)4+a,其中a是比加(*-0)高階的無(wú)

窮小，且式0)=*則式1)=

(A)7ref.(B)2m(C)ir.(D)ef.[]

9、

設(shè)函數(shù)/(a)在*=a的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且/(a)為其極大值.則存在6>0,當(dāng)xe(a-S,

a+5)時(shí)，必有

(A)(x-a)[/(x)-/(a)]N0.(B)(x-a)[f{x]-〃a)]W0.

(C)】im〃?一甲*0("a).(口)1加華」等在0"/。).[]

~(t-X)i(i-x)

10、

設(shè)A是任一N3)階方陣./V是其伴隨咫陣.又左為常數(shù),且*#0.土1,則必有(心廠

(A)W.(B)4-'4*.(C)r4*.(D)*-'A*.[]

三、解答題

11.

.

求函數(shù)/(*)-(1+x)J?小在區(qū)間(0,2")內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.

12、

確定常數(shù)aAc的值，使lim;、今、=c(c^0).

…C〔Ml+>

13、

利用代換y=篇將方程/cow-2y,sinx+3yco<sx=e*化荷，并求出原方程的通解.

14、

計(jì)算枳^瞪方

15、

從船上向海中沉放某種探潮儀器,按探闋票求，需確定儀幫的下沉深度"從海平面算起)與下沉

速度。之間的函數(shù)關(guān)系,設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由粉止開始鉛直卜沉，在下沉過(guò)程中還受到阻

力和浮力的作用設(shè)儀器的質(zhì)量為m.體積為8.海水比重為儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比

例系數(shù)為>0).試建立》與"所懵足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).

16、

17、

設(shè)有曲線丫=".過(guò)原點(diǎn)作其切線，求由此曲畿.切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周

所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.

18、

設(shè)yhy(t)是一向上凸的連續(xù)曲線,其匕任意一點(diǎn)(“，)處的曲率為與=在且此曲線上點(diǎn)

，…y

(0,1)處的切線方程為)-x?1,求該曲線的方程,并求函數(shù)，=>(“)的極值.

19、

設(shè)二￡(0,1),證明：

，<

⑴(1r)*(1+*)</；(2)i^-l<ln(1+xj-7f-

20、

設(shè)(2E-C")4T=C",其中E是4階單位矩陣.4T是4階矩陣4的轉(zhuǎn)置哥陣,

fl2-3-2](120八

012-30120

B=?C-

00120012,

0001J?00\)

求A

21、

已知，=”,4,0,2)',■=(2,7,1,3)1叼=(0.1.-I,a)r,j3?(3,10力,4)\問(wèn)：

(l)a6取何值時(shí)f不能由a,,a2,外線性衣示？

(2)*4取何值時(shí)￡可由5,a,線性表示?并寫出此表示式.

答案：

一、填空題

1、

.L

4,

?目的）號(hào)琮?型不定式極限的計(jì)算.

［答I）用洛必達(dá)法則,博

I________1

原式31加Ui三_工上三.ii（n上I三三

-2.1I4x/i?./i-x

i.-2x1

=lim------,~r—,----------二?——?

-4x/iT7/T^7（y/i^7>/TT7）4

（火?N*2）將分子中的JE和/FT：分別按皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式展開,博

I?右?-于?（>（/）4I--~x23?c（』）-2

原式slim----------------------------------:---------------------------------

ix

?lim（一；?彳12）二一；.

I4U4

（5■辨析】等價(jià)無(wú)窮小代換只限于函數(shù)間是乘積關(guān)系時(shí)運(yùn)用.本M中若分子為（/T77-1）

?（/E-I）.用等價(jià)無(wú)窮小代換如JE?i-l-x,/nr7-i~會(huì)就會(huì)得出極限為。的

情誤縉果.

【砥伸拓展】生型不定式求極隈可用洛必達(dá)法則和泰勒公式求解.

