特級(jí)教師教師的教案教例分析

特級(jí)教師、優(yōu)秀教師的教案、教例分析

案例1直線與平面垂直的定義及判定

江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)黃安成

一、教案例描述

教學(xué)目標(biāo)

1.從熟知的生活中的事物中提煉、概括出直線與平面垂直的定義和判定定理，進(jìn)而結(jié)

合圖形用抽象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言總結(jié)、表述出這些內(nèi)容；

2.培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括、思辯論證的理性精神和迅速認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的直觀能力；

3.通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與實(shí)際應(yīng)用使學(xué)生認(rèn)識(shí)到真理來(lái)源于實(shí)踐，并應(yīng)用于實(shí)踐的這

一哲學(xué)理念；

4.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，能自覺(jué)地運(yùn)用“數(shù)學(xué)地”思維方式觀察世界、分析事物、解

決問(wèn)題，并在此過(guò)程中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)目標(biāo)是教師預(yù)期的，在教學(xué)過(guò)程中自然實(shí)現(xiàn)的內(nèi)容.掩蓋教育意圖是實(shí)現(xiàn)教育意圖最好的途徑，也

是科學(xué)加藝術(shù)的教育技藝的體現(xiàn)，所以筆者一向不采用在進(jìn)行新課前將這些內(nèi)容展示給學(xué)生的做法，而是

在教學(xué)過(guò)程中于不知不覺(jué)間實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo).

教學(xué)過(guò)程

1.引言

我們生活在三維空間中，對(duì)直線和平面是非常熟悉的，就拿學(xué)校旗壇中的旗桿來(lái)說(shuō)，

它與地面的關(guān)系給我們的印象是“互相垂直”的，請(qǐng)大家再列舉一些生活中“直線與平面

垂直”的具體事例，….

不過(guò)我們現(xiàn)在要用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察、分析、研究這些事物，將旗桿（是許多事物的

代表）看成直線/,將地面（也是許多事物的代表）看成平面a,今天就來(lái)研究直線/與平

面a垂直的有關(guān)知識(shí).

2.進(jìn)行新課

如圖1,直線/代表旗桿，平面a代表地面，那么你

認(rèn)為,與。內(nèi)的直線有什么關(guān)系？

圖1

學(xué)生利用生活經(jīng)驗(yàn)和以前的知識(shí)完全可以判斷是“互相垂直”關(guān)系.在引言部分指出將“旗桿看成直線

1,將地面看成平面a”，但現(xiàn)在面對(duì)抽象圖形反過(guò)又來(lái)又將直線/看成旗桿，將平面&看成地面，意圖是

運(yùn)用抽象與具體的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生平穩(wěn)而迅速地完成抽象與具體之間的相互轉(zhuǎn)換.在教學(xué)中，教者試圖用三

角板來(lái)度量從而判斷,與a內(nèi)的直線是否垂直，學(xué)生往往會(huì)發(fā)出會(huì)意的笑聲，教者說(shuō)：''是的，立.體幾何中

直線的互相垂直在大多數(shù)情況下是‘看’不出來(lái)的，也是度量不出來(lái)的，而是用心'想'出來(lái)的.”這既復(fù)

習(xí)了直線與直線互相垂直(特別是異面垂直)的觀察、想象、判斷、識(shí)別和論證，又為后繼的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備了

條件.

反過(guò)來(lái)，如果/(旗桿)與a(地面)內(nèi)的直線都垂直，那么/與a是什么關(guān)系？

要求學(xué)生在不看課木的前提下總結(jié)出直線與平面垂直的定義，盡管總結(jié)的語(yǔ)言很可能不太理想，教者

也不要“著急地”去照本宣科或越俎代庖，相信學(xué)生在經(jīng)歷了一番“挫折”后會(huì)逐步完善他們的表述語(yǔ)言，

這樣形成的知識(shí)也就能形成更加牢固的記憶.

麻煩大了，要判斷直線,與平面a垂直，必須確定直線/與平面a內(nèi)的所有(或任意一

條)直線垂直.人們?cè)谘芯亢徒鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中總是想采取簡(jiǎn)便的方式，現(xiàn)在我們追求的就

是找到一種簡(jiǎn)易可行的判斷直線與平面垂直的方法.

下面我們來(lái)模擬植樹(shù)的活動(dòng)，請(qǐng)一位學(xué)生上來(lái)演示，其他學(xué)生在課桌上同時(shí)演示，觀

察判斷如何確定“樹(shù)”是否與地面垂直，既充分又逐步體驗(yàn)簡(jiǎn)化了的判斷直線與平面垂直

方法的形成過(guò)程.

提出下面的系列問(wèn)題：

(1)直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能判定這條直線與這個(gè)平面垂直嗎？

(2)直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，能判定這條直線與這個(gè)平面垂直嗎？

(3)直線與平面內(nèi)的一萬(wàn)條直線垂直，能判定這條直線與這個(gè)平面垂直嗎？

(4)直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，能判定這條直線與這個(gè)平面垂直嗎？

(5)要想讓直線與平面垂直，這條直線至少要與平面內(nèi)的幾條直線垂直？

(6)要想讓直線與平面垂直，這條直線要與平面內(nèi)的兩條什么樣的直線垂直？

在上述研究的基礎(chǔ)上提出猜想：如果直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這

條直線垂直于這個(gè)平面.

通過(guò)演示和對(duì)上述系列問(wèn)題的研討，學(xué)生會(huì)慢慢領(lǐng)悟判定直線與平面垂直的本質(zhì)：如果直線垂直于平

面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，也不能判定這條直線與這個(gè)平面垂直.因?yàn)檫@無(wú)數(shù)條直線有可能是互相平行的，這時(shí)這無(wú)

數(shù)條直線只代表著?個(gè)方向，它只“相當(dāng)于?條直線”.但是如果與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，情況就完全

不同了，雖然只有兩條，而它們是相交的，它們代表著不同的兩個(gè)方向，人們?cè)谥矘?shù)時(shí)判定樹(shù)是否與地面

垂直運(yùn)用的就這個(gè)原理.

猜想不能代替證明，我們還要用嚴(yán)密的邏輯推理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論.…通過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題歸結(jié)

為：若直線/與平面a內(nèi)的兩條直線垂直，證明直線/與平面a內(nèi)的任意直線垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)

化為(如圖2)：由…

lln

mua

AUa

a?nz?=A

g是a內(nèi)的

任意直線

這樣處理的意圖是：抓住本質(zhì)，排除干擾，使卜,面的目標(biāo)能集中濃縮于證明具體過(guò)程略.在教

學(xué)時(shí)必須指出，這里應(yīng)用的是構(gòu)造全等三角形法和最簡(jiǎn)單的平面幾何知識(shí)，消除學(xué)生的神秘感.

