考研高數二真題及答案97年到12年

考研數學二真題1997年

一、填空題

已知/(%)={(COSX)I2,%#0在x=0處連續(xù)，則Q=_______

IQ,X=0

2、

設，=必需豆惻川”。

?

1.二

3，A(4-x)

4、

廣也=

Jox2+4x+8

5、

已知向量組6=(1,2,-1,l),a2=(2,03,0),a,=(0,-4,5,-2)的秩為2,則，=

二、選擇題

6、

設％―0時,e"*1'-e”與一是同階無窮小，則〃為

(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.[]

7,

設在閉區(qū)間[a,6]上/(%)5>0,/'(工)<0,/B(z)>0.記&=⑸dx,S”f⑹(b-a),

S3=j-[f(a)+f(b)](b-)a),則

(A)S|<S2<S3.(B)S2<S3<S].

(C)S3<Si<S2.(D)S2<s,<s3.[]

8.

已知函數y=f?)對一切x滿足工/”(“)+3x[/f(x)]2=1-e\若/'(痂)=0(%KO),

則

(A)/(x0)是人工)的極大值.

(B)/(x0)是的極小值.

(C)(x0/(x0))是曲線y=/(x)的拐點?

]

(D)/(x0)不是7?(￡)的極值,(&J(。))也不是曲線y=/(?)的拐點.

9、

設尸(工)=je'Esintd，，則F'(x)

(A)為正常數.(B)為負常數.

(C)恒為零.(D)不為常數.]

10、

設g⑺七:：>>=*'*則g[/(x)]為

一*x>0

2+欠2,x<02-4?，X<0

(A)(B)

,2-%,x02+%,4N0

2-x,x<02+4’，.4<0

(C)(D)】

2-”,*N02+x.4分0

三、解答題

11、

求極限lim+x-1

,―/x2+sinx

12、

設，=火")由｛2,-曠+，=5所確定'

13、

計算卜'(tan%+1)2(lx.

14、

求微分方程(3酎+2xy-/)<k+(x2-2町)dy=0的通解.

15、

2

已知力=xe"+e*,力=xe*+e*,y3=xe'+-e：是某二階線性非齊次微分方程的三個

解，求此微分方程.

16、

17、

r2xX

x+A2-x3=1

取何值時，方程組，無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出

AAx,-x2+z3=2

X

4%［+5%2-53=-1

方程組的通解.

18、

設曲線L的極坐標方程為r=r（6）,M（r,0）為〃上任一點,4（2,0）為L上一定點,若極徑0%、

0M與曲線L所圍成的曲線扇形面積值等于L上此.W兩點間弧長值一半,求曲線L的方程?

19、

設函數/（工）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內大于零，并滿足工/，《）=/（工）+第2（。

為常數），又曲線y=/（%）與X=l,y=0所圍的圖形S的面積值為2,求函數y=/（工），并問a為何

值時，圖形S繞工軸旋轉一周所得的旋轉體的體積最小.

20、

已知函數/（工）連續(xù),且四竺=2,設令（工）=求/（工），并討論,（"）的連續(xù)性.

21、

就A的不同取值情況，確定方程工-^sinx=k在開區(qū)間（0,手）內根的個數，并證明你的結論.

答案：

一、填空題

e±

1,

【命Ml目的】考查不定式極限的計算.

【詳細解答）由題設出那工）=/（0）,即

a=lim（cosx）x2=12=-2*=e2.

【易錯辨析】察指函數;^尸⑸轉換為是解決這類極限的關鍵.

［延伸拓展】嘉指函數求極限是極限計算問題中的一類較復雜的題目，本題的方法帶有普遍性.

2、

3

~T

【命用目的】考查對函數求二階導數.

【詳細解答】由題意得

V=yln(1-x)-yln(1+x),

y2

2(1-x)~I+x'

H________[_]_￡

7~~2(x-I)2-(1+x2)21

于是川。=-冬

1x=0Z

【易錯辨析】如果直接對原式求導可能較繁瑣，容易出錯.

【延伸拓展】對原式進行適當的化簡后，再求導數可以簡化計算.

3、

2arcsin孝+C或arcsin%.