2、

37

五

（9用目的】考查定積分的幾何應(yīng)用.

（弊如期枳因武-；）=-春,，⑴=2.

/O

所以工=f一（-J+/>2x）dx?（（—‘+2x）dx

45

（xx'八A/x,x2KP37

=（彳-17）|_「（-7+予+*）I。=五?

［易錯(cuò)辨析】確定圖形與X軸間的位置關(guān)系非常關(guān)鍵.

（延伸拓展】這類題目是常規(guī)題型?

3、

—co切?Insinx-cotx-x+C.

【中?目的】考查不定積分法.

【憚?M音】用分步積分法，有

Insinx=-Jlnsinzd(cotx)=-cotx?Insinx?Jcot2zdz

sin2x

s-coU-Insinx+J(csc2x-1)dx

=-cotx?Insinx-coU-4+C.

【易錯(cuò)解析】熟練運(yùn)用分步積分公式.

【延伸拓展】此題中因?yàn)椤箁Yx=-dcotx所以可采用分步積分.

sinx

4、

xf(x2).

［?*■?］考查含參量枳分的舁Jt

(評(píng)薦】令“?X2-n-2，dx■當(dāng)rs0時(shí)="氣當(dāng)t=x時(shí).u=0.故

H貝*'山'K=必/).

【?修蟒析】?■「不是枳分變量,故應(yīng)先作變換.再對(duì)變限積分求導(dǎo).

【熊伸拓展】一般地.若被租函數(shù)中含有與乂有關(guān)的中間變量,則應(yīng)先作變量代換?然后再求導(dǎo).

此種8［型是常見題目,應(yīng)引起重視.

5、

【?用目的】考行曲線漸近線的計(jì)算.

.1、

xln(ze+-)

【注答】a=lim-----------------=limln(e-)=I,

4―??xx

b=lim(y-ax)=limx[ln(e+-)-1]

??一?4?X

XX

故此曲線的漸近線方程為y=x+L

e

【易皆辨析】按定義求極限得出"J,才能確定漸近線的類型.

［延伸拓JR)求曲線的漸近線是?？嫉念}型.一般應(yīng)通過(guò)極限確定垂直、水平及斜漸近線.

二、選擇題

6、D

7、C

【■■國(guó)目的】考查對(duì)函數(shù)分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的討論.

[**"**??]一般來(lái)說(shuō)函數(shù)IX-XoI在#=*0點(diǎn)不可導(dǎo)，但(X-X。)I工-&I在X=和點(diǎn)可

導(dǎo),而本題中

/(?)=(xl-x-2)I-xI=(x-2)(x+1)Ix(*-1)(*+1)I,

可能的不可導(dǎo)點(diǎn)為x=0,x=i,x=-1,但在絕對(duì)值符號(hào)外有因子x+I,所以x=-1應(yīng)為可導(dǎo)

點(diǎn).故最終不可導(dǎo)點(diǎn)應(yīng)為2個(gè)，把/(外用分段函數(shù)表示后可確定/(外在x=-1可導(dǎo),但在x=0.

X?1處不可導(dǎo).

【易錯(cuò)辨析】分段函數(shù)與含有絕對(duì)值的函數(shù)的可導(dǎo)性的討論方法類似，分段點(diǎn)是可能的不可導(dǎo)

點(diǎn).

【延伸拓展】若爪X)在點(diǎn)x=方處連續(xù),則/(X)=1x-*013(力在工=與可導(dǎo)的充要條件

是r(*o)=0.

8、A

目的】考查導(dǎo)數(shù)微分的微念.

由題[設(shè)r=產(chǎn)?”+也因啊呆=0,由讀分的定義,知〃x)在任意點(diǎn)可微,

旦

v'=_2—

、7T7

此方程為一可分離變量的方程,分離變量得

曲-也

y-1+/'

解得InI,I=arclanx?G.即y=Ce-

由y(0)=n?知C=17,

于是yQ)-ire--,

所以>(l)=k-i"'HkJ.

