專題13圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題(原卷版+解析)

1/3專題13圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一一些問(wèn)題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值，以及當(dāng)這些元素存在最值時(shí)，求解與之有關(guān)的一些問(wèn)題．對(duì)于最值問(wèn)題，一般可以用數(shù)形結(jié)合的方法或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決；解決最值范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)重視曲線的定義、曲線的幾何特征、方程的代數(shù)特征在解題中的作用題型一轉(zhuǎn)化為斜率由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想縣其斜率公式，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，利用圖形的直見(jiàn)性使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．1．試求函數(shù)的最大值、最小值．題型二轉(zhuǎn)化為截距利用直線在y軸上的截距的直觀性，可求有關(guān)參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得到最值．2．已知，滿足，則的最大值為，最小值為．題型三轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)利用橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))以及雙曲線的參數(shù)方程(θ為參數(shù))等，將橢圓和雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求其最值．3．過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦，若弦長(zhǎng)的最大值是，則橢圓離心率的取值范圍是．4．設(shè)、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為A． B． C． D．題型四利用基本不等式5．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，則的最大值為A．6 B．4 C．2 D．16．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若的焦距為12，則面積的最大值為A．72 B．36 C．18 D．97．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且位于第一象限，是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為A．， B． C． D．，8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任一點(diǎn)，且最大值取值范圍為，（其中，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．9．已知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則的最小值為A．12 B．10 C．9 D．810．拋物線的焦點(diǎn)為,的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),為上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為A．1 B． C． D．題型五構(gòu)造二次函數(shù)利用解析幾何中的代數(shù)和識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求最值．11．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．12．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小為A．2 B． C． D．13．已知拋物線，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，則的最小值A(chǔ)． B． C． D．14．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，15．為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．916．在過(guò)動(dòng)直線（其中與定直線的交點(diǎn)的等軸雙曲線系：中，當(dāng)取何值時(shí)，達(dá)到最大值與最小值？17．已知拋物線，為軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，，為拋物線的切線，，分別為切點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．題型六利用幾何圖形的性質(zhì)18．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是含拋物線頂點(diǎn)的弧上一點(diǎn)，求的最大面積．19．已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為A． B． C． D．20．設(shè)是雙曲線的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為A． B． C． D．21．已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值為A．1 B． C．2 D．22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．423．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的面積為A． B．9 C． D．4題型七利用圓錐曲線的定義24．已知橢圓，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為A．3 B． C． D．25．已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)和是上的兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，若，則到軸的距離的最小值是A．2 B．4 C．6 D．826．雙曲線，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若是圓上的一點(diǎn)，則的面積的最小值為A． B． C．2 D．27．已知為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C． D．28．已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線左支上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為A．6 B．7 C．8 D.914/18專題15圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一一些問(wèn)題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值，以及當(dāng)這些元素存在最值時(shí)，求解與之有關(guān)的一些問(wèn)題．對(duì)于最值問(wèn)題，一般可以用數(shù)形結(jié)合的方法或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決；解決最值范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)重視曲線的定義、曲線的幾何特征、方程的代數(shù)特征在解題中的作用題型一轉(zhuǎn)化為斜率由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想縣其斜率公式，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，利用圖形的直見(jiàn)性使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化．1．試求函數(shù)的最大值、最小值．【解答】解：設(shè)，是橢圓的兩條切線，如圖所示，點(diǎn)坐標(biāo)為,由橢圓的參數(shù)方程可得故的最大值為，的最小值為，設(shè)過(guò)與橢圓相切的切線方程為．由，消去，得，由△得，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以．所以，所以的最大值的最小值為．題型二轉(zhuǎn)化為截距利用直線在y軸上的截距的直觀性，可求有關(guān)參數(shù)的取值范圍，進(jìn)而得到最值．2．已知，滿足，則的最大值為13，最小值為．【解答】解：將所給的函數(shù)式改寫(xiě)為，則表示直線在軸上的截距，，滿足，可行域?yàn)闄E圓的邊界及其內(nèi)部，畫(huà)出圖形，如圖所示，由圖可知，的最大值，最小值在直線與橢圓相切時(shí)取得，聯(lián)立方程，消去得：，由△得：，解得，的最大值為13，最小值為，故答案為：13，．題型三轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)利用橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))以及雙曲線的參數(shù)方程(θ為參數(shù))等，將橢圓和雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角函數(shù)知識(shí)來(lái)求其最值．3．設(shè)、分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為A． B． C． D．【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，可得，．橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則所在直線方程為，即．在橢圓上，設(shè)，到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．故選：．4．過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦，求這些弦長(zhǎng)的最大值.【解答】設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為則因?yàn)閍>b>0，所以①當(dāng)，即時(shí)，取得②當(dāng)，即時(shí)，取得題型四利用基本不等式5．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，則的最大值為A．