高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)

1.1集合........................................................................4

1.1.1集合的含義與表示......................................................4

1.元素與集合..........................................................4

2.集合的分類...........................................................5

3.元素與集合的關(guān)系.....................................................5

4.集合的三種特性.......................................................6

5.常用數(shù)集及其表示方法.................................................6

6.集合的表示方法.......................................................6

1.1.2集合間的基本關(guān)系......................................................9

1.Venn圖與數(shù)軸表示集合................................................9

2.子集................................................................9

3.集合與集合之間的“相等”關(guān)系.......................................10

1.1.3集合的基本運(yùn)算.......................................................12

1.并集...............................................................12

2.交集.................................................................13

3.全集與補(bǔ)集..........................................................14

1.2函數(shù)及其表示................................................................16

1.2.1函數(shù)的概念............................................................16

1.2.2函數(shù)的表示方法........................................................21

1.函數(shù)的三種表示方法.................................................21

2.函數(shù)圖像...........................................................21

3.分段函數(shù).............................................................24

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)...............................................................27

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值.................................................27

1.函數(shù)的單調(diào)性.......................................................27

2.函數(shù)的最大、最小值..................................................30

1.3.2奇偶性...............................................................32

2.1指數(shù)函數(shù)...................................................................36

2.1.1指數(shù)函數(shù)..............................................................36

1.根式...............................................................37

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念和運(yùn)算法則........................................38

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).....................................................41

1.指數(shù)函數(shù)............................................................41

2.指數(shù)函數(shù)y=Q*(a>0,awl)的圖像性質(zhì)..............................42

3.指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律....................................43

4.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性............................................44

2.2對(duì)數(shù)函數(shù)...................................................................46

2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算.....................................................46

1.對(duì)數(shù)................................................................46

2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則......................................................47

3.對(duì)數(shù)公式............................................................48

2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì).....................................................50

1.對(duì)數(shù)函數(shù)............................................................50

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì).................................................51

3.反函數(shù).............................................................53

2.3累函數(shù)......................................................................56

1.累函數(shù)..............................................................56

2.塞函數(shù)的圖像........................................................56

1.1集合

1.1.1集合的含義與表示

1.元素與集合

考察下列三個(gè)問題：

方程％2=4的解；正方形的全體；平面內(nèi)到某一線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的全體;

定義元素與集合

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。

如：A={1,3,5,…}.B={(x,y)|y=2%-1]C={北京，重慶，成都…}

【例1】下列各組對(duì)象哪些能構(gòu)成一個(gè)集合？

(1)著名的數(shù)學(xué)家；

⑵比較小的正整數(shù)的全體；

⑶某校20n年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；

⑷不超過20的非負(fù)數(shù)；

⑸方程f—9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；

(6)V2的近似值的全體

2.集合的分類

(1)空集：不含有任何元素的集合稱為空集(emptyset),記作：0.

(2)有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.

(3)無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.

【例2】判斷下列語(yǔ)句能否確定一個(gè)集合？如果能表示一個(gè)集合，指出它是有限集還是無(wú)限

集.

⑴你所在的班，體重超過75kg的學(xué)生的全體；

⑵舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)的城市；

(3)高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題；

⑷在2011年3月11日日本地震海嘯中遇難的人的全體；

⑸大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù).

3.元素與集合的關(guān)系

(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belongto)A,記作a^A；

(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(notbelongto)A,記作a^A。

【例3】用符號(hào)”或"仁”填空.

(1)2^/3{x|x<炳，3A/2___{x|x>4}；

22

(2)3__{x|x=n+1,nGN+},5___{x|x=n+1,neN+}；

(3)(—14)—{y\y=x2],(-1,1)—{(劉y)\y=x2}.

4.集合的三種特性

(1)確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或

者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.

(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，

同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.

(3)無(wú)序性：集合中的元素的次序無(wú)先后之分.如：由1,2,3組成的集合，也可以寫

成由1,3,2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.