【8?M番2】由Ay??法y+a.兩邊除以再令dx-o取極限，得y'?，以下解法同

詳解一.

(IMt耕析】只有熟練掌握微分的概念及微分方程的求解方法才可解決好此趣

【延伸拓展】該題將可微的概念與微分方程結(jié)合起*，既基礎(chǔ)乂俅合?

9、C

考查極值的定義.

[評(píng)由題設(shè)，存在鄰域(a-6,a+6).使當(dāng)工e(a-5,a+5)時(shí)，有/(幻W/(a)

所以

當(dāng)a-6<x<a時(shí),(x-a)[/(x)-/(a)]N0;

當(dāng)a<x<a+50^,(*~a)[/(x)-/(<*)]SO.

因此(A)、(B)不成立.

考慮到(C)、(D)兩項(xiàng)中分母均大于零，而分子部分有

limg)-X*)]=—<?)?〃*)>0,

t-M

所以必有(C)成立.

[易錯(cuò)辨析]熟練利用極大值的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【延伸拓展】有時(shí)一道題目中涉及的不僅是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，此題對(duì)極大值、連續(xù)的概念都有涉及.

10、B

[力網(wǎng)目嶺]考查伴隨矩陣的概念與性質(zhì).

["箭I]采用加強(qiáng)條件的技巧，設(shè)A可逆?則由

AA*=A*A=I4IE

知A-=1AIA-1,

于是(")?=1Ml?(AA)**=4*I4I-yA'1=4-'-IAlA'=—

所以應(yīng)選(B).

施設(shè)及射0,±I,n,3.主要是為了做到4個(gè)選項(xiàng)只有1個(gè)是正確的.

【用番2】由/C的定義，設(shè)4=(%).…其元素勾的代數(shù)余子式記作仆，則矩陣S=

…若其元素的代數(shù)余子式記作A/iJ=12,…,n),由行列式性質(zhì)有金==1,

2,…/).從而(■)'=f.

【易錯(cuò)辨析】應(yīng)熟悉隹隨矩陣的定義與基本性質(zhì):融?==141E.

【延伸拓展】對(duì)任意Mn2s2)階方陣4與任意常數(shù)及都有CM1二/-'〃.

三、解答題

11、

【??"??)考查間斷點(diǎn)的確定與分類.

[<?AM]初等函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)即為要找的間斷點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求——J一無(wú)定義的點(diǎn)?

【?-X一】——上一在區(qū)間(0.2k)內(nèi)不存在的點(diǎn)為*-手號(hào)各點(diǎn)JQ)在區(qū)間

Un(x--^)4444

4

(0.2k)內(nèi)的間斷點(diǎn)是一!——不存在的點(diǎn).即XH手岑.匕號(hào)各點(diǎn).

un(x-f)4444

4

在x=子■處.lirn/(x)=+8,在**?處，lim/(x)■+?,

4i料41%.

故x=方?處■，)為第二類間斷點(diǎn)?

在X?￥處?1叫〃工)=I.在X=￡處，hm7U)-I.

441場(chǎng)J

但相應(yīng)的函數(shù)在上兩點(diǎn)處無(wú)定義.故x=亨?普為〃x)的可去間斷點(diǎn).

(?解析】間數(shù)點(diǎn)的確定是先決條件.其次極限的計(jì)算也很關(guān)區(qū).

【延伸拓展】間斷點(diǎn)的確定有規(guī)律可循,而間斷點(diǎn)的類型也是較易掌握的，只需要保證極限計(jì)算

的正確性.

12、

［?皿日g）考直被限逆問(wèn)圈的計(jì)算.

（點(diǎn)K】利用極限存任，確定極限式中的常數(shù).由于含有變限枳分,應(yīng)注意應(yīng)用洛必達(dá)法則.

fix—sinx

當(dāng)x―?0時(shí).ax—eimr?。,毀3存在而不為事.