6 B．4 C．2 D．1【解答】解：由題意可知，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在雙曲線上，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：．6．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若的焦距為12，則面積的最大值為A．72 B．36 C．18 D．9【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，的焦距為12，，即，，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，不妨取，，面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，面積的最大值為18．故選：．7．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，且位于第一象限，是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為A．， B． C． D．，【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，很明顯直線的斜率為正數(shù)，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即直線的斜率的取值范圍為，．故選：．8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任一點(diǎn)，且最大值取值范圍為，（其中，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意的定義可得：，再由均值不等式可得：，的最大值為，由題意可得可得，解得，故選：．9．已知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則的最小值為A．12 B．10 C．9 D．8【解答】解：對(duì)于函數(shù)，且的圖象，令，求得，，可得它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓，，上，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：．10．拋物線的焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．則的最小值為A．1 B． C． D．【解答】解：由題意可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線，所以，因?yàn)?，所以，求的最小值等價(jià)于求的最大值，設(shè)，，所以，，所以，．當(dāng)時(shí)，最小值為，所以最小值為．故選：．題型五構(gòu)造二次函數(shù)利用解析幾何中的代數(shù)和識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求最值．11．拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A．3 B． C． D．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，．故選：．12．已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小為A．2 B． C． D．【解答】解：設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，橢圓，，，，，令，求導(dǎo)，解得，在，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在時(shí)最小，即最小值為，，．故選：．13．已知拋物線，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，則的最小值A(chǔ)． B． C． D．【解答】設(shè)的方程為代入，得，所以，，，聯(lián)立；同理可得，所以，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故最小值為，故選：．14．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，，，，直線方程為．聯(lián)立，消去，得，所以．所以，因?yàn)椤⒅悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，故，又，所以的取值范圍，．故選：．15．為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的最小值為A．3 B．4 C．5 D．9【解答】解：設(shè)，且，則，設(shè)直線的方程為，整理可得：，解得，設(shè)，，，，則，，，因?yàn)?，所以，所以可得，?dāng)直線的斜率為0時(shí)，則設(shè)，，這時(shí)，，，與上面類似，綜上所述：，故選：．16．在過(guò)動(dòng)直線（其中與定直線的交點(diǎn)的等軸雙曲線系：中，當(dāng)取何值時(shí)，達(dá)到最大值與最小值？【解答】解：由得交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線，，，，當(dāng)，又因?yàn)椋?，所以，所以；?dāng)時(shí)，，故，達(dá)到最大值，時(shí)，達(dá)到最小值．17．已知拋物線，為軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，，為拋物線的切線，，分別為切點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)切線的方程為，代入拋物線方程得，由直線與拋物線相切可得△，則，，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，，，，，，則當(dāng)，即時(shí)，的最小值為故選：．題型六利用幾何圖形的性質(zhì)18．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是含拋物線頂點(diǎn)的弧上一點(diǎn)，求的最大面積．【解答】解：設(shè)，，，，所在的直線方程為，將其代入拋物線，得，，，當(dāng)過(guò)的直線平行于且與拋物線相切時(shí)的面積有最大值．設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，由△，得，這時(shí)，它到的距離為，的最大面積為．19．已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，，，由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得與，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以可得，，所以，將，的坐標(biāo)代入可得相減可得，可得，由題意可得：，即，可得：，解得：，，故選：．20．設(shè)是雙曲線的右支上的點(diǎn)，則代數(shù)式的最小值為A． B． C． D．【解答】解：代數(shù)式可化為，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差，又雙曲線的左右焦點(diǎn)左右焦點(diǎn)分別為，，根據(jù)雙曲線定義可得，，是雙曲線的右支上的點(diǎn)，，故選：．21．已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值為A．1 B． C．2 D．【解答】解：拋物線，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．依題點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和的最小值，就是到與到該拋物線準(zhǔn)線的距離的和減去1．由拋物線的定義，可得則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的距離之和減1，可得：．故選：．22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，可得，則，即，易知直線過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，故選：．23．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的面積為A． B．9 C． D．4【解答】解：如圖，設(shè)的右焦點(diǎn)為，由題意可得，，因?yàn)?，所以，．的周長(zhǎng)為，即當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，即此時(shí)的縱坐標(biāo)為，故的面積為．故選：．題型七利用圓錐曲線的定義24．已知橢圓，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為A．3 B． C． D．【解答】解：由橢圓的方程可得，焦點(diǎn)，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，設(shè)右焦點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，故選：．25．已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)和是上的兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，若，則到軸的距離的最小值是A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：因?yàn)榈姆匠虨?，所以，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得：，則，所以，線段的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離最小值為3，故點(diǎn)到軸的距離最小值為．故選：．26．雙曲線，已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若是圓上的一點(diǎn)，則的面積的最小值為A． B． C．2 D．【解答】解：由雙曲線的方程知，，，，，所以斜率為正的漸近線方程為，與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，，點(diǎn)是圓的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)的面積的最小，又點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以的面積的最小值為．故選：．27．已知為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為A． B． C． D．【解答】解：由題可得拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為