高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第14講立體幾何中最值問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

13/13第14講立體幾何中最值問題一．方法綜述高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類問題，既可以考查學(xué)生的空間想象能力，又考查運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的能力。最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面。此類問題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等,題目較為綜合,解決此類問題一般可從三個(gè)方面思考：一是函數(shù)法,即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立所求的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.二．解題策略類型一空間角的最值問題【例1】（2020·浙江高三期末）如圖，四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線和所成角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．2．（2020·河南高三月考（理））如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿著對角線AC翻折，則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為()A． B． C． D．3．是圓錐的直徑，是它的一條母線，E、F是的兩個(gè)三等分點(diǎn)（E點(diǎn)靠近S點(diǎn)），C點(diǎn)在圓O上運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合），則二面角的平面角為則的最大值是_______．類型二空間距離的最值問題【例2】（2020銀川一中模擬）正方體的棱長為1,、分別在線段與上,的最小值為【舉一反三】1.（2020河南省焦作市模擬）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A． B．1 C． D．22．（2020·四川高三期末（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是（）A． B． C． D．3．（2020·山西高三月考）設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是（）A． B． C．1 D．4．如圖，三棱錐中，，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，且點(diǎn)P到直線的距離為4，則點(diǎn)P到平面距離的最小值為_________．【來源】山西省臨汾市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題類型三周長、面積與體積的最值問題【例3】已知點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，若△ABC的邊長為2，三棱錐P﹣ABC的外接球體積為4，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為___________.【來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【例4】已知為球面上四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為的“伴隨球”，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在體積為的球面上，它的兩條邊的長度分別為和，則的伴隨球的表面積的取值范圍是_____．【來源】安徽省宣城市2021屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研理科數(shù)學(xué)試題【例5】（2020·重慶南開中學(xué)高二期末）如圖所示，直平行六面體的所有棱長都為2，，過體對角線的截面S與棱和分別交于點(diǎn)E、F，給出下列命題中：①四邊形的面積最小值為；②直線EF與平面所成角的最大值為；③四棱錐的體積為定值；④點(diǎn)到截面S的距離的最小值為.其中，所有真命題的序號為（）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④【舉一反三】1．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若該三棱柱的外接球半徑是，則三棱錐體積的最大值為__________．【來源】湖北省十堰市2021屆高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題2、如圖，已知平面，、是上的兩個(gè)點(diǎn)，、在平面內(nèi)，且，，在平面上有一個(gè)動點(diǎn)，使得，則體積的最大值是（）A.B.C.D.3．（2020·河北高三期末（理））已知正六棱錐的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，則該正六棱錐體積的最大值為（）A． B．C． D．三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·內(nèi)蒙古高三）如圖,在長方體中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是底面內(nèi)(不包括邊界)一動點(diǎn),且三棱錐體積為,則的最小值是()A． B． C． D．2．（2020·北京高三）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角取最大值時(shí)，的值為A． B． C． D．3．（2020·黑龍江高三（理））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在中，,,則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．4.（2020蘭州高考診斷）四棱錐的頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為3的球面上，若正方形的邊長為4，則四棱錐的體積最大值為（）A． B． C． D．5．（2020廣東省東莞市質(zhì)檢）已知一個(gè)四棱錐的正主視圖和俯視圖如圖所示，其中，則該四棱錐的高的最大值為A． B． C．4 D．26.（2020湖南省衡陽市模擬）如圖，直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（）A． B． C． D．7．如圖，在矩形中，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使得平面平面設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為（）A.B.C.D.8．（2020·山東師范大學(xué)附中高三期中（理））如圖所示，五面體中，正的邊長為，平面，且.設(shè)與平面所成的角為，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，平面與平面所成角的正切值為（）A． B． C． D．9．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高三期末（理））棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，在底面內(nèi)運(yùn)動，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．