故或叫d

=0.囚此6必為0.

內(nèi)若&>0,則在（0,6］內(nèi),ln（l：Q>O；

若b<0,則在出0）內(nèi)卜（?。?gt;0.

利用洛必達(dá)法則有

..ax-sinxa-co&x.?a-cosx

lim-7;,.r;-=hm---------r-=lim;.

i工ln（l+1）&iln（1+?。瓁2

若aQl,則上式為8.與條件不符.故a=1,

從而再用洛必達(dá)法則（或等價(jià)無(wú)窮小代換）,得c口-1-.

因此a=1,6=0,c=/*.

【易告辨析】正確分析出分母的極限值從而確定常數(shù)4是關(guān)鍵.

［延伸拓展】本題屬極限的逆問(wèn)題,不僅是要求綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí),而且要有較好的分析能力.

13、

【體?用目的】考杳常系數(shù)線性微分方程的化筒及求解.

先利用代換將原方程化為關(guān)于u的方程.再求解.

［許番1］在“二ycosx兩端對(duì)x求導(dǎo),得

y'cosx-ysinx,

y^cosx-2,'sinz-ycosx.

于是原方程化為

uw*4u=e",

其通解為

u=C|Cu?2z+C2sin2x?］"（G、G為任意常數(shù)）.

從而原方程的通解為

-CCM2X..一.e,

y■G.-------?C^inx?z--------,

cosx5coax

[怦*M*2]

y二usecx,

y*=〃'secx+usccx,tanx,

y9=u^secx+2u'secx?tanx+usecx?tan3%+usec3x,

代入原方程得

u*+4u=e*.

以下同詳解一.

［易錯(cuò)辨析】正確將原方程化為關(guān)于u的方程，要注意與原方程結(jié)構(gòu)的關(guān)系.

［延伸拓展】此題化簡(jiǎn)方程的過(guò)程其實(shí)是對(duì)觀察能力的考查?

14、

的】考查定積分的計(jì)算.

被枳函數(shù)中含有絕對(duì)值，一般應(yīng)先將IX-寫成分段表達(dá)式

.2.[X-X1?0CX<1

HL-,

再將所給枳分寫成兩個(gè)積分之和.注意此處兩個(gè)積分均為廣義積分.

4

f-^=dxslimarcain(2x-1)|^?-y,

=limln[(x-—)?

1?2

因此于=孑j（2?⑸?

【易錯(cuò)嬋析】去掉分母中的絕對(duì)值及配方是關(guān)犍.

【延伸拓展】被枳函數(shù)中含有/ax'+任時(shí),一般都先配方，再積分.

15、

[H的】考查微分方程在物理中的應(yīng)用.

首先建立坐標(biāo)系,再根據(jù)牛頓第二定律建立微分方程,最后求解.

【洋?刈答】取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)0,y軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得

d2y

md?Smg-Bp-kv、

這是y時(shí)，的二階可降階的微分方程,其中。-冬，按典型的降階辦法,有

QI

dt'd-dtdydtdy*

從而原始化為

mv'=mg-Bp-kv,

按分離變量辦法解之:

mv,dv,y=--爪嗎；物!ln(mg-Bp-kv)+C.

mg-Bp-kv>Aft

初始條件為d=0,求出

'f?0

C=>%J坳）ln（%?即）.

m(mg-Bp)、mg.Bp-ku

故所求的函數(shù)關(guān)系式為：y=-十mg?Bp.

【易錯(cuò)辨析】由于參數(shù)較多，在計(jì)算時(shí)應(yīng)特別仔細(xì).

【延伸拓展】這類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立微分方程及其初始條件.

16、

【命的】考查羅爾定理、變限積分及單調(diào)性.

【44點(diǎn)”)由定積分的幾何意義，相當(dāng)于要求證明存在一點(diǎn)工。e(