+C.

【命用目的)考查換元積分法在不定積分中的應用.

[詳細解答1]f-"-=[—"一；=arcsin"2+C,

J/x(4-x)'&-(4-2)’2

[洋細解答2][-,也=[,>———=2[,6?=2arcsing+C.

J7x(4-x)：力…卬)J4_?2

[易錯辨析】正確的使用配方、換元及基本積分公式是解題關鍵所在.

【延伸拓展】計算不定積分時往往方法較多，應注重平時的訓練和理解，但不管怎樣基本積分公

4、

TT

【命雙目的】考查廣義積分的計算方法.

dx______f+-d(4+2)1x+2I+B

[詳細解答)/+4工+8=4+(工+2尸=5arctan—|°=yIT-

[易錯辨析】將分母正確地配方,熟練地運用公式并求出原函數在無窮遠的極限值是解題關鍵.

【延伸拓展】廣義積分的計算方法并不困難，只要理解細心,就可以解決.

5、

3.

【用用目的】考查向量組的秩的概念與性質.

2-1】、

[祖用解答1]由于秩=2,則矩陣2010的任一個三階子陣的行列

<0-45-2/

式的值為零，即

12-1

20t=0,

0-45

解得t=3.

口2-12-10、

[*<?*??-2]20t。卜-41+3-2,

、0-45-2)lo-45-2>

秩r(at,a2,a3)=2=t+3=5,即c=3.

【易錯辨析】矩陣4經初等變換化為B應寫作4-8,而不是4=8.

【延伸拓展】一般地向量組的秩等于從它們?yōu)樾?列)向量的矩陣的秩.

二、選擇題

6、C

又tanx=x+-^-x3+o(x5),

e'*"-e*=yx5+o(x5).

從而-e■與x3為同階非等價無窮小.

應取n=3.故選(C).

【易錯辨析】對兒個常用函數的馬克勞林展式必須熟悉?

【延伸拓展】函數的寡級數展開是解決許多題目的橋梁，此題就是將泰勒公式、等階無窮小和洛

必達法則結合起來的一個例子.

7、B

【命雙目的】考查定積分的幾何意義.

【洋3解答】由題設條件，易知f(x)在％軸上方、單調下降且向上

凹，如圖所示,E、Sz和S3分別為圖中所示區(qū)域的面積，顯然<S]

<Sy

【易錯辨析】由所給條件和定積分的幾何意義可從幾何圖形中

選出正確選項.

【延伸拓展】此題既可從性質入手比較圖形面積，也可直接計算

出找出答案

8、B

【6m目的】考查極值、拐點的判定.

【詳?都答)由/'(工°)=o知所是/(%)的駐點，將％=加代入微分方程

x/*(x)+3x[f,(x)]2=1-e-\

”-1

得fHM=

M)e*0

可見無論飛(K0)為何值，都有/”(3)>0,

所以工=3是函數/U)的極小值點.

【易錯辨析】充分利用所給條件及x0點一階或二階導數的性質.

【延伸拓展】極值問題一般用定義或第一、第一充分條件判定.

9、A

【命皿目的】考杳周期函數的積分性質和分步積分法.

【詳細解答】由于函數e'%in￡以2”為周期，

因此F(x)=「5iM

^sin/dl=￡\Sin4d4(為常數)

=-(e""dcost=。+[cos2te5l,udt>0.

【易錯辨析】利用周期函數的積分性質可簡化積分運算，利用積分保號性判定可以F(x)的符

號.

【延伸拓展】一般地，若f(x)是以7為周期的連續(xù)函數,則必有「7(%)也=p(x)dx.

10、D

【命題目的】考查考生對分段函數的理解和領會.

【詳細解答】根據g(工)的定義知，復合函數

g[f(x)]=/(工)*0,

UV(x)+2,/(x)>0.

而兀<0時/(%)=x2>0；zN0時J(4)=-%W0.

X<0,

故gg)]叱:2

欠N0.

【易錯辨析】由復合函數的定義，分段確定g[/(x)]的表達式.

[延伸拓展】與分段函數有關的題目是常見題型,應予以重視.

三、解答題

11、

【"雙目的)考查極限的四則運算.