110．（2020·河南高三期末（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點(diǎn)，P是底面所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（）A． B． C． D．11．已知正四面體的邊長為，點(diǎn)P、Q分別為線段，上的動點(diǎn)，滿足，M為線段的中點(diǎn)，則的最大值為（）A． B．2 C． D．12．如圖是一個(gè)底面半徑和高都是1的裝滿沙子的圓錐形沙漏，從計(jì)時(shí)開始，流出沙子的體積是沙面下降高度的函數(shù)，若正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【來源】陜西省寶雞市2021屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題13．如圖，在長方體中，，，若面對角線上存在一點(diǎn)，使得取得最小值，則此最小值為（）A． B． C． D．【來源】黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2021屆高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題14．在直三棱柱中，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．【來源】陜西省漢中市2021屆高三下學(xué)期第二次檢測理科數(shù)學(xué)試題15．已知一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】廣東省2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題16．在正四棱錐中，面于，，底面的邊長為，點(diǎn)分別在線段上移動，則兩點(diǎn)的最短的距離為（）A． B． C． D．17.在正四面體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，且，設(shè)異面直線與所成角為，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是__________．18．（2020陜西省西安地區(qū)陜師大附中模擬）如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為______．19．（2020江西省上饒市模擬）已知正方體的棱長為，平面與對角線垂直且與每個(gè)面均有交點(diǎn)，若截此正方體所得的截面面積為，周長為，則的最大值為______.20．（2020·浙江高三期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時(shí)，其正切值為21．（2020·湖南高考模擬（理））已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是22．如圖，一個(gè)有蓋圓柱形鐵桶的底面直徑為，高為，鐵桶蓋的最大張角為，往鐵桶內(nèi)塞入一個(gè)木球，則該木球的最大表面積為___________.【來源】陜西省榆林市2021屆高三下學(xué)期第四次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題23．已知長方體外接球的體積為，，則矩形面積的最大值為__________．【來源】山西省晉城市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題24．某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作模具，有一個(gè)模具的毛坯直觀圖如圖所示，是由一個(gè)圓柱體與兩個(gè)半球?qū)佣傻慕M合體，其中圓柱體的底面半徑為1，高為2，半球的半徑為1.現(xiàn)要在該毛坯的內(nèi)部挖出一個(gè)中空的圓柱形空間，該中空的周柱形空間的上下底面與毛坯的圓柱體底面平行，挖出中空的圓柱形空間后模具制作完成，則該模其體積的最小值為___________.【來源】河北省承德市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題25．已知直四棱柱的高為4，底面邊長均為2，且，P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，若，則的最小值為___________.【來源】浙江省臺州市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題26．正方體的棱長為，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，若，則面積的最大值為_________．27．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根完全一樣的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來．若正四棱柱的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器（容器壁的厚度忽略不計(jì)），則該球形容器表面積的最小值為_____．【來源】寧夏六盤山市高級中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題試題28．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在底面正方形ABCD內(nèi)（不包括邊界），若B1P//平面A1BM，則C1P長度的取值范圍是____．第14講立體幾何中最值問題第14講立體幾何中最值問題一．方法綜述高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類問題，既可以考查學(xué)生的空間想象能力，又考查運(yùn)用運(yùn)動變化觀點(diǎn)處理問題的能力。最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面。此類問題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等,題目較為綜合,解決此類問題一般可從三個(gè)方面思考：一是函數(shù)法,即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立所求的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.二．解題策略類型一空間角的最值問題【例1】（2020·浙江高三期末）如圖，四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角的大小在時(shí)，直線和所成角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設(shè)二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則，連AO、BO，則∠AOC＝θ，A（），∴，，設(shè)AB、CD的夾角為α，則cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值為．故選：C．【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值.【舉一反三】1．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．