3.小結(jié)：

(1)直線與平面垂直的定義；

(2)直線與平面垂直的判定定理(編成詼諧的口訣：“線不在多，相交就行”，傳神地

點(diǎn)出問(wèn)題的實(shí)質(zhì))；

若/_L相交直線見(jiàn)

(3)將和(1)與(2)綜合起來(lái)，得右面的

〃確定平面a,則/_La.又g

重要數(shù)學(xué)模式：是a內(nèi)的任意直線，則/_Lg

所謂數(shù)學(xué)模式，就是揭示事物本質(zhì)的，具有相對(duì)固定格式的數(shù)學(xué)形式.模式由于它形式的簡(jiǎn)潔性，內(nèi)容

的深刻性，所以十分有利于理解、記憶、掌握、組裝、檢索、提取和運(yùn)用.上述模式在以后的教學(xué)中，還要

多次重復(fù)、強(qiáng)化，并與有關(guān)知識(shí)融合組裝成有機(jī)的知識(shí)系統(tǒng).該模式將成為立體幾何中最重要、應(yīng)用最頻繁

的得力“武器”.用方框圍起來(lái)意在突出它的重要地位，再結(jié)合三種外顯語(yǔ)言和大腦中的內(nèi)部語(yǔ)言努力使該

模式成為學(xué)生直觀上的顯然，以便運(yùn)用時(shí)更加靈活自如、游刃有余.

4.A組練習(xí)

(1)將一本書(shū)掀開(kāi)一點(diǎn)，直立在桌上(圖略)，那么書(shū)脊與桌面是什么關(guān)系？為什么？

(2)屋面是由兩個(gè)矩形組成的(圖略)，那么屋脊與山墻所在的平面是什么關(guān)系？為

什么？

(3)設(shè)aABC,若直線/_LAB,/1BC,求證：/_LCA.

(4)做一個(gè)三角架，使三條腿中的任意兩條腿都互相垂直(如圖3),那么PA與BC、

PB與CA、PC與AB分別是什么關(guān)系？為什么？/fP

以上系列練習(xí)由淺入深，從具體到抽象，環(huán)環(huán)相扣，//：

層層遞進(jìn)，組成了一個(gè)使學(xué)生能力穩(wěn)步增長(zhǎng)的訓(xùn)練鏈條.\二了*京三予*

在教學(xué)中，運(yùn)用多樣化的手段增強(qiáng)訓(xùn)練的效果.如先口

述，繼而寫(xiě)出規(guī)范的論證過(guò)程，再用黑板擦將圖形擦得圖3

模糊?些，要求在這種不十分清晰的情況下說(shuō)出論證過(guò)程.若學(xué)生的基礎(chǔ)較好，還可以將圖形和字母全

部擦去，借助于想象，運(yùn)用動(dòng)作和語(yǔ)言表述出論證過(guò)程.還可以運(yùn)用“雙簧”的表演形式，一個(gè)學(xué)生做動(dòng)作,

另一個(gè)學(xué)生口述.總之讓上面的模式牢牢地在學(xué)生腦中扎下根來(lái)，并逐步能熟練的寫(xiě)出規(guī)范化的思辯論證過(guò)

程，使《立體兒何》的學(xué)習(xí)從這里走上陽(yáng)光大道.雖然從本質(zhì)看，這些都是重復(fù)性練習(xí)，但由于運(yùn)用了多樣

化的形式，學(xué)生仍然樂(lè)于投入這樣的教學(xué)活動(dòng)，且能取得極佳的教學(xué)效果.

4.B組練習(xí)

(5)在(4)的條件下，作PH_L平面ABC于H,則H是^ABC的什么心？為什么？

(6)如圖3,若PA_LBC,PB1CA,則PC與AB是什么關(guān)系？為什么？

（7）如圖3,若PA_LBC,PB1CA,作PH_L平面于H,則H是4ABC的什么心？為什么？

A組練習(xí)是以B組練習(xí)為鋪墊，同時(shí)又是B組練習(xí)的拓展延伸.在（5）中，將上述模式重復(fù)運(yùn)用了兩

次，題中給出了平面ABC的垂線PH,正好給（6）的證明以一定的暗示量.但在解決（6）時(shí)，應(yīng)先將PH擦

去，讓學(xué)生感到有一定的困難.這時(shí)教者問(wèn)：“估計(jì)到結(jié)論是PCLAB,問(wèn)題是如何證明.關(guān)鍵是如何建立幾

條線段之間的聯(lián)系，…”經(jīng)思考后，在上題的啟示"學(xué)生定會(huì)感悟到作PHL面ABC于H,那么問(wèn)題便迎

刃而解.教者說(shuō)：“我們?cè)趯W(xué)習(xí)《平面幾何》時(shí)，感到最為困難的是作輔助線，似乎輔助線是從天而降，非

常神秘，難以捉摸.怎么樣，現(xiàn)在在《立體幾何》中，我們不是順利地作出了一條關(guān)鍵性輔助線，從而使解

題取得重大突破了嗎！將已知與欲證分析透徹了，輔助線就能白己‘蹦’出來(lái)，一點(diǎn)也不神秘，我們完全

可以熟練駕馭它.輔助線PH好似一座橋，架橋鋪路是解數(shù)學(xué)題的永恒的法則.除了輔助線外，我們以前曾引

進(jìn)過(guò)，今后還將引許多輔助‘角色'，如輔助圓、輔助體、輔助球、輔助角、輔助元、輔助函數(shù)、輔助數(shù)列、

輔助不等式…等等這些輔助‘角色’都將成為我們的好朋友和合作伙伴.”為今后的教學(xué)設(shè)下了良好的伏筆.

做了這番工作后，解決（7）已是水到渠成之事.學(xué)生通過(guò)積極的活動(dòng)取得了豐碩的成果，課堂氣氛越來(lái)越

熱烈，學(xué)生的情緒越來(lái)越高漲，最終達(dá)到高潮，在獲得成功感、滿足感、喜悅感中下課，并對(duì)未來(lái)的學(xué)習(xí)

充滿了信心，熱切地盼望著再上下一節(jié)課.

