數(shù)學第四講數(shù)學歸納法證明不等式單元檢測（B）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第四講數(shù)學歸納法證明不等式單元檢測（B)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分)1．用數(shù)學歸納法證明3n＞n3(n≥3,n∈N），第一步應驗證(）．A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝42．設(shè)f(x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x）滿足：“當f（k)≥k2成立時，總可推出f（k＋1）≥(k＋1）2成立”．那么，下列命題總成立的是（）．A．若f(3）≥9成立，則當k≥1,均有f(k)≥k2成立B．若f（5）≥25成立,則當k≤5，均有f（k）≥k2成立C．若f(7)＜49成立，則當k≥8，均有f（k)≥k2成立D．若f（4）＝25成立，則當k≥4，均有f（k)≥k2成立3．用數(shù)學歸納法證明n3＋（n＋1）3＋（n＋2)3,n∈N＋能被9整除,利用歸納假設(shè)證n＝k＋1，只需展開（）．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．（k＋1)3D．（k＋1）3＋（k＋2)34．用數(shù)學歸納法證明不等式成立時，起始值至少應?。ǎ瓵．7B．8C．9D．105．用數(shù)學歸納法證明“對任意偶數(shù)n，an－bn能被a＋b整除”時，其第二步論證應該是（）．A．假設(shè)n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立B．假設(shè)n＝2k時命題成立,再證明n＝2k＋1時命題也成立C．假設(shè)n＝k時命題成立，再證明n＝k＋2時命題也成立D．假設(shè)n＝2k時命題成立，再證明n＝2（k＋1）時命題也成立6．用數(shù)學歸納法證恒等式(n∈N＋)時,由n＝k到n＝k＋1時，兩邊應同時加上（)．A．B．C．D．。7．用數(shù)學歸納法證明(n＋1）＋（n＋2）＋…＋(n＋n）＝的第二步中，n＝k＋1時等式左邊與n＝k時的等式左邊的差等于(）．A．2k＋2B．4k＋3C．3k＋2D．k＋18．已知平面內(nèi)有k條直線，它將平面分成f（k)個區(qū)域，增加一條直線后，平面分成的區(qū)域最多會增加（）．A．k個B．k＋1個C．f(k）個D．f（k＋1)個9．用數(shù)學歸納法證明（n∈N＋,且n＞1）時，第一步是證下述哪個不等式成立？（)．A．1＜2B．C．D．10．已知，則f(n＋1)等于(）．A．B．C．D．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)（2n＋1)時,在驗證n＝1成立時，左邊所得的代數(shù)式是__________．12．在數(shù)列｛an}中，a1＝1,且Sn，Sn＋1，2S1成等差數(shù)列，則S2,S3，S4分別為________，猜想Sn＝________.13．用數(shù)學歸納法證明，假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標是__________．14．從1＝1，1－4＝－（1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4），…，歸納出:1－4＋9－16＋…＋（－1）n＋1n2＝__________。三、解答題(本大題共4小題，15,16，17小題每題12分，18小題14分,共50分)15．觀察下列各式：,，,…，請你猜想一般關(guān)系式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論．16．求數(shù)列：，，，…，,…的前n項和Sn.17．設(shè)n∈N＋,求證：2n＞n.證明：因為2n＝(1＋1)n，由貝努利不等式,得（1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n。上式右邊舍去1，得(1＋1)n＞n,所以不等式2n＞n成立．18．設(shè)bn＝2n（n∈N＋），證明:對任意的n∈N＋，不等式成立．參考答案1。答案:C解析：由n≥3，n∈N知，應驗證n＝3。2.答案：D解析:對于A，f（3)≥9，加上題設(shè)可推出當k≥3時，均有f(k)≥k2成立，故A錯誤．對于B，要求逆推到比5小的正整數(shù),與題設(shè)不符,故B錯誤．對于C，沒有奠基部分,即沒有f（8)≥82,故C錯誤．對于D，f(4）＝25≥42，由題設(shè)的遞推關(guān)系，可知結(jié)論成立，故選D．3。答案：A4。答案:B解析:原不等式可化為,即,即，所以，即,即。故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7，所以n最小取8.5.答案：D解析:第k個偶數(shù)應是2k，所以應假設(shè)n＝2k時命題成立,再證明n＝2(k＋1)時命題也成立．6.答案：D解析:左邊含變量，因此n＝k＋1時,應再加上7。答案：C解析：n＝k時，左邊＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k），n＝k＋1時,左邊＝（k＋2）＋…＋（k＋k)＋(2k＋1)＋(2k＋2），兩者之差為3k＋2.8。答案：B解析：第k＋1條直線與前k條直線的交點最多有k個，從而將增加的直線分為k＋1段，每段所在的區(qū)域?qū)⒃瓍^(qū)域分為兩個區(qū)域，故最多增加k＋1個區(qū)域．9。答案：C解析：n＝2時，左邊＝，右邊＝2,∴應證.10。答案：C11。答案：1＋2＋3解析：當n＝1時,2n＋1＝3,左邊＝1＋2＋3。12.答案:，,解析：因為Sn,Sn＋1，2S1成等差數(shù)列，所以2Sn＋1＝Sn＋2S1.又S1＝a1＝1，所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是，，于是,由此猜想。13。答案：解析：注意不等式兩邊含變量“n”的式子,因此當n＝k＋1時，應該是含“n"的式子發(fā)生變化，所以n＝k＋1時，應為.14.答案：解析：等式的左邊符號正負間隔出現(xiàn),先正后負，所以最后一項系數(shù)應為（－1）n＋1，和的絕對值是前n個自然數(shù)的和,為。15。解:一般關(guān)系式為.當n＝1時,，顯然成立．假設(shè)n＝k時，,則當n＝k＋1時，＝（k＋1)＋1，即當n＝k＋1時，不等式也成立．故恒成立．16.解：;；；…由以上計算可猜想數(shù)列的前n項和.下面用數(shù)學歸納法證明此等式對任何n∈N＋都成立．證明：(1)當n＝1時，左邊＝，右邊＝，等式成立．（2）假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1）時,等式成立，即.當n＝k＋1時，，這就是說,當n＝k＋1時，等式成立，即。根據(jù)（1）（2）知，等式對于任何n∈N＋都成立．1