5.常用數(shù)集及其表示方法

非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N

正整數(shù)集，記作N*或N+

整數(shù)集，記作Z

有理數(shù)集，記作Q

實(shí)數(shù)集，記作R

1

【例4】集合A由形如加+石”eZ)的數(shù)構(gòu)成的，判斷是不是集合A

2-73

中的元素?

6.集合的表示方法

1.自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒ㄈ昕冢捍笥诘扔?且小于等于8的偶

數(shù)構(gòu)成的集合.

2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi).如：｛1,2,3,4,5｝,僅2,

3x+2,5y3-x,x2+y2｝,…；

3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)｛｝內(nèi).具體方法：在大括

號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫

出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

4.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數(shù)軸上的區(qū)間等.為了形象直觀，我們常常畫一條

封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，這種表示集合的方法稱為韋恩(Venn)圖法.如

下圖，就表示集合{1,2,3,4}.

【例5】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程f—3=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(2)由大于15小于25的所有整數(shù)組成的集合.

【例6】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)比5大3的數(shù)；

(2)方程/+4x+6y+13=0的解集；

(3)二次函數(shù)y=10的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合。

【例7】定義集合運(yùn)算：AD5=卜|2=孫(%+丁)/64y€用.設(shè)集合4={0』}，

6={2,3},則集合A口3的所有元素之和為

A.0B.6C.12D.18

【例8】定義集合運(yùn)算：A*5={z|z=孫,xeAyeB},設(shè)A={L2},B={0,2},

則集合A*3的所有元素之和為()

A.0B.2C.3D.6

【例9】已知集合4={。+2,(。+1)2,￡+3。+3卜若leA,求實(shí)數(shù)。的值及集合A.

【例10】己知集合4={。+2,￡+2},3eA,求實(shí)數(shù)。的值

思考：(1)區(qū)分集合中元素的形式：

如A={%|y=/+2%+1}.

=[y\y=+2x+i}.

C={(x,y)|y=x2+2x+l]；

2

D=[x]x=x+2x+l}e

E={(x,y)\y=x2+2x+1,xeZ,yeZ}

尸={(x,丁')1y=工2+2x+l}；

G={z|y=x2+2x+1,z=—}

%o

(2){0}、。和{辦的區(qū)別，。與三者間的關(guān)系。

1.1.2集合間的基本關(guān)系

l.Venn圖與數(shù)軸表示集合

1.用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合，這種圖稱為Venn圖。

2.用數(shù)軸來表示集合的方法叫數(shù)軸法。

2.子集

定義L121子集

如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合

A是集合B的子集(subset).記作：AqB(或B衛(wèi)A),當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作

A^B,用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系：AoB(或BoA)

注意：

(1)“A是B的子集”的含義是：A的任何一個(gè)元素都是5的元素，即由任意的尤eA,

能推出XGB.

(2)當(dāng)A不是8的子集時(shí)，我們記作“(或5幺4)”，讀作：“A不包含于3

(或“3不包含4").

定義1.12.2真子集

若集合AqB，存在元素xwB且xeA，則稱集合A是集合B的真子集(propersubset).

記作：A^B(或B企A)

規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

【例1】請(qǐng)判斷①0品0}；②Re{R}；③0e{0}；?0S{0};⑤0={0}；⑥

Oe{0}；⑦0e{O}；⑧0“0},正確的有哪些？

【例2】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：

(1)(x||x|<1}{x|x2<l);

(2){y|y=2x2}{y|y=3x2-l}；

(3)(x||x|>l){x|x>l)；

(4){(x,y)|-2WxW2}{(x,y)|T〈xW2}.

【例3】寫出集合{a,b,c}的所有不同的子集.

【例4】已知{a,A}NA&{a,Z?,c,d,e},則這樣的集合A有個(gè).