二、教案分析

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》⑺在《立體幾何》部分有獨(dú)特的要求：“通過(guò)直觀感知、

操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.”這是確定這

部分教學(xué)理念、內(nèi)容、方法和程序的重要指導(dǎo)原則.直線與平面垂直是人們?cè)谏钪兴究找?jiàn)

慣的事實(shí)，充分利用學(xué)生在生活中已有的經(jīng)驗(yàn)和感悟，經(jīng)過(guò)提煉、概括形成抽象化的數(shù)學(xué)語(yǔ)

言，并準(zhǔn)確運(yùn)用這些語(yǔ)言進(jìn)行邏輯推理或計(jì)算，以解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題，是這節(jié)課的主

線.這部分內(nèi)容中，既有嚴(yán)密的、理性化的思辯論證，又需要利用數(shù)學(xué)悟性實(shí)現(xiàn)直觀判斷、

猜想，所以這部分內(nèi)容是理性與悟性完美結(jié)合的交匯點(diǎn)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)

學(xué)綜合能力的大好時(shí)機(jī).學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)立體幾何往往有各種障礙，尤其是空間想象能力，畫(huà)

圖、識(shí)圖、辯圖能力，三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言（自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）的運(yùn)用轉(zhuǎn)化能力的

不理想，嚴(yán)重地阻礙著前進(jìn)的腳步.而學(xué)習(xí)《直線與平面垂直》應(yīng)該是掃除這些障礙，從根

本上提高這些能力的轉(zhuǎn)折點(diǎn).從這個(gè)意義上說(shuō)，科學(xué)地設(shè)計(jì)并合理地實(shí)施這節(jié)課的教學(xué)程序,

是學(xué)生從此走向《立體幾何》學(xué)習(xí)的陽(yáng)光大道的關(guān)鍵.

依據(jù)上述原則與精神，筆者設(shè)計(jì)和實(shí)施了如上的教學(xué)方案，并在有關(guān)之處作必要的剖析

或說(shuō)明.

此節(jié)課可算是“最普通、最平凡”的一節(jié)課，如何“出新”又“出彩”，確實(shí)是不容易

的.筆者在四十多年的教學(xué)實(shí)踐中，孜孜以求的就是用科學(xué)加藝術(shù)的教學(xué)方式努力提高課堂

教學(xué)的效率.這一節(jié)課也上過(guò)幾十遍，特別是在學(xué)習(xí)、執(zhí)行《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》的

過(guò)程中，更是投入更多的精力和智慧來(lái)思考，從而在新教學(xué)理念的指導(dǎo)下，逐步形成了自

己的一些想法和做法.下面就這一節(jié)課再提出一些個(gè)人的見(jiàn)解，供方家參考，并請(qǐng)教正.

（1）理性與悟性

數(shù)學(xué)文化最光輝燦爛的就是其理性精神，但這種理性精神應(yīng)該與悟性思維方式融合，才

能全方位地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).文［1］中，除了上面所引外，還在許多地方提到“領(lǐng)悟、內(nèi)

化”、“猜想”、“幾何直觀能力”等詞語(yǔ)，可見(jiàn)新教學(xué)理念決不排斥悟性.這里所說(shuō)的“悟性”

應(yīng)該是指“數(shù)學(xué)悟性”，筆者在文［2］中將其描述為“邏輯簡(jiǎn)約、直觀洞察、預(yù)見(jiàn)猜想、靈感

頓悟”，這在《立體幾何》中體現(xiàn)得更加充分.直線與平面垂直的定義及判定，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)

悟性的參與就不可能使學(xué)生形成“直覺(jué)上的顯然”（德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因語(yǔ)）.解立幾問(wèn)題

時(shí)，最終依靠的當(dāng)然是思辯論證，但在探索、突破的過(guò)程中，卻處處離不開(kāi)悟性思考.因此，

在本教案的設(shè)計(jì)和實(shí)施過(guò)程中，將數(shù)學(xué)悟性思維能力的培養(yǎng)與應(yīng)用放在相當(dāng)顯著的位置上.

（2）模式與創(chuàng)新

提到“模式”，很可能使人聯(lián)想到“思維定勢(shì)”，認(rèn)為它是創(chuàng)造思維的障礙.這種認(rèn)識(shí)是

不全面的.文［1］說(shuō)：''形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一

項(xiàng)基本要求”.當(dāng)然“全盤(pán)形式化是不可能的”，也是不可取的.數(shù)學(xué)模式就是揭示數(shù)學(xué)對(duì)象

的本質(zhì)特征及其普遍規(guī)律的，具有相對(duì)固定樣式的形式.它具有兩重性，對(duì)創(chuàng)造思維確會(huì)產(chǎn)

生一些束縛作用，但它又是創(chuàng)造思維的原型.每一項(xiàng)發(fā)明創(chuàng)造都是在某個(gè)原型的啟發(fā)下實(shí)現(xiàn)

的，這就叫“原型啟發(fā)”（巴甫洛夫的經(jīng)典理論）.問(wèn)題的關(guān)鍵是處理好模式與創(chuàng)新兩者間的

辨證關(guān)系.上面方框中的模式是解決千百道立幾問(wèn)題的“利器”，從本質(zhì)上掌握它，再處理好

立幾圖形的變形和變位問(wèn)題，就可以出神入化地解決要求較高的問(wèn)題.

（3）課堂容量

課堂容量大好還是小好？其實(shí)這是不言而喻的，在學(xué)生基礎(chǔ)較好、教案設(shè)計(jì)科學(xué)合理、

教師啟發(fā)引導(dǎo)得法、師生關(guān)系融洽、課堂氣氛活躍、學(xué)生的潛智得到充分開(kāi)掘、現(xiàn)代化教學(xué)

技術(shù)的加盟等條件下，課堂容量就是越大越好.上述教學(xué)內(nèi)容，在過(guò)去是用兩個(gè)課時(shí)完成的，

但現(xiàn)在只用一個(gè)課時(shí)，從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展到應(yīng)用，一切都顯得十分自然、流暢與和諧，學(xué)

生感到學(xué)得輕松、學(xué)得愉快、學(xué)得實(shí)在.

（4）主體與主導(dǎo)

筆者在這里提出一個(gè)“啟發(fā)量”的概念.用字母“幾”表示啟發(fā)量，則有“幾G［0,1］”,

“九=1”表示完全靠教師講解，“幾=0”表示完全讓學(xué)生活動(dòng)，教師必須尋求丸的最佳值使

教學(xué)取得最佳效果.但久的值并不是越小越好，要根據(jù)教材的具體情況合理確定義的值.如

果片面強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位,完全忽視教師的主導(dǎo)作用，還要你教師干什么？像本節(jié)課中（圖

2）,運(yùn)用構(gòu)造全等三角形的方法由“l(fā)_Lm,l_Ln”證明“1_Lg"，'的值就要適當(dāng)?shù)卮?

些，完全讓學(xué)生去探索、發(fā)現(xiàn)、證明是不現(xiàn)實(shí)的.

（5）例題練習(xí)

例題的講解與練習(xí)的訓(xùn)練，都是盡量讓學(xué)生活動(dòng)，也就是盡量減小丸的值，所以沒(méi)有必

要將兩者截然分開(kāi)，而是實(shí)行例題與練習(xí)的一體化.這樣也可使教案在層次和結(jié)構(gòu)上顯得簡(jiǎn)

潔明快.