本題為“史”型未定式.

00

［詳細解答1］原式=litnTT；

…-sinz

<-?*JIl-產1

【彈獨解存2】先進行有理化，再計算.

?Jx+sinx(\/4x2+x-1-x-1)

J__2

-2

［易錯辨析］應特別注意:當“—8時，將一提出根號外時應為-乂

【延伸拓展】對巴型不定式，基本方法是分子、分母同除以最大的“項”，此題中注意到工T-8,

00

為了避免出錯，故可令，=-x.

12、

【,見目的】考查參數方程及隱函數求導.

【.■通一墳】y=r(x)由參數方程和隱函數方程聯(lián)合確定，求今須先分別求出招和筆而求富

應按隱函數求導法計算.也可以將，=tanx代入方程2y-9+e'=5中，兩邊對工求導便可解出

叱

dx-

得業(yè)

因*=)(，./).

dx2(1-ty)

［詳演都答2】由欠=arctanf,得l=tanx,將其代入題目中第二式有2y-y2tanx+e”"=5,

兩邊對“求導得

dyAy.22.un*2

o2,-oZy??tan%-y??secx+e?secx=A0,

axax

解得

dy_(y2e'g)(1+lar?%)

dx2(1-ytanz)

［易錯辨析】求用須先分別求出華及今，而今的計算又要按隱函數求導法計算.

【延伸拓展】參數方程求導和隱函數求導是考研的重點，應多練習.

13、

【命用目的】考查不定積分的分步積分法.

帖點撥】被積函數為兩個不同類型的函數之積，應考慮采用分步積分法.

222

［洋加a答】原式=-^-e*(tanx+1)-je〃(tanx+1)secxdx

=y-e2*(tanx+1)2-Je2jftanxsec2zdx-卜2*se—dx

=-^e2*(tanx+1)2--^-e2xlan2x+Je2xtan2%dx一/e2tsec24dx

=-^-e2,(2tanx+1)-Je^dx

="^~e"(2tanx+1)-=+C

=e^tanx+C.

【易錯辨析】熟練應用分步積分法，選擇一個湊微分的函數是分步積分的關鍵.

【延伸拓展】在積分時，往往會出現(xiàn)某些復雜積分重復出現(xiàn)的情況,這時我們不必苛求每一部分

都能積出，常常是可以將其消去或其即為所求積分.

14、

【命題目的】考查一階微分方程的解法.

(4蹌點撥】由于也,dy前的系數是關于x,y的二次式，方程為齊次方程，可引入變換y=8,將

原方程化為可分離變量的方程再求解.

【洋答】易知此方程為齊次方程，令y=ux,則

代人原方程有

皿=_3(u2-M-1)

Ax2u-1'

此為可分離變量方程，解得

u2-u-1=C”，即/-町--=Cx~l.

【易錯辨析】正確地判斷方程的類型，是解題關鍵.

【延伸拓展】求解一階微分方程，應先確定方程的類型,再選擇適當的方法.

15、

【?"目的】考查線性方程的解的結構及常系數線性齊次方程的特征方程法.

【電路點報】由解與特征根的對應關系得特征方程，由特征方程與齊次線性微分方程的對應關

系得齊次線性微分方程,然后再得非齊次項.

由題設，并根據二階線性非齊次微分方程解的結構知*-h=e-是齊次方程的

解，而力-e-=%/仍為非齊次方程的特解,進而得力-加，=e〃為齊次方程的解，即有e”與e-"

是相應齊次方程的兩個線性無關的解，且“不是非齊次方程的一個特解，故

y=xe'+Ge"+C,e'x

是所求方程的通解，由

1u1

y'=e*+xe+2Cte—^e',

x

y"=2e*+xe*+4。產+C2e-

消去GG得所求方程為

y*--2y=e*-2xe,.

［易儲辨析］熟悉掌握并運用線性方程解的結構是解題的關鍵所在.

［延伸拓慮］此題為求解微分方程的反問題,解題的依據是線性方程解的結構以及解常系數線

性齊次方程的特征方程法.

16、

【命班目的】考查矩陣方程的解法.