【例5】同時(shí)滿足:①〃1{1,2,3,4,5}；②aeM,則6—aeM的非空集合/有()

A.16個(gè)B.15個(gè)C.7個(gè)D.6個(gè)

【例6】已知集合人={1,3,a},B={a2},并且B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值.

3.集合與集合之間的“相等”關(guān)系

則A與B中的元素是一樣的，因此A二B

規(guī)定：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作AuA.

2

【例7】設(shè)M={x|x=l+i,aeNj,N={x|x=b-4b+5,bGNJ,則M與N滿足()

A.M=NB.M^NC.N^MD.MDN=0

［例8】已知”=1孫斤3}，N={0，N，yLM=N,則(x+y)+(—+

y2)+…+(7。。+y。。)二

A.-200B.200C.-100D.0

【例9】設(shè)a,beR,集合{l,a+b,a}={O,B,b},則b—a=()

a

思考:含有n個(gè)元素的集合的子集的個(gè)數(shù)？真子集的個(gè)數(shù)？非空子集的個(gè)數(shù)？非空真子集的

個(gè)數(shù)？

1.1.3集合的基本運(yùn)算

L并集

^1.1.3.1并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集,

記作：AUB讀作：“A并B”，即：AUB={x|xeA,或xeB}

Venn圖表示：

要點(diǎn)詮釋：

(l)“xeA,或xeB”包含三種情況：“xeA,但"；“xeB,偃友”；

(2)兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重

復(fù)元素只出現(xiàn)一次).

(1)并集的運(yùn)算性質(zhì)

A^A\JB,B^A\JB;

A\JA=A;

AU。=A;

AUB=BUA

2.交集

定義1.13.2交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集;

記作：AAB,讀作：“A交B"，即ACB={x|xeA,且xeB}；

交集的Venn圖表示：

要點(diǎn)詮釋：

(1)并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B

沒有交集，而是4口3=0.

(2)概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“ACB中的任意元素都是A與B的公共元

素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于AAB”.

(3)兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集

合.

(2)交集的運(yùn)算性質(zhì)

AAA=A;

AClO=°;

AC\B=BC\A.

(3)注意：

若AAB=A,則A^B,反之也成立

若AUB=B,則AuB,反之也成立

若xe(ACB),則xeA且xeB

若xe(AUB),則xeA,或xeB

【例11

(1)已知集合M={y|y=x°-4x+3,xeR},N={y|y=-x2+2x+8,xeR},貝ijMCN等于().

A.0B.RC.{-1,9}D.{y|TWyW9}

(2)設(shè)集合M={3,a},N={X|X2-2X<0,xeZ},MAN={1},則皿1^為().

A.{1,2,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}

【例2】設(shè)A、B分別是一元二次方程2x?+px+q=0與6x+(2-p)x+5+q=0的解集,且AC

B={-},求AUB.

2

【例3】設(shè)集合A={2,a-2a,6},B={2,2a2,3a-6},若ACB={2,3},求AUB.

【例4】設(shè)集合A={x|尤2+4尤=o},5={%|尤2+2(?+l)x+?2-1=0,ae.

(1)若4門5=8,求a的值；

(2)若AUB=5,求a的值.

3.全集與補(bǔ)集

定義1.133全集與補(bǔ)集

全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)

集合為全集，通常記作U.

補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A,由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合

稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementaryset),簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，

記作：C7A，即C7A={可為€。,且xeA}。

補(bǔ)集的Venn圖表示:

要點(diǎn)詮釋：

(1)理解補(bǔ)集概念時(shí)，應(yīng)注意補(bǔ)集C7A是對(duì)給定的集合A和。(A=U)相對(duì)而言的

一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合A,對(duì)于不同的集合U,補(bǔ)集不同.

(2)全集是相對(duì)于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則Z為全集；

而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，則尺為全集，這時(shí)Z就不是全集.

(3)A表示U為全集時(shí)A的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合(如R)時(shí)，則記號(hào)中

“U”也必須換成相應(yīng)的集合(即?！ㄈ?.

(2)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)

C

C*=u.