（6）現(xiàn)代化教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用

計(jì)算機(jī)走進(jìn)課堂是大勢(shì)所趨，它在許多方面為提高教學(xué)效益起到了其他教學(xué)方式不可替

代的作用.但必須認(rèn)識(shí)到，多媒體課件永遠(yuǎn)是教學(xué)的輔助手段，它永遠(yuǎn)也不能取代黑板和粉

筆.這一節(jié)課在一些地方也運(yùn)用了課件，如圖1、圖2、圖3就充分發(fā)揮了多媒體課件動(dòng)畫(huà)演

示的優(yōu)越性，取得了超乎尋常的效果.但在其他地方除了利用實(shí)物外，靈活機(jī)動(dòng)地利用黑板

和粉筆的特長(zhǎng)也是取得教學(xué)效果的不可或缺的條件.

參考文獻(xiàn)

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中華人民共和國(guó)教育部制定人民教育出版社2003,4

⑵《談數(shù)學(xué)悟性》黃安成數(shù)學(xué)教學(xué)（滬）1999,3

作者簡(jiǎn)介

黃安成，1941年7月出生于江蘇省興化市，1962年畢業(yè)于徐州師范大學(xué)，分配至睢寧縣任教至今，曾

任徐州市中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)副理事長(zhǎng)、睢寧中學(xué)數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)，1988年被評(píng)聘為中學(xué)高級(jí)教師，

1990年被江蘇省人民政府授予“中學(xué)特級(jí)教師”稱號(hào)，現(xiàn)仍在睢寧縣高級(jí)中學(xué)任教。在四十多年的中學(xué)數(shù)

學(xué)教學(xué)實(shí)踐與研究中，逐步形成了“縱橫聯(lián)系，情趣盎然，培養(yǎng)能力，教書(shū)育人”的教學(xué)風(fēng)格，取得豐碩

的教學(xué)成果，至今發(fā)表了近140篇教研論文，2001年正式出版?zhèn)€人專著《黃安成數(shù)學(xué)教學(xué)論文選集》，應(yīng)

邀在省內(nèi)外的兒十所大、中、小學(xué)講學(xué)，獲得致好評(píng)。

案例2“球的體積”教學(xué)

南京師大附中馬明

編者按：馬明先生的這篇用“祖瞄原理”來(lái)推導(dǎo)“球的體積公式”的教案，風(fēng)靡全國(guó)久矣。然現(xiàn)行高

中立幾教材對(duì)“球的體積公式”已不用“祖晅原理”來(lái)推導(dǎo)，而采用“分割，求近似和轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)確和”

的方法。本書(shū)之所以再次轉(zhuǎn)載，是因?yàn)檫@篇教案魅力不減，仍極具教學(xué)參考和鑒賞階值。

一、教案描述：

通過(guò)“球的體積”的教學(xué)，不僅要求學(xué)生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學(xué)生觀察、估算、

猜想、構(gòu)造和論證能力，并注意完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu).

［若只要求學(xué)生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復(fù)練習(xí)一一解幾個(gè)一元方程：已知半徑求

體積；已知體積求半徑，……這是降低教學(xué)要求，把高中課降為初中課的做法］

師：（板書(shū)）已知球的半徑為R,求V產(chǎn)？（出示小黑板一一圖23）［思維從問(wèn)題開(kāi)始］

師:為了計(jì)算半徑為R球的體積，可以先計(jì)算半球的體積V種.觀察圖23,你一定能在

Vsm、V卡年、V明作這三個(gè)量之間正確地寫(xiě)上不等符號(hào)（學(xué)生完成）得

Vau>V手球,V國(guó)錐.

［提供類比,讓學(xué)生目測(cè)大小，溫故而知新，用以強(qiáng)化認(rèn)識(shí)過(guò)程］

師:由于是已知的，使得雙重不等式（板書(shū)）：

V國(guó)柱=?rR'、Vsi（t=一^rR

3

［向“量化”過(guò)渡］

你能猜測(cè)V.=?

［引誘學(xué)生猜想.猜想是發(fā)現(xiàn)的開(kāi)始］

生:……

［誘導(dǎo)一下］

331

師:（HR，的系數(shù)"1”改寫(xiě)為“一”,得一萬(wàn)R?>V>—萬(wàn)R?

333

師:可以大膽一些，準(zhǔn)許猜錯(cuò).

2

生：丫中球=一乃R，對(duì)嗎？

3

［此答案不一定出自成績(jī)最好的學(xué)生，而是膽大者，思維活躍者］

師:有一定理由，因?yàn)?/3>2/3>1/3嘛!然而,這太冒險(xiǎn)了.

［既鼓勵(lì),又提出更高要求，使學(xué)生仍處于激奮境地］

［用行動(dòng)支持敢于大膽猜想的學(xué)生］

師:我們不妨做一個(gè)試驗(yàn)，用以驗(yàn)證這個(gè)猜想.

［理、化有實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)也可以有實(shí)驗(yàn)，美國(guó)盛行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法”，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,

培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利］

［取一個(gè)半徑為R的半球面，再取半徑和高都是R的圓桶和圓錐各一個(gè)，都是鐵皮制成的

容器.將圓錐放入圓桶內(nèi)（圖24）,再將半球容器裝滿細(xì)沙，然后把半球內(nèi)的細(xì)沙倒入圓桶內(nèi)，發(fā)

現(xiàn)圓桶恰好被裝滿］

師:你能將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)等式表達(dá)出來(lái)嗎？

［鼓勵(lì)學(xué)生將實(shí)驗(yàn)結(jié)果“量化”（構(gòu)造一個(gè)等式）是十分重要的數(shù)學(xué)方法］

生1:［板書(shū)］VHu—Vs?s=V*年

?2

生2:［板書(shū)］V半球=V圓柱—V陷儺=-/rR5=y/rR'

4

師:于是得（板書(shū)）V*=-%R3

3

且Vsiu.:V中以：V網(wǎng)m=3:2:1

師:中學(xué)數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的,實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠?還要進(jìn)行論證才行.

［中學(xué)理、化是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的］

［用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生興趣盎然］

師:我們現(xiàn)在的任務(wù)是證明這個(gè)實(shí)驗(yàn)■結(jié)果，或者說(shuō)，是要證明圖23右邊充滿細(xì)沙的幾何體

與左邊充滿細(xì)沙的半球是等積形.而右邊幾何體的體積是已知的.［板書(shū)］

12

該幾何體的體積=71<3--%1<3=—萬(wàn)1<3.如果再能證明它又符合祖唯原理中的“條件”.

33

我們就可以將它做為半球的參照體.