【，電路點撥)先利用A的可逆性將原矩陣方程化簡，再求氏

【詳如對谷)因IAIK0,在A?-4Z?=七兩邊左乘A-、得

A-B=A'1,即3=A-A-1.

(11-n/I-1-2A

又由A=011得內=011,

<00-1>、00-1>

’11-n(\-1~2\(021、

從而3=011-011=000

<00-1>、oo-1Jlo00>

【易錯辨析】可以利用等式444=E來驗證4的計算是否正確.

【延伸拓展】設4,B是n階矩陣，若4B=&則4,8均可逆且互為逆矩陣

17、

【“雙目的】考查含參數線性方程組的解法.

［*?■*?.］考慮到方程的個數與未知量的個數一致，可用克萊姆法則求解，當系數矩陣行列式

IAI#0時有唯一解;而當IAI=0時，可確定參數人,最后轉化為不含參數的線性方程組求解.

【洋看M番】原方程組的系數行列式

2A—1

A-11=5A2-A-4=(A-1)(5A+4),

45-5

故當A#1且4K-義時，方程組有唯一解.

rlOxj-4X2-5X3=5,

<4xj+5X2-5X3=-10,

4xj+5X2-5X3=-1,

對其增廣矩陣的施行初等變換：

(10-4-5：5\(10-4-5：5、

45-5：-10P45-5：-10,

、45-5：-1JV000：9;

1?

可見當A=-*時,原方程組無解.

［易錯辨析】對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換相當于對方程組進行同解變形?

【延伸拓展】方程個數與未知量個數相同的線性方程組就=0,當141#0時有唯一解；當I4

I=0時,無解或有無窮多解.在后一情況下，通常要對增廣矩陣施行初等行變換進一步討論并求

解.

18、

?■目的】考查極坐標系下求面積和弧長的方法及微分方程的解法.

【息珞點撥】在極坐標系中，由曲線r(0)及射線8=a,6=B圍成的曲邊劇形的面積為

曲線弧r=r(0)(aW6W0)的長度為［，產(/)+尸(夕)曲

【洋加N甘】由題設，有

/司。=X〃+產她

兩邊對。求導，得

r2=，r2+r”,即/=±rJ￥-1,

從而嚴一=上此，

r/r2-1

因為/---=—arcsin—+C,

1rr

所以-arcsin十+C=±ft

由條件r(0)=2^C=尢

故所求曲線L的方程為

rsin(菅干。)=1,即r=csc(1?干。)，

oo

亦即直線方程為

x+V§y=2.

【易錯辨析】利用極坐標下的面積及弧長建立微分方程并解此微分方程是關鍵.

【延伸拓展】本題由幾何問題建立微分方程，所以要求我們熟悉極坐標下面積及弧長的計算方

法.

19、

【命雙目的)考查定積分的幾何應用、微分方程求解及函數極值.

【,，珞點撥】先由微分方程

xf'(x)=/(x)+y?

求得/(x)為參數a及任意常數C的函數，再由題設S的面積為2,定出a、C的關系式，最后得體積

U為a的函數*a),對Ma)求最值即可.

[?**??*]由題設知，當x*0時，

=.，即；*)]=蕓

據此并由/(外在點工=0處的連續(xù)性，得

f(x)=—ax2+Cx,xe[0,1].

又由已知條件得

2=((yax2+Cx)dx=(yax3+yx2)|：=ya+yC.EPC=4-a.

因此/(x)=yax2+(4-a)x.

旋轉體的體積為

V(a)=irjf/(x)<k=[yax2+(4-a)x]2dx=臉a?+~a+y)?r.

由V*(a)=(=a+-1-)7r=0得a=-5.

又因片(a)=">0,故a=-5時，旋轉體體積最小.

[易錯辨析】在這類綜合題目的解題過程中，應注意對問題進行分解，以簡化計算.

【延伸拓展】這是一道涉及定積分幾何應用、微分方程求解和求函數極值的綜合題，要求平時加

強訓練和積累.

20、

【中處目的】考查導數、變上限函數求導及連續(xù)的知識.

【路點撥】題設條件lim以垃=A隱含著/(0)=0,/70)=4,在解題時應特別注意這類隱含

x-0X

條件.被積函數中G不是積分變量，為了對Mx)求導，必須作變換u=xt.