【答案】B【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為1，設(shè)0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設(shè)直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．故選B．2．（2020·河南高三月考（理））如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿著對角線AC翻折，則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角為，可證，設(shè)棱形的邊長為，則，，，，，，易知平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則令，，則時(shí)即在上單調(diào)遞增；時(shí)即在上單調(diào)遞減；，則，，故選：3．是圓錐的直徑，是它的一條母線，E、F是的兩個(gè)三等分點(diǎn)（E點(diǎn)靠近S點(diǎn)），C點(diǎn)在圓O上運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合），則二面角的平面角為則的最大值是_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐的高為如圖所示，二面角的平面角為，二面角的平面角為，則，設(shè),所以.所以.故答案為：類型二空間距離的最值問題【例2】（2020銀川一中模擬）正方體的棱長為1,、分別在線段與上,的最小值為【答案】1【解析】分析：方法一,該題可以結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征,將其轉(zhuǎn)化為兩異面直線的距離來求；方法二,可設(shè)出變量,構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的最值求解；方法三,建立空間直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的坐標(biāo)以及距離公式表示出目標(biāo)函數(shù),然后利用函數(shù)方法求解最值.方法一（定義轉(zhuǎn)化法）因?yàn)橹本€與是異面直線,所以當(dāng)是兩直線的共垂線段時(shí),取得最小值。取的中點(diǎn),的中點(diǎn).則線段就是兩異面直線與的共垂線段.下證明之.在矩形中,為中位線,所以,又因?yàn)槠矫?所以平面又因?yàn)槠矫?所以.同理可證,而,,所以線段就是兩異面直線與的共垂線段,且.由異面直線公垂線段的定義可得,故的最小值為1.方法二：（參數(shù)法）如圖,取的中點(diǎn),的中點(diǎn).則線段就是兩異面直線與的共垂線段.由正方體的棱長為1可得.連結(jié),則,所以為兩異面直線與所成角.在正方形中,,所以.過點(diǎn)作,垂足為,連結(jié),則,且.設(shè),,則.在中,,在中,.顯然,當(dāng)時(shí),取得最小值1,即的最小值為1.方法三：（向量法）如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),.則,即；,即.所以,故當(dāng)時(shí),取得最小值1,即的最小值為1.【點(diǎn)評】空間中兩點(diǎn)距離的最值,最基本的方法就是利用距離公式建立目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征求解最值.對于分別在兩個(gè)不同對象上的點(diǎn)之間距離的最值,可以根據(jù)這兩個(gè)元素之間的關(guān)系,借助立體幾何中相關(guān)的性質(zhì)、定理等判斷并求解相應(yīng)的最值?！九e一反三】1.（2020河南省焦作市模擬）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C1（4，4，4），設(shè)E（0，0，z），z∈[0，4]，F(xiàn)（x，0，0），x∈[0，4]，則|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因?yàn)镃1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．當(dāng)z＝2時(shí)，x取得最大值為1．|AF|的最大值為1．故選：B．2．（2020·四川高三期末（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動點(diǎn)，由正方體與球的幾何性質(zhì)可得，點(diǎn)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.故選C.3．（2020·山西高三月考）設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接，則是平面與平面的交線，是平面與平面的交線．與平行，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則有，與平面垂直，所以，與垂直，即角是平面與平面的夾角的平面角，且，與平行交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，同上有：，且有，又因?yàn)?，故，而，故，而四邊形一定是平行四邊形，故它還是菱形，即點(diǎn)一定是的中點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是點(diǎn)到直線的距離，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離：．故選：．4．如圖，三棱錐中，，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，且點(diǎn)P到直線的距離為4，則點(diǎn)P到平面距離的最小值為_________．【來源】山西省臨汾市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】【解析】由于點(diǎn)P到直線的距離為4，所以點(diǎn)P在以AB為軸底面半徑為4的圓柱的側(cè)面上，由題得側(cè)面ACD與圓柱的側(cè)面的交線為橢圓的一部分（因?yàn)閭?cè)面ACD與直線AB不垂直，所以該側(cè)面所在的平面與圓柱的交線一定為橢圓），所以點(diǎn)P的軌跡為側(cè)面PCD與圓柱的橢圓交線的一部分，如圖，取CD的中點(diǎn)為M，連接AM,BM,由，得,所以CD平面ABM,CD關(guān)于平面ABM對稱.連接AP并延長AP交CD于N,連接BN,過點(diǎn)N作,過點(diǎn)P作PFAB,由題得,所以,所以,所以,(此時(shí)點(diǎn)P在線段AM上,)所以.所以最大值為，PN最小，（此時(shí)點(diǎn)N和點(diǎn)M重合）.由對稱性得點(diǎn)P到平面BCD的距離最小，所以距離的最小值為.故答案為：類型三周長、面積與體積的最值問題【例3】已知點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，若△ABC的邊長為2，三棱錐P﹣ABC的外接球體積為4，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為___________.【來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】如圖，點(diǎn)P在過直線PC與平面ABC垂直的球的小圓面的圓周上，當(dāng)點(diǎn)P在平面ABC的射影為BC中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P﹣ABC體積最大，設(shè)等邊三角形ABC的中心為O1，三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，球O的體積為4，∴外接球的半徑r=，∵△ABC的邊長為2，