【例5】設(shè)全集U={xeN」xW8},若AA(C?B)={1,8},(CUA)AB={2,6},(CUA)A(CUB)={4,

7h求集合集B.

【例6】已知全集A={x|-2WxW4},B={x|x>a}.

(1)若ACBN0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若ACBWA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若ACBW0且ACBWA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.2函數(shù)及其表示

1.2.1函數(shù)的概念

回顧

1、初中函數(shù)的概念：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y,如果給定了一個(gè)x值，相應(yīng)

地就唯一的確定一個(gè)y值，這樣就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y的因變量。如在自

12

由落體運(yùn)動(dòng)中，位移S與時(shí)間t之間的關(guān)系是：s=-gf.這里t為自變量，位移S為因

變量，事件t在某個(gè)范圍內(nèi)變化，位移S也相應(yīng)地在某個(gè)范圍內(nèi)變化，位移S是時(shí)間t的函

數(shù)。

2、在初中我們還學(xué)習(xí)了幾個(gè)特殊的函數(shù)：一次函數(shù)丁=入+/左W0),二次函數(shù)

y=aj^+bx+c(a^O),正比例函數(shù)y=上設(shè)左/0),反比例函數(shù)y="(左w0)和對(duì)勾函

X

^y=x+—o

x

函數(shù)

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)

x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的

一個(gè)函數(shù).

記作：y=f(x),xeA.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.

要點(diǎn)詮釋：

(1)A、B集合的非空性，如f(x)=Vx-1+4^x；

(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性，即定義域中每個(gè)元素都有函數(shù)值，且只有

唯一的一個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，如〉=±右；

(3)A中元素的無(wú)剩余性；

(4)B中元素的可剩余性。

【例1】下列式子是否能確定y是x的函數(shù)？

(1)x2+y2=2;

(2)+y/y-1=1;

(3)y=Jx-2+y/l—x.

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

(2)兩個(gè)函數(shù)相同的條件：

①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決

定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥?/p>

函數(shù));

②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值

的字母無(wú)關(guān).

判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的一般方法是：

(1)先判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域是否一致，特別注意一些特殊點(diǎn)的情況；

(2)再考查對(duì)應(yīng)法則是否相同。

【例2】下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個(gè)函數(shù)，為什么？

(1)f(X)=(X—1)°；g(X)=l

(2)f(x)=x；g(x)=7x^-

(3)f(x)=x2；g(x)=(x+l)2

(4)f(x)=|x|；g(x)=A/X^

(3)和/'(a)的聯(lián)系與區(qū)別

/(a)表示當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)/(x)的值。在一般情況下，/(x)是一個(gè)變量(隨x的值而

變化)，而/(a)是常量。

,1

【例3】已知/'(X)=2%一+3工—4.求/X—3)和/■(]").

【例4】求函數(shù)的解析式

(1)若/(x)=%2+2x,求/(2x+l)；

⑵若了(尤+1)=2/+1,求/⑴；

(3)已知/(%)-2/(-)=3^+2,求/(%).

(4)區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

(2)無(wú)窮區(qū)間；

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

區(qū)間表示：

{x\a<x<b]=(a,b);{x|aWxWb}=[a,b]；

{x\a<x<b}=(a.b\；{x\a<x<b]=[〃,6)；

{x\x<b}=(-oo,Z?];{x|a<%}=[a,-Fw).

(5)求函數(shù)的定義域

(1)當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取

值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次

事的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件.

(2)當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際

意義.

(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集

合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.

【例5】求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).

(2)/(x)=J3x-8；⑶/(X)=>J2-X+

【例6】

(1)已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?,1］,求/Xj^+l)的定義域

⑵已知函物(2x-1)的定義域?yàn)?,1］，求/'(1-3x)的定義域。

(6)函數(shù)的值域

實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后,

值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：

觀察法：通過對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖

象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；

配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，

利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；

判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一

些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；

換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從

而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.