［為了運(yùn)用祖瞄原理，所引入的幾何體必須符合兩個(gè)條件:①它的計(jì)算公式是已知的②它

符合祖眼原理的條件；該幾何體與原幾何體要夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平

面的任意一個(gè)平面去截時(shí)，截得的截面面積總相等.符合以上兩個(gè)條件的幾何體可叫做原幾

何體的參照體，在前面推導(dǎo)柱、錐的體積的多次教學(xué)中應(yīng)該引用這個(gè)術(shù)語(yǔ)，讓學(xué)生熟悉祖南

原理與該術(shù)語(yǔ)的關(guān)系］

該幾何體與半球同高(R),這說(shuō)明它與半球可以?shī)A在兩個(gè)平行平面之間，剩下的問(wèn)題是要

證明它與半球的等距截面的面積相等.

用與底面平行的任一平面去截圖24的兩個(gè)幾何體,截面分別是圓面和圓環(huán)面(圖25).如

果截面與平面a的距離為1,那么圓面半徑r=J/?，-4,圓環(huán)面的大圓半徑為R,小圓半徑為

1,因此

SB=nr2=Jr(R2-I2),

s圖環(huán)=nR2-7rl2=n(R2-l2),

所以SB=S跖

根據(jù)祖咂原理,這兩個(gè)幾何體的體積相等，即

V**=KR'R--7TR~R

3

2,

=-7rR3

3

4

所以V球二—兀R、

3

由此，“猜想”得到證明，可以寫(xiě)成定理形式：

［從猜想到證明是“質(zhì)”的升華!是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的素質(zhì)］

定理:如果球的半徑是R,那么它的體積是

4

V以=—

3

師：你準(zhǔn)備怎樣記憶這個(gè)結(jié)論呢？

［不管是意義識(shí)記或是機(jī)械識(shí)記,在這里都是有效的，都是可行的.根據(jù)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)

習(xí)慣，不必強(qiáng)求一律］

生1:根據(jù)“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”］

V半球=v圓柱-V圓錐=7TR3――九R3

3

=2乃*

3

4

V球——7TR

3

生2:我保要記住V回柱：V牛瞇：Va?=3:2:l就行了.

師:還有其它的記憶方法嗎?例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公工試試看.

［數(shù)學(xué)教師要不要培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力？這是有爭(zhēng)議的.看來(lái)，數(shù)學(xué)教師有可能，也有必要去

培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力］

生:［板演］

Z

V擬柱體=%■/?(S+45O+S)

2

對(duì)于球,/i=2R,S=S'=0,So=TTR

所以V產(chǎn)'2R(0+4乃店+0)

=-7iR3

3

［隨時(shí)復(fù)習(xí)與應(yīng)用擬柱體公式］

師:這能作為球體積公式的證明嗎?

生:球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為一種記憶方法.

師:還有其它的記憶方法嗎?例如,將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點(diǎn),

錐的底面不是平面,而是球面的一小部分（是曲面）請(qǐng)看圖26.［是可貴的數(shù)學(xué)思想］

于是V球=許多小錐體之和，而這許多小錐體的高可視為球半徑R,又因?yàn)樗行″F體的

底面之和=球面積=47lR2,_

所以Vk+S2---）/J/'

:2廣

\;I

3\/

*/

［發(fā)展學(xué)生的空間想象能力］,、/

同樣，這也不能作為球體積公式的證明.但/是,

使人感到興趣的是,擬柱體\小錐體與球體的這、----1種

“默契”，這種內(nèi)部的一致，給人們和諧的感覺(jué)，圖26它

不僅可以幫助人們記憶，還給人以和諧美的感

受!［升華了］

師:現(xiàn)在再請(qǐng)大家自己解答一個(gè)問(wèn)題［板書(shū)］

［不十分困難的例題由學(xué)生自己解答，然后再對(duì)照課本并進(jìn)行議論,有時(shí)比教師直接講解

要收效大些，不妨一試］

有一種空心鋼球，重142g,測(cè)得外徑等于5.0cm,求它的內(nèi)徑（鋼比重是7.9g/cm3）.

師:這是課本的例題，解完后自行對(duì)照課本.［同時(shí)由一位學(xué)生板演］

議論:（略）

師:今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)球的參照體，而“細(xì)沙實(shí)險(xiǎn)”幫助我們解決了這個(gè)問(wèn)題.

你能離開(kāi)實(shí)驗(yàn),經(jīng)過(guò)分析直接構(gòu)造這個(gè)參照體嗎？

［代替小結(jié),將課內(nèi)效果引向課外一一直接構(gòu)造參照體］

二、教案分析

這份教案顯然是寫(xiě)給別人看的，如果只是為了自己教學(xué)，我想，只要記卜教學(xué)過(guò)程就行了:

1提出問(wèn)題V,R=?

2目測(cè)圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系

2

3得猜想：V半球=一〃/?3

3

4細(xì)沙實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證“猜想”

5構(gòu)造參照體，證明“猜想”

6得定理?談?dòng)洃?/p>

7例題?小結(jié)?作業(yè)

我為什么要采取上面這幾個(gè)環(huán)節(jié)？理由如下：

目前的數(shù)學(xué)教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過(guò)演繹，將知識(shí)展開(kāi).于是，過(guò)程1?4都可

以省略.并且，“參照體”也是由教材直接給出的（不需要構(gòu)造）.師生的任務(wù)只是用演繹法推得

V*球=三萬(wàn)夫3這就是“內(nèi)化”過(guò)程.由于教材總是把知識(shí)和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學(xué)

3

生面前，新、舊知識(shí)的銜接點(diǎn)直接給出，內(nèi)化任務(wù)很快就完成.因此，這種做法的優(yōu)點(diǎn)是直截了當(dāng),

節(jié)約時(shí)間;缺點(diǎn)是學(xué)生缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過(guò)程，把知識(shí)或方法不是作為“過(guò)程”而是作為“結(jié)

果”直接拋給學(xué)生.長(zhǎng)此以往，越“拋”越多,學(xué)生頭腦中很難形成?個(gè)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)果成

績(jī)分化，出現(xiàn)大量差生.

反之，插入環(huán)節(jié)1?4,則環(huán)節(jié)5的“構(gòu)造參照體”（這是全課的關(guān)鍵）就十分自然.從“目測(cè)”

到“實(shí)驗(yàn)”，這是強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)”，而環(huán)節(jié)5則是內(nèi)化.這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過(guò)程又是在教師指

導(dǎo)下進(jìn)行的,教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性十分融洽.

“目測(cè)”、“大膽猜想”、“實(shí)驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味;從“實(shí)驗(yàn)”

到“構(gòu)造參照體”，隨流而下，直闖關(guān)鍵（出現(xiàn)參照體卜終達(dá)彼岸（得定理）.最后“談?dòng)洃洝保?/p>

動(dòng)活潑，乃至升華；“小結(jié)提問(wèn)”，余味不盡.

