第7題 導數的幾何意義及應用（原卷）

第7題導數的幾何意義及應用一、原題呈現【原題】若過點可以作曲線的兩條切線,則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解法一：設過點的切線與曲線切于,對函數求導得,所以曲線在點處的切線方程為,即,由題意可知,點在直線上,所以,過點可以作曲線的兩條切線,則方程有兩個不同實根,令,則.當時,,此時函數單調遞增,且,當時,,此時函數單調遞減,所以,,如圖所示,當直線與曲線的圖象有兩個交點時,當時,直線與曲線的圖象有兩個交點.故選D.解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示,根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選D.【就題論題】本題主要考查利用導數的幾何意義研究確定的切線,注意等價轉化思想的應用：切線有兩條切點有2個關于t的方程有2個不同實根直線與有2個交點.另外由解法二可知：點在曲線下方且在x軸上方時符合條件的切線有2條；點在曲線上或在x軸上或在x軸下方時符合條件的切線有1條；點在曲線上方時符合條件的切線不存在；若把題中的切線換成,點位置與切線條數有何關系,有興趣的同學可以探討一下.二、考題揭秘【命題意圖】本題考查導數幾何意義的應用,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.【考情分析】導數的幾何意義是高考的一個高頻考點,考查熱點主要有：求曲線在某點處的切線；求兩條曲線的公切線；確定滿足條件的曲線的條數.【得分秘籍】(1)導數的幾何意義是研究曲線的切線的基石,函數y＝f(x)在點x0處的導數的幾何意義,就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率．也就是說,曲線y＝f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數f(x)的導數f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．(2)研究曲線的公切線,一般是分別設出兩切點,寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同一條直線.(3)求曲線切線的條數一般是設出切點,由已知條件整理出關于t的方程,把切線條數問題轉化為關于t的方程的實根個數問題.【易錯警示】求導出錯,如一下幾個函數的導數比較容易出錯：；(2)混淆在某點處的切線與過某點的切線,注意求曲線過某點的切線,一般是設出切點(x0,y0),解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切點(x0,y0),進而確定切線方程．(3)對曲線的切線理解失誤,如誤認為曲線的切線與曲線只有1個公共點,又如誤認為不是曲線在處的切線方程.三、以例及類（以下所選試題均來自新高考Ⅰ卷地區(qū)2020年1-6月模擬試卷）單選題1．（2021廣東省肇慶市高三二模）曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．2．（2021湖南省部分學校高三下學期聯(lián)考）函數的圖象在點處的切線斜率為（）A． B． C． D．3．（2021山東省濱州市高三二模）設曲線(e=2.718…為自然對數的底數)在點處的切線及直線和兩坐標軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則（）A． B． C． D．14．（2021江蘇省鹽城市高三5月第三次模擬）韋達是法國杰出的數學家,其貢獻之一是發(fā)現了多項式方程根與系數的關系,如：設一元三次方程的3個實數根為,,,則,,.已知函數,直線與的圖象相切于點,且交的圖象于另一點,則（）A． B．C． D．5．（2021湖南省永州市高三下學期二模）曲線在處的切線過原點,則的方程是（）A． B．C． D．6．（2021廣東省肇慶市高三下學期5月模擬）函數的圖像的切線斜率可能為（）A． B． C． D．7．（2021河北省衡水中學高三第一次聯(lián)考）已知M為拋物線上一點,C在點M處的切線交C的準線于點P,過點P向C再作另一條切線,則的方程為（）A． B． C． D．8．（2021湖南省衡陽市高三下學期聯(lián)考）若函數與的圖象存在公切線,則實數a的最小值為（）A． B． C． D．19．（2021江蘇省南通等七市2021屆高三下學期2月調研）已知曲線在,,兩點處的切線分別與曲線相切于,,則的值為（）A．1 B．2 C． D．10．（2021江蘇省蘇州市常熟市高三抽測）已知兩曲線,,相交于點,若兩曲線在點處的切線互相垂直,則實數的值為（）A．2 B． C． D．11．（2021山東省高考考前熱身押題）若,,,求的最小值為（）A． B． C． D．12．（2021河北省邢臺市高考模擬）若曲線存在兩條垂直于y軸的切線,則m的取值范圍為（）A． B． C． D．13．（2021福建省龍巖市高三三模）若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則（）A． B． C． D．二、多選題14．（2021廣東省深圳市高三下學期二模）設函數和,其中是自然對數的底數,則下列結論正確的為（）A．的圖象與軸相切B．存在實數,使得的圖象與軸相切C．若,則方程有唯一實數解D．若有兩個零點,則的取值范圍為15．（2021河北省邯鄲市高三三模）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代平法,做法如下：如圖,設r是的根,選取作為r的初始近似值,過點作曲線的切線,則l與x軸的交點的橫坐標,稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線,則該切線與x軸的交點的橫坐標為x2,稱x2是r的二次近似值；重復以上過程,得r的近似值序列,其中,稱是r的n+1次近似值,這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解,則（）A．若取初始近似值為1,則該方程解的二次近似值為B．若取初始近似值為2,則該方程解的二次近似值為C．D．16．（2021河北省唐山市高三下學期第二次模擬）若直線與曲線相交于不同兩點,,曲線在A,點處切線交于點,則（）A． B．C． D．存在,使得三、填空題17．（2021山東省百所名校高三下學期4份聯(lián)考）已知函數,曲線在不同的三點,,處的切線均平行于軸,則的取值范圍是______．18.（2021江蘇