【洋細H答】由題設，知/(0)=0,^(0)=0.

f/(u)du

令得6(x)=-------(x#0),

即即公.”0,

=0,

從而”(工)(xK0).

由導數定義有

f/(u)du

/(0)=lim----j---加華=A

…xi2x2，

xf(x)-[/(u)du

由于lim“(4)=lim

*--Ox-OxT)XlOx

=-4-y-y="(°),

從而知d(工)在工=0處連續(xù).

【易錯辨析】已知條件1而n垃=4隱含著f(0)=0及/(0)=4、對r(x)求導作變換“=也是

*l0X

這一題目中應當注意的兩點.

【延伸拓展】此題中在計算lim”(工)時不可直接用洛必達法則，因為此時lim”(x)不知道是否

X-0?-*)

存在，故不滿足洛必達法則的條件.

21、

【命用目的)考查導數的應用.

(,0路?點撥】令/(z)=l-&inx,討論方程f(x)=人在開區(qū)間(。,手)內根的個數，實質上只需

研究函數/(*)在(0,年)上圖形的特點J(z)=A在開區(qū)間(0,半)內根的個數即為直線y=人與

曲線y=/(%)在(0寧)區(qū)間內交點的個數.

【評?ia"答】設f(x)=x-y-sinx,

則/(4)在［0號］上連續(xù).

由廣⑴=1-Tcosx=。，得人工)在(0,子)內的唯一駐點/=arccos—.

由于當工e(O,xo)時，廣⑴<0,當工e5子)時,廣⑷>0,

所以/(功在［0,%］上單調減少，在［工。,m］上單調增加.

因此乙是f(x)在(0號)內的唯一最小值點，最小值為%=/(%)=xQ-y-siru:0.

又因/(0)=/(f)=0,故在(0手)內/(x)的取值范圍為［%,0).

故當A任［九,0),即左<%或CO時,原方程在(0號)內沒有根；

當k=%時,原方程在(0,占)內有唯一根與；

當心(兀,0)時，原方程在(0,%)和(g號)內各恰有一根，即原方程在(0號)內恰有兩個不同

的根.

【易錯辨析】熟練運用導數判斷函數的增減、極值是解題的關鍵.

【延伸拓展】討論方程的根、函數零點、曲線的交點屬于同類題型，是涉及導數應用的綜合題，應

予以重視.

考研數學二真題1998年

一、填空題

1、

2、

曲線y=-P?/+2x與x軸所圉成的圖形的面積4=.

3、

CInsinx.

I-r■心=________?

Jsinx

4、

設/(*)連續(xù)，則奈-/)山=________；

5、

曲線y=xln(e+L)(x>0)的漸近線方程為

X--------

二、選擇題

6、

設數列X,與九滿足則JIJ?=0.則下列斷言正確的是

(A)若凡發(fā)散,則y.J發(fā)故(B)若x.無界,則y.必有界.

(C)若x.有界，則以必為無窮小.(D)若上為無窮小,則力必為無窮小.【]

7、

函數f(x)=(?-x-2)l-xl的不可導點的個數為

(A)0.(B)l.(C)2.(1))3.[]

8、

已知函數y=y(x)在任意點x處的增量好=產4+a,其中a是比加(*-0)高階的無

窮小，且式0)=*則式1)=

(A)7ref.(B)2m(C)ir.(D)ef.[]

9、

設函數/(a)在*=a的某個領域內連續(xù)，且/(a)為其極大值.則存在6>0,當xe(a-S,

a+5)時，必有

(A)(x-a)[/(x)-/(a)]N0.(B)(x-a)[f{x]-〃a)]W0.

(C)】im〃?一甲*0("a).(口)1加華」等在0"/。).[]

~(t-X)i(i-x)

10、

設A是任一N3)階方陣./V是其伴隨咫陣.又左為常數,且*#0.土1,則必有(心廠

(A)W.(B)4-'4*.(C)r4*.(D)*-'A*.[]

三、解答題

11.

.

求函數/(*)-(1+x)J?小在區(qū)間(0,2")內的間斷點，并判斷其類型.