數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過(guò)程的教學(xué)，“直截了當(dāng)”則掩蓋了“思維過(guò)程”，把知識(shí)和方法

不是作為思維過(guò)程暴露在學(xué)生面前，而是作為結(jié)果拋給學(xué)生，這種“奉送”的做法勢(shì)必回避了

教學(xué)思想的培養(yǎng).長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)很難得到提高.

最后,還要說(shuō)明一點(diǎn)，“構(gòu)造參照體”是本課的難點(diǎn)，本教案采用了“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，也就回

避了“構(gòu)造性困難”，因此本教案是為普通班設(shè)計(jì)的，而“好班”就不應(yīng)該回避構(gòu)造困難，何況

“構(gòu)造參照體”是運(yùn)用祖曬原理的關(guān)鍵,也是學(xué)習(xí)這一段教材（從柱體開(kāi)始）的關(guān)鍵所在.因此,

建議根據(jù)學(xué)生情況補(bǔ)充下述內(nèi)容：

參照體與祖曬原理

為了利用祖曬原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積，常要構(gòu)造另一個(gè)幾何體,此幾何體必須符合

兩個(gè)條件（1）它的計(jì)算公工是已知的；（2）它符合祖曬原理的條件，即該幾何體與原幾何體能

夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí),截得的截面面

積總相等.為了下面的敘述方便起見(jiàn),把符合這兩個(gè)條件的幾何體叫做原幾何體的參照體,或

簡(jiǎn)稱參照體.

例1旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線的一部分，其方程為y=x2（0WyWH）,y軸為旋轉(zhuǎn)軸,求該

旋轉(zhuǎn)體的體積

解將此旋轉(zhuǎn)體放在平面a上，用與平面a平行且相距h的平面去截，得截面圓的面積

（、為了=萬(wàn)力=矩形面積（一邊為常量n,另一邊為變量h）.

這說(shuō)明參照體的截面可以是一個(gè)矩形,其一邊長(zhǎng)頁(yè)，另一邊長(zhǎng)為變量h,于是得參照體:

以等腰直角三角形ABC為底面（兩腰長(zhǎng)H）,高AAFJT的直三棱柱ABC-ABC（圖27的右側(cè)）由

于參照體的體積=底面積X高=—"2兀=-7TH2,所以所求旋轉(zhuǎn)體的體積=—I"？

222

作者簡(jiǎn)介

馬明，1929年生，1951年開(kāi)始參加教育工作，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及研究五十余年。首任南京師大附中

副校長(zhǎng)，現(xiàn)任南京師大數(shù)學(xué)系兼職教授。1984年被授予中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師稱號(hào)，代表性論著有《馬明數(shù)學(xué)

教育論文集》等。除本職工作外，并兼任國(guó)家教育部中小學(xué)教材審定委員會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科審杳委員、江蘇

省中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會(huì)副理事長(zhǎng)等職。

案例3橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（系列課）

浙江省象山中學(xué)蔣亮

一、教案描述：

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)包括橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、橢圓的第二定義等等，教材中單獨(dú)地

把它分成幾塊拿出來(lái)討論，顯得極不自然。特別是橢圓的第二定義，教材通過(guò)一個(gè)例子給出，思路不蹈常

規(guī)，這一切都是教材的簡(jiǎn)潔性決定的。我在教學(xué)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)設(shè)了問(wèn)題情境，把這些內(nèi)容有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，

整個(gè)過(guò)程如同一次重大戰(zhàn)役，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入，促進(jìn)學(xué)生思維的展開(kāi)，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。過(guò)程如

下：

（?）、以問(wèn)題為中心，注重過(guò)程教學(xué)。

首先，設(shè)計(jì)如下情境，提出反常規(guī)的問(wèn)題。

師：上幾節(jié)課，我們導(dǎo)出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整個(gè)過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)周密，現(xiàn)摘錄如下：

設(shè)M（x,y）是橢圓上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)F1和F2的坐標(biāo)分別是（―c,0）,（c,0）（圖1）。由

橢圓的定義可得：

J（x+c）2+/+-+/=2a（1）

將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得

a2—ex-a-J（x-c）2+y2（2）

兩邊再平方，整理得

V2

/+方=1（a>b>Q）⑶

問(wèn)題1:為什么將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?

對(duì)于這響題學(xué)生首先會(huì)感到奇怪，似乎（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程那是順理成章的，進(jìn)而會(huì)展開(kāi)熱烈

的討論，教師總結(jié)一下大致有以下幾點(diǎn)理由：

1、（3）式簡(jiǎn)捷，具有對(duì)稱的美感。

2、（3）式為我們提供了求橢圓軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程，方便用待定系數(shù)法求解軌跡的方程。

3、根據(jù)解析幾何用曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)這一特點(diǎn)，（3）式方便研究橢圓

的幾何性質(zhì)。

針對(duì)上述理由3,教師可以組織學(xué)生就如何利用（3）式從整體上把握橢圓的曲線的形狀，展開(kāi)討論。

這樣便自然引出：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等課文要求的內(nèi)容。若要進(jìn)一步研究橢圓的曲線，自然需

要列表、描點(diǎn)、連線等常用手段，于是課文中的例1便自然出來(lái)了。上述討論需要?個(gè)課時(shí)左右。

（二）以探究為熱點(diǎn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

由于有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，本節(jié)課教師的問(wèn)題設(shè)計(jì)顯然容易且自然多了。

師：上節(jié)課我們討論了（3）式作為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的諸多優(yōu)點(diǎn)，自然我們會(huì)有：

問(wèn)題2:將（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么缺點(diǎn)？

對(duì)于這一問(wèn)題學(xué)生感到有些困難，教師可以和學(xué)生一起比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)（3）式

無(wú)法揭示橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)2a這一本質(zhì)屬性，相比之下（1）式恰好具有這一優(yōu)點(diǎn)。

于是師生一起可以討論（1）式的優(yōu)缺點(diǎn)，具體可得：

1、（1）式充分揭示了橢圓的定義.