求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形

結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻?/p>

制約.

【例7】求值域（用區(qū)間表示）：（l）y=x2-2x+4,①②尤2,4

?------------X2

（2y（x）=Vx2-2%+3;（3?（尤）=-

x+3

【例8】求函數(shù)y=2%-值域。

2v+4x-7

【例9】求函數(shù)y」?十內(nèi)的值域。

JQ+2x+3

【例10］已知/1（五+4）=%+84,求/1（9）的解析式并指明其定義或。

1.2.2函數(shù)的表示方法

L函數(shù)的三種表示方法

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)

值.

圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨

勢(shì).

列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)

值.

2.函數(shù)圖像

（1）函數(shù)圖像

1.描點(diǎn)法：

以解析式表示的函數(shù)作圖像的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖像變換法，掌握這兩種方

法是本節(jié)的重點(diǎn).運(yùn)用描點(diǎn)法作圖像應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要

把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對(duì)所要畫圖像的存在范圍、大致特征、變化

趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究.而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是

一個(gè)難點(diǎn).用圖像變換法作函數(shù)圖像要確定以哪一種函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定

怎樣的變換.這也是個(gè)難點(diǎn).

2.作函數(shù)圖像的步驟：

①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢(shì)）、特殊點(diǎn)（如：

零點(diǎn)、極值點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)）；

④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖像。

【例11作出下列函數(shù)的圖象.

(1)y=l-x(xe{-2,-1,0,1,2})；(2)y=l-x,xeZ;

2

(3)y=2—4-x—3,0<x<3;(4)x>5.

(2)圖像變換

圖像變換包括圖像的平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換等。

(1)平移變換(左加右減，上加下減)

①把函數(shù)/(幻的圖像向左平移a(a>0)個(gè)。單位，得到函數(shù)/(x+a)的圖.像,

②把函數(shù)/(幻的圖像向右平移a(a>0)個(gè)。單位,得到函數(shù)/(x-a)的圖像,

③把函數(shù)/(%)的圖像向上平移a(a>0)個(gè)a單位,得到函數(shù)/(x)+a的圖像,

④把函數(shù)/(x)的圖像向下平移a(a>0)個(gè)a單位,得到函數(shù)/⑴-a的圖像。

(2)伸縮變換

①把函數(shù)y=/(x)圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的!倍得y=f(cox)

w

(0<6?<1)

②把函數(shù)y=/(x)圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的L倍得y=/((9X)

W

(。>1)

③把函數(shù)y=于(x)圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的攻倍得y=

(。>1)

④把函數(shù)y=/(x)圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的w倍得y=cof(x)

(0<?<1)

(3)對(duì)稱變換:

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱;

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)和函數(shù)y=的圖像.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

函數(shù)y=/(%)和函數(shù)y=/-'(%)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

簡(jiǎn)單地記為：x軸對(duì)稱y要變，y軸對(duì)稱x要變，原點(diǎn)對(duì)稱都要變。

②對(duì)于函，數(shù)y=/(x)(xeH),/(x+a)=//—x)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸是

a+b

x=------

2

(4)翻折變換：

①把函數(shù)y=f(x)圖像上方部分保持不變，下方的圖像對(duì)稱翻折到工軸上方，得到函數(shù)

y=|/(刈的圖像；

②保留y軸右邊的圖像，擦去左邊的圖像，再把右邊的圖像對(duì)稱翻折到左邊，得到函

數(shù)丁=/(國(guó))的圖像。

［例2］作出下列函數(shù)的圖象.

2x4-12—x

y=-----;(2)x2-2x|+l；(3)y=,—Z(x+1)；(4)y=——

x-1x-1

3.分段函數(shù)

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大

括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.

2x+1,-4VxV-1,

如函數(shù)/(%)=1—2,

[-%+3,2<x<3,

x+2,x<-l,

【例3】函數(shù)/（%）=卜2,一1<X<2,中，若/（x）=3,則X的值為（

2x,x>2.