12、

確定常數aAc的值，使lim;、今、=c(c^0).

…C〔Ml+>

13、

利用代換y=篇將方程/cow-2y,sinx+3yco<sx=e*化荷，并求出原方程的通解.

14、

計算枳^瞪方

15、

從船上向海中沉放某種探潮儀器,按探闋票求，需確定儀幫的下沉深度"從海平面算起)與下沉

速度。之間的函數關系,設儀器在重力作用下,從海平面由粉止開始鉛直卜沉，在下沉過程中還受到阻

力和浮力的作用設儀器的質量為m.體積為8.海水比重為儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比

例系數為>0).試建立》與"所懵足的微分方程,并求出函數關系式y(tǒng)=y(v).

16、

17、

設有曲線丫=".過原點作其切線，求由此曲畿.切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周

所得到的旋轉體的表面積.

18、

設yhy(t)是一向上凸的連續(xù)曲線,其匕任意一點(“，)處的曲率為與=在且此曲線上點

，…y

(0,1)處的切線方程為)-x?1,求該曲線的方程,并求函數，=>(“)的極值.

19、

設二￡(0,1),證明：

，<

⑴(1r)*(1+*)</；(2)i^-l<ln(1+xj-7f-

20、

設(2E-C")4T=C",其中E是4階單位矩陣.4T是4階矩陣4的轉置哥陣,

fl2-3-2](120八

012-30120

B=?C-

00120012,

0001J?00\)

求A

21、

已知，=”,4,0,2)',■=(2,7,1,3)1叼=(0.1.-I,a)r,j3?(3,10力,4)\問：

(l)a6取何值時f不能由a,,a2,外線性衣示？

(2)*4取何值時￡可由5,a,線性表示?并寫出此表示式.

答案：

一、填空題

1、

.L

4,

?目的）號琮?型不定式極限的計算.

［答I）用洛必達法則,博

I________1

原式31加Ui三_工上三.ii（n上I三三

-2.1I4x/i?./i-x

i.-2x1

=lim------,~r—,----------二?——?

-4x/iT7/T^7（y/i^7>/TT7）4

（火?N*2）將分子中的JE和/FT：分別按皮亞諾余項的泰勒公式展開,博

I?右?-于?（>（/）4I--~x23?c（』）-2

原式slim----------------------------------:---------------------------------

ix

?lim（一；?彳12）二一；.

I4U4

（5■辨析】等價無窮小代換只限于函數間是乘積關系時運用.本M中若分子為（/T77-1）

?（/E-I）.用等價無窮小代換如JE?i-l-x,/nr7-i~會就會得出極限為。的

情誤縉果.

【砥伸拓展】生型不定式求極隈可用洛必達法則和泰勒公式求解.

2、

37

五

（9用目的】考查定積分的幾何應用.

（弊如期枳因武-；）=-春,，⑴=2.

/O

所以工=f一（-J+/>2x）dx?（（—‘+2x）dx

45

（xx'八A/x,x2KP37

=（彳-17）|_「（-7+予+*）I。=五?

［易錯辨析】確定圖形與X軸間的位置關系非常關鍵.

（延伸拓展】這類題目是常規(guī)題型?

3、

—co切?Insinx-cotx-x+C.

【中?目的】考查不定積分法.

【憚?M音】用分步積分法，有

Insinx=-Jlnsinzd(cotx)=-cotx?Insinx?Jcot2zdz

sin2x

s-coU-Insinx+J(csc2x-1)dx

=-cotx?Insinx-coU-4+C.

【易錯解析】熟練運用分步積分公式.

【延伸拓展】此題中因為」rYx=-dcotx所以可采用分步積分.

sinx

4、

xf(x2).

［?*■?］考查含參量枳分的舁Jt

(評薦】令“?X2-n-2，dx■當rs0時="氣當t=x時.u=0.故

H貝*'山'K=必/).

【?修蟒析】?■「不是枳分變量,故應先作變換.再對變限積分求導.

【熊伸拓展】一般地.若被租函數中含有與乂有關的中間變量,則應先作變量代換?然后再求導.