2、（1）式難以討論橢圓的其他幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等等。

通過(guò)以上討論，自然產(chǎn)生了：

問(wèn)題3:是否存在一個(gè)方程，同時(shí)體現(xiàn)橢圓的第一定義和橢圓的幾何性質(zhì)？自然將目光

轉(zhuǎn)向（2）式，將（2）式變形，得

7（x-c）2+y2=a-—x（4）

a

即\MF2\=a-ex（5）

同理可得\MF1\=a+ex（6）

將（2）式再變形，得

（5）（6）兩式將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為只和焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的?維算式，充分體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)降維思想。而（7）式正好揭示了橢圓的第二定義，正是書(shū)本上例2的意圖（圖2）。

如此處理教材，自然流暢，既能完成教學(xué)任務(wù)，乂充分地揭示了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，通過(guò)被人們所遺

棄的（2）式，挖掘出如此寶貴的教學(xué)成果，這會(huì)讓學(xué)生興奮不已。在品嘗創(chuàng)新果實(shí)的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的

創(chuàng)新能力，以上討論約?教時(shí)。

（三）、以反思為主調(diào)，奏響創(chuàng)新旋律。

務(wù)必指出，反思是創(chuàng)新的源泉。通過(guò)前二節(jié)課的探索，特別是第二課時(shí)獲得一系列創(chuàng)新成果以后，

教師更要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，打破思維定勢(shì)，爭(zhēng)取更大的突破。

師：總結(jié)上二節(jié)課的討論，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)（1）式的每一次變形，都會(huì)收到一系列令人

激動(dòng)的科學(xué)成果，那么自然會(huì)有：

問(wèn)題4:（1）式還有其他變形嗎？如果有又能得到什么收獲呢？

此時(shí)，學(xué)生的思維已被激活，討論特別的活躍，熱情空然的高漲，通過(guò)討論可獲得系列成果如下：

成果一：將（1）兩邊平方，整理可得:

7(x+c)2+y2?7(x-c)2+y2+x2+y2

(8)式揭示了橢圓的又一本質(zhì)屬性：

222

\MF^MF2\+\MO\=a+b,

即，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之積，

和它到橢圓中心距離的平方之和等于常數(shù)（圖3）。，

成果二：將（5）（6）代入（8）式可得：（圖3）

\M0\=^]b2+ex2（9）

若將動(dòng)點(diǎn)到中心的長(zhǎng)度稱為橢圓的半徑，那么（9）式給出了橢圓半徑的計(jì)算方法，

它只和該點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)，同樣起到降維作用。

成果三：若將（1）式的兩邊乘以J（x+c『+/-J（x—c）2+y2,整理可得：

J（x+c）2+y2-J（x-c）2+y2_c

-----------------=_Uuj

2x---a

（10）式給出了橢圓的又一本質(zhì)屬性：即橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差與該點(diǎn)到橢

圓的一條對(duì)稱軸（垂直于焦點(diǎn)所在直線）的距離之比是一個(gè)常數(shù)。

成果四：在AKMF2中（圖1）,設(shè)/匕加尸2=a,則由余弦定理可得：

4c2=.用2+\MP2f-Q\MF^MF2\cosa

2

=（\MF]\+\MF2\）-2|岫摩2|（1+cosa）

=4a2-21MAiMF?I。+cosa）

2b2

所以河耳|同「21=-------（ii）

1+cosa

將（11）式代入（8）式可得：

|MO|=Ja2-h2tan2y（12）

（12）式給出了橢圓半徑與動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)連線所成角的關(guān)系。

應(yīng)該指出：本節(jié)課的創(chuàng)新討論是無(wú)止境的，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，當(dāng)然由于學(xué)生的程度不

同，得到的成果也不同，無(wú)論如何，教師都應(yīng)給予充分的肯定。

從對(duì)（1）式作變形看，自然也可考慮對(duì)其它式子變形，如將（3）式變形成

--------------=一（，于是可得，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)A（—a,0）,B（a,0）的連線的斜率之積等

（x-a）（x+a）a

于常數(shù)，等等。本內(nèi)容可以安排1至2課時(shí)。

二、教案分析

（一）、教學(xué)觀念是教學(xué)設(shè)計(jì)的指南針

培養(yǎng)創(chuàng)造性思維是素質(zhì)教育的主要任務(wù)之一。突破舊的教學(xué)模式，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié),

多給學(xué)生以創(chuàng)新的條件、機(jī)遇和氛圍，突出知識(shí)的發(fā)生、形成、探索過(guò)程，寓創(chuàng)新意識(shí)于課

堂教學(xué)之中，這是本節(jié)內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)的主思想、主旋律。

本教案一反常規(guī)的教學(xué)過(guò)程，在注重知識(shí)落實(shí)的同時(shí)，更注重的是過(guò)程，通過(guò)一系列

問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)，將課本教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，一切顯得那么的自然和諧、合情合理、引人

入勝，這與教師的教學(xué)觀念是密切相關(guān)的。

從這堂課的整體效果看，因從暴露思維的角度組織材料，所以學(xué)生學(xué)得輕松愉快，主

動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的熱情高漲，變被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高了學(xué)習(xí)效果。在教師的適當(dāng)點(diǎn)撥

下，學(xué)生在力所能及的發(fā)現(xiàn)中可以領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣。

從教師的教學(xué)理念看，特別注重提高思維能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，于是設(shè)計(jì)出一個(gè)又

一個(gè)富有成果的、有價(jià)值的問(wèn)題。給學(xué)生以探索的機(jī)會(huì)，創(chuàng)造的熱情，從而提高了素質(zhì)。我

們說(shuō)演繹推理能力的培養(yǎng)，無(wú)疑是重要的，但對(duì)于尋找真理、發(fā)現(xiàn)真理和探索真理而言，更

要重視合乎情理的推理能力的培養(yǎng)。這一切，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)未予重視，于是說(shuō)要設(shè)計(jì)一個(gè)

好的教案，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念更是關(guān)鍵、是方向盤(pán)、是指南針。

（二）挖掘教材是教學(xué)設(shè)計(jì)的必修課。

現(xiàn)行教學(xué)教材是由很多教學(xué)教育專家經(jīng)過(guò)反復(fù)修改、討論才編就的，它的每一項(xiàng)內(nèi)容

乃至每一條題目，都有其精心的考慮。當(dāng)然，編寫(xiě)者不可能也無(wú)必要把他們的所有想法都寫(xiě)

進(jìn)教材，這就要求我們深入鉆研教材，充分挖掘教材的潛能，實(shí)際教學(xué)時(shí)，做到既源于課本,

又高于課本、活于課本，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性的思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

本教案從一個(gè)反常規(guī)的問(wèn)題入手，扣開(kāi)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，可能在學(xué)生的心目中，甚

至在許多教師的心底里認(rèn)為（3）式作為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是天經(jīng)地義的，從來(lái)沒(méi)有想過(guò)為什

么要把（3）式作為標(biāo)準(zhǔn)方程，也從來(lái)沒(méi)有想過(guò)（3）式的許多不足和缺陷。本課時(shí)正是在這

一逆向思維的基礎(chǔ)匕一下子吸引了學(xué)生的注意力，激活了他們的好奇心，整節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)成