A.1B.1或』C.±GD.Q

2

^-x-l(x>0)

f（x）-<

【例4】設(shè)函數(shù)八，若/（a）>a,則a的取值范圍是,

-(x<0)

(-oo,0)

【例5】已知函數(shù)/（X）=<x，求/(x+1)的解析式。

2

^■,xe[0,+oo)

4映射

^1.2.2.1映射

設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在

集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f：A-B.

象與原象：如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的

元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

要點(diǎn)詮釋：

(1)A中的每一個(gè)元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).

(1)函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，若f：A-B是從集合A到集合B的映射，這個(gè)映射叫做從集

合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).

要點(diǎn)詮釋：

(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；

(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.

【例6】判斷下列對(duì)應(yīng)哪些是從集合A到集合B的映射，哪些是從集合A到集合B的

函數(shù)？

(1)A={直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)},B={(x,y)\R,yeR},對(duì)應(yīng)法則是：A中的點(diǎn)

與B中的(x,y)對(duì)應(yīng).

(2)A={平面內(nèi)的三角形},B={平面內(nèi)的圓},對(duì)應(yīng)法則是：作三角形的外接圓；

(3)A=N,B={0,1},對(duì)應(yīng)法則是：除以2的余數(shù)；

(4)A={0,1,2},B={4,1,0},對(duì)應(yīng)法則是f：xfy=x2

11

(5)A={0,1,2},B={0,1,-},對(duì)應(yīng)法則是f：xfy=-

9x

［例7］下列對(duì)應(yīng)哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函

數(shù)嗎？

(1)A=N,B={1,-1},f：x->y=(-l)x；

(2)A=N,B=N+,f：x-?y=|x-3|；

。1+x

⑶人二七B=R,f:x—>y=-----

1-x

(4)A=Z,B=N,f：x-y=|x|；

(5)A=N,B=Z,f：x->y=|x|；

(6)A=N,B=N,f：x-y=|x|.

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間。口4

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值XI、X2,當(dāng)XKX2時(shí),都有f(Xi)<f(X2),那么就說f(x)

在區(qū)間。上是增函數(shù)；

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值XI、X2,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(Xi)>f(X2),那么就說f(x)

在區(qū)間。上是減函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

(1)屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

(2)任意兩個(gè)自變量X],々且X]<%2；

(3)都有/(石)</(々)(如(占)>/(%))；

(4)圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向

右是下降的.

(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

^1.3.1.1單調(diào)性

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)性,

。稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).)

要點(diǎn)詮釋:

①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系--單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集;

②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；

③不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間；

\X為有理數(shù)

④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.如函數(shù)y='生。

.0,x為無(wú)理數(shù)

（3）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

⑴取值.設(shè)X］,%2是/（X）定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且石＜々；

⑵變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

（3）定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

⑷得出結(jié)論.

［例1］已知：函數(shù)/（x）=x+L（1）討論f（x）的單調(diào)性.（2）試作出于（X）的圖象

X

（4）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

⑴定義法；（2）圖象法；⑶對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/［g（x）］

\1Pd工曰—一）

1=g(x)y=f(t)y=/(g(x))

增增增

增減減

減增減

減減增

【例2】判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(1)y=x2-3|x|+2；(2)y=\x-l\+J(x-2)2；(3)y=|x+l|；(4)y=---；

2x-l

(5)y=4;(6)y=|x2-2x-3|.

x

(5)基本初等函數(shù)的單調(diào)性

1.正比例函數(shù)丁二辰(左wO)

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=區(qū)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=Ax在定義域R是減

函數(shù).

2.一次函數(shù)y=Ax+b(左w0)

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=Ax+b在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=Ax+Z?在定義域R

是減函數(shù).

3.反比例函數(shù)y=&(470)

X

當(dāng)左>0時(shí)，函數(shù)y=8的單調(diào)遞減區(qū)間是(YO,0),(0,+8),不存在單調(diào)增區(qū)間；

當(dāng)左<0時(shí)，函數(shù)y=人的單調(diào)遞增區(qū)間是(YO,0),(0,+8),不存在單調(diào)減區(qū)間.

4.二次函數(shù))二奴之+人尤+c(〃wo)

/?b

若a>0,在區(qū)間(一8,-------],函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間[----,+oo),函數(shù)是增函數(shù)；

2a2a

I)Z?

若a<0,在區(qū)間(-8,——],函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間[——，+oo),函數(shù)是減函數(shù).

2a2a

(6)一些常見結(jié)論

(1)若是增函數(shù)，則-/(X)為減函數(shù)；若/(X)是減函數(shù)，則-/(X)為增函數(shù)；

(2)若/(X)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)

為增(或減)函數(shù)；

⑶若/(x)>0且/(%)為增函數(shù)，則函數(shù)，麗為增函數(shù)，/旨為減函數(shù)；若

/。)>。且/(%)為減函數(shù)，則函數(shù)5天日為減函數(shù)，已y為增函數(shù).

【例3】已知函數(shù)/(%)是定義域?yàn)镽的單調(diào)增函數(shù).

(1)比較/(1+2)與/(2a)的大?。?/p>

(2)若/(/)〉/(。+6),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2.函數(shù)的最大、最小值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

⑴對(duì)于任意的xe/,都有(或/(x)2M)；

(2)存在使得/(%o)=M，那么，我們稱M是函數(shù)的最大值(或最小值).

要點(diǎn)詮釋：

①最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量％,使/(%)等于最值;

②對(duì)于定義域內(nèi)的任意元素x,都有/(x)</(x0)(或/(x)2/(%)),“任意”兩字不

可?。?/p>

③使函數(shù)/(%)取得最值的自變量的值有時(shí)可能不止一個(gè)；

④函數(shù)/(幻在其定義域(某個(gè)區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

最小值的幾何意義是圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).

【例4】已知函數(shù)=——

X"+x+2

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)的最大值；

【例5】已知/。)=3/-12X+5,當(dāng)/(X)的定義域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí)，求函數(shù)的最大值和

最小值.

(1)［0,3］；(2)［-1,1］；(3)［3,+8).

【例6】已知函數(shù)/(%)=4犬—g+5在區(qū)間［―2,抬)是增函數(shù)，求加及/⑴的取值

范圍.

【例7】(1)函數(shù)/(》)=必+4以+2在(—8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是？

(2)函數(shù)/(幻=——2ax—3在區(qū)間［1,2］上單調(diào)，則。的取值范圍是？

1.3.2奇偶性

回顧

1、軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形:如果一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)關(guān)于某一條直線的對(duì)稱點(diǎn)仍是這個(gè)圖像上的點(diǎn),

就稱圖形關(guān)于該直線稱軸對(duì)稱圖形，這條直線稱為軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸。

中心對(duì)稱圖形:如果一個(gè)圖形上的任意一點(diǎn)關(guān)于某一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍是這個(gè)圖形上的點(diǎn)，

就稱圖形關(guān)于該點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)稱作中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心。

2、利用描點(diǎn)法作出下列三組函數(shù)的圖像。

(1)/(九)=M與￡(x)=W；

1O

(2)4(x)=2x與g2(x)=^X；

⑶hl(x)=2x+1與0(x)=+X.

^1.3.2.1奇偶性

偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)稱為偶函數(shù).

奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)稱為奇函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

(1)奇偶性是整體性質(zhì)；

(2)x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？一一具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；

(3)f(-x)=f(x)的等價(jià)形式為：/(x)—/(—x)=0,止初=l(/(x)NO),

/(x)

f(-x)=-f(x)的等價(jià)形式為：/(X)+/(-X)=0,止初=-1(/(%)中0);

/(X)

(4)由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有f(0)=0；

(5)若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.

(1)函數(shù)奇偶性的判定方法

(1)求函數(shù)/(x)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原