此種8［型是常見題目,應引起重視.

5、

【?用目的】考行曲線漸近線的計算.

.1、

xln(ze+-)

【注答】a=lim-----------------=limln(e-)=I,

4―??xx

b=lim(y-ax)=limx[ln(e+-)-1]

??一?4?X

XX

故此曲線的漸近線方程為y=x+L

e

【易皆辨析】按定義求極限得出"J,才能確定漸近線的類型.

［延伸拓JR)求曲線的漸近線是?？嫉念}型.一般應通過極限確定垂直、水平及斜漸近線.

二、選擇題

6、D

7、C

【■■國目的】考查對函數分段點處可導性的討論.

[**"**??]一般來說函數IX-XoI在#=*0點不可導，但(X-X。)I工-&I在X=和點可

導,而本題中

/(?)=(xl-x-2)I-xI=(x-2)(x+1)Ix(*-1)(*+1)I,

可能的不可導點為x=0,x=i,x=-1,但在絕對值符號外有因子x+I,所以x=-1應為可導

點.故最終不可導點應為2個，把/(外用分段函數表示后可確定/(外在x=-1可導,但在x=0.

X?1處不可導.

【易錯辨析】分段函數與含有絕對值的函數的可導性的討論方法類似，分段點是可能的不可導

點.

【延伸拓展】若爪X)在點x=方處連續(xù),則/(X)=1x-*013(力在工=與可導的充要條件

是r(*o)=0.

8、A

目的】考查導數微分的微念.

由題[設r=產?”+也因啊呆=0,由讀分的定義,知〃x)在任意點可微,

旦

v'=_2—

、7T7

此方程為一可分離變量的方程,分離變量得

曲-也

y-1+/'

解得InI,I=arclanx?G.即y=Ce-

由y(0)=n?知C=17,

于是yQ)-ire--,

所以>(l)=k-i"'HkJ.

【8?M番2】由Ay??法y+a.兩邊除以再令dx-o取極限，得y'?，以下解法同

詳解一.

(IMt耕析】只有熟練掌握微分的概念及微分方程的求解方法才可解決好此趣

【延伸拓展】該題將可微的概念與微分方程結合起*，既基礎乂俅合?

9、C

考查極值的定義.

[評由題設，存在鄰域(a-6,a+6).使當工e(a-5,a+5)時，有/(幻W/(a)

所以

當a-6<x<a時,(x-a)[/(x)-/(a)]N0;

當a<x<a+50^,(*~a)[/(x)-/(<*)]SO.

因此(A)、(B)不成立.

考慮到(C)、(D)兩項中分母均大于零，而分子部分有

limg)-X*)]=—<?)?〃*)>0,

t-M

所以必有(C)成立.

[易錯辨析]熟練利用極大值的定義是解決問題的關鍵.

【延伸拓展】有時一道題目中涉及的不僅是一個知識點，此題對極大值、連續(xù)的概念都有涉及.

10、B

[力網目嶺]考查伴隨矩陣的概念與性質.

["箭I]采用加強條件的技巧，設A可逆?則由

AA*=A*A=I4IE

知A-=1AIA-1,

于是(")?=1Ml?(AA)**=4*I4I-yA'1=4-'-IAlA'=—

所以應選(B).

施設及射0,±I,n,3.主要是為了做到4個選項只有1個是正確的.

【用番2】由/C的定義，設4=(%).…其元素勾的代數余子式記作仆，則矩陣S=

…若其元素的代數余子式記作A/iJ=12,…,n),由行列式性質有金==1,

2,…/).從而(■)'=f.

【易錯辨析】應熟悉隹隨矩陣的定義與基本性質:融?==141E.

【延伸拓展】對任意Mn2s2)階方陣4與任意常數及都有CM1二/-'〃.

三、解答題

11、

【??"??)考查間斷點的確定與分類.

[<?AM]初等函數無定義的點即為要找的間斷點，問題轉化為求——J一無定義的點?

【?-X一】——上一在區(qū)間(0.2k)內不存在的點為*-手號各點JQ)在區(qū)間

Un(x--^)4444

4

(0.2k)內的間斷點是一!——不存在的點.即XH手岑.匕號各點.

un(x-f)4444

4

在x=子■處.lirn/(x)=+8,在**?處，lim/(x)■+?,

4i料41%.