幾課時(shí)，猶如一部?jī)?yōu)秀的電視連續(xù)劇，讓人留戀忘返、欲止不能。

本教案的成功之處是充分的挖掘了教材的潛能，站在學(xué)生的層面上設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，把

知識(shí)點(diǎn)的掌握轉(zhuǎn)化為探索過(guò)程，并把探求的領(lǐng)域一次次地?cái)U(kuò)大，一次次地深入，這種有淺入

深、由表及里、由小見(jiàn)大的教學(xué)設(shè)計(jì)方案，符合學(xué)生的心理特征和人們的?般的認(rèn)知規(guī)律，

值得借鑒和推廣。

作者簡(jiǎn)介

蔣亮，男。1956年12月生，現(xiàn)任浙江省象山中學(xué)校長(zhǎng)，是浙江省特級(jí)教師，寧波市首

批名教師、寧波市享受正教授待遇的正高級(jí)教師。主要從事數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)管理和教育創(chuàng)新

的研究，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力、研究意識(shí)的培養(yǎng)有獨(dú)到的見(jiàn)解和成效，在《數(shù)學(xué)教學(xué)》、《數(shù)學(xué)通

訊》等刊物上發(fā)表多篇?！读陙?lái)高考內(nèi)容的覆蓋和應(yīng)試秘方》一文曾被三家雜志轉(zhuǎn)載，同

年被評(píng)為全國(guó)優(yōu)秀論文，參與編寫(xiě)新教材教參用書(shū)多種。

案例4函數(shù)最值的一些求法及錯(cuò)解分析

浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)許克用

一、教案描述

教學(xué)課題：函數(shù)最值的一些求法及錯(cuò)誤分析

教學(xué)目標(biāo)：

1、復(fù)習(xí)函數(shù)最值的一些主要求法；

2、剖析求解過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因；

3、進(jìn)一步樹(shù)立“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”的唯物論。

教學(xué)重點(diǎn)：最值求法

教學(xué)難點(diǎn)：掌握解題中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因

導(dǎo)學(xué)：引導(dǎo)學(xué)生在自主解題和互相討論的過(guò)程中抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，掌握主要的求

解方法及正誤鑒別方法，從而提高思維能力。

教學(xué)過(guò)程：

亮題：這堂課擬通過(guò)大家對(duì)實(shí)例的研討，進(jìn)一步掌握求函數(shù)最值的一些主要方法及解題

過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因。

例1、已知函數(shù)〉=至*24）,請(qǐng)大家自己或與周圍同學(xué)一起探討出求這個(gè)函數(shù)最值的

x-3

各種方法。

（學(xué)生舉手回答）解法一：

2T2aIQ-

y=—=2[（x-3）+--+6]>2[2（x-3）x--+6]=24

x-3x-3Vx-3

當(dāng)且僅當(dāng)，即X=6時(shí)（舍去X=0）ymin=24,但無(wú)最大值。

（教師指出）這種方法叫配湊法，同時(shí)用到了基本不等式，很好！應(yīng)注意什么？（答：

等號(hào)是否能取到）.

（學(xué)生舉手回答）解法二：

令x-3=t,則；x》4,■,?t>L

y=2^3）--=2（r+1+6）>2（2^x1+6）=24。余同解一。

（教師提問(wèn)）此為何法？（答：換元法。）解題時(shí)應(yīng)注意什么？（答：1、注意新變量t

的變化范圍；2、在利用基本不等式時(shí)什么時(shí)候取到等號(hào)。）

評(píng)：此法雖與解法一的實(shí)質(zhì)是一樣的，但它優(yōu)于解法一。問(wèn)：還有其他解法嗎？

（學(xué)生舉手回答）解法三：

'.'X>4,x-3#0,.?.轉(zhuǎn)化為方程2x?-yx+3y=0.利用判別式法得△=y2-24y>0,則y>24

'.'x>4,.,.y>0,/.y>24,即為曲=24,但無(wú)最大值。

（教師提問(wèn)）此解法對(duì)嗎？△能保證根x》4嗎？部分同學(xué)認(rèn)為不正確，如何改正？

A=y2-24y>0

（學(xué)生舉手回答）利用實(shí)根分布法得（1）-二±24^24<y<32

2x2

/（4）=32-4y+3y>0

對(duì)嗎？（教師指導(dǎo)）實(shí)踐檢驗(yàn),取y=40代入，得x2-20x+60=0,解得x=10+2癡>4

或工=10-2歷<4（舍），可見(jiàn)存在》=10+2M，使y=40>32,可見(jiàn)上述解法還存在問(wèn)題，怎

樣修正？（學(xué)生回答）上述不等式組僅僅給出在[4+8）上有兩個(gè)實(shí)根的情形，還應(yīng)補(bǔ)上在

[4,+8）上有一實(shí)根的情形：（2）、f（4）<0,即y>32。綜上（1）、（2）,得y>24。ymin=24,

但無(wú)最大值.

評(píng)：此法叫做實(shí)根分布法，有時(shí)簡(jiǎn)稱判別式法。判別式法用到的是必要條件，并不充耍，因此應(yīng)慎用。

（教師問(wèn)）還有什么解法嗎？

（學(xué)生舉手回答）解法四：

2x222

?v=---=---------=-------------.

x-3—1.3x1———-31（---1-、）2+—1

xX2x612

???當(dāng)X=6時(shí)｛出=24。

又x》4,0<—4—，當(dāng)-3（----尸—>—時(shí)y—>+00,但—3（-----<—，y最,大值。

x4x612x612

（教師提問(wèn)）此為何法？（答：配方法。）

（教師問(wèn)）還有其它解法嗎？

（學(xué)生舉手回答）解法五（求導(dǎo)法）：

由丫=工二得，y'=4?13）=282,=2廣_寧=2產(chǎn)-\）=0,即x=o（舍）或x=6時(shí),y'=0.

x-3（x-3）2（x-3）2（x-3）2

列表如下：

X4(4,6)6(6,+°°)

y，-16一0+

y3224t

由上表可得，當(dāng)x=6時(shí)ymin=24,但無(wú)最大值。

教師指出：此法即為導(dǎo)數(shù)法。那么用導(dǎo)數(shù)法求最值的思路是：①、先通過(guò)求導(dǎo)求出各個(gè)

極值和函數(shù)端點(diǎn)值；②、經(jīng)比較，取其中最小的就是函數(shù)的最小值，其中最大的就是函數(shù)的

最大值。上例中當(dāng)XC（6,+8）時(shí)y遞增，所以函數(shù)取不到最大值。

小結(jié):綜合以上，我們用到了哪些方法?（學(xué)生回答）配湊法、基本不等式法、換元法、判別

式法（或?qū)嵏植挤ǎ?、配方法、求?dǎo)法等等