故x=方?處■，)為第二類間斷點?

在X?￥處?1叫〃工)=I.在X=￡處，hm7U)-I.

441場J

但相應的函數在上兩點處無定義.故x=亨?普為〃x)的可去間斷點.

(?解析】間數點的確定是先決條件.其次極限的計算也很關區(qū).

【延伸拓展】間斷點的確定有規(guī)律可循,而間斷點的類型也是較易掌握的，只需要保證極限計算

的正確性.

12、

［?皿日g）考直被限逆問圈的計算.

（點K】利用極限存任，確定極限式中的常數.由于含有變限枳分,應注意應用洛必達法則.

fix—sinx

當x―?0時.ax—eimr?。,毀3存在而不為事.

故或叫d

=0.囚此6必為0.

內若&>0,則在（0,6］內,ln（l：Q>O；

若b<0,則在出0）內卜（丁）>0.

利用洛必達法則有

..ax-sinxa-co&x.?a-cosx

lim-7;,.r;-=hm---------r-=lim;.

i工ln（l+1）&iln（1+?。瓁2

若aQl,則上式為8.與條件不符.故a=1,

從而再用洛必達法則（或等價無窮小代換）,得c口-1-.

因此a=1,6=0,c=/*.

【易告辨析】正確分析出分母的極限值從而確定常數4是關鍵.

［延伸拓展】本題屬極限的逆問題,不僅是要求綜合運用相關知識,而且要有較好的分析能力.

13、

【體?用目的】考杳常系數線性微分方程的化筒及求解.

先利用代換將原方程化為關于u的方程.再求解.

［許番1］在“二ycosx兩端對x求導,得

y'cosx-ysinx,

y^cosx-2,'sinz-ycosx.

于是原方程化為

uw*4u=e",

其通解為

u=C|Cu?2z+C2sin2x?］"（G、G為任意常數）.

從而原方程的通解為

-CCM2X..一.e,

y■G.-------?C^inx?z--------,

cosx5coax

[怦*M*2]

y二usecx,

y*=〃'secx+usccx,tanx,

y9=u^secx+2u'secx?tanx+usecx?tan3%+usec3x,

代入原方程得

u*+4u=e*.

以下同詳解一.

［易錯辨析】正確將原方程化為關于u的方程，要注意與原方程結構的關系.

［延伸拓展】此題化簡方程的過程其實是對觀察能力的考查?

14、

的】考查定積分的計算.

被枳函數中含有絕對值，一般應先將IX-寫成分段表達式

.2.[X-X1?0CX<1

HL-,

再將所給枳分寫成兩個積分之和.注意此處兩個積分均為廣義積分.

4

f-^=dxslimarcain(2x-1)|^?-y,

=limln[(x-—)?

1?2

因此于=孑j（2?⑸?

【易錯嬋析】去掉分母中的絕對值及配方是關犍.

【延伸拓展】被枳函數中含有/ax'+任時,一般都先配方，再積分.

15、

[H的】考查微分方程在物理中的應用.

首先建立坐標系,再根據牛頓第二定律建立微分方程,最后求解.

【洋?刈答】取沉放點為原點0,y軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得

d2y

md?Smg-Bp-kv、

這是y時，的二階可降階的微分方程,其中。-冬，按典型的降階辦法,有

QI

dt'd-dtdydtdy*

從而原始化為

mv'=mg-Bp-kv,

按分離變量辦法解之:

mv,dv,y=--爪嗎；物!ln(mg-Bp-kv)+C.

mg-Bp-kv>Aft

初始條件為d=0,求出

'f?0

C=>%J坳）ln（%?即）.

m(mg-Bp)、mg.Bp-ku

故所求的函數關系式為：y=-十mg?Bp.

【易錯辨析】由于參數較多，在計算時應特別仔細.

【延伸拓展】這類問題的關鍵是建立微分方程及其初始條件.

16、

【命的】考查羅爾定理、變限積分及單調性.

【44點”)由定積分的幾何意義，相當于要求證明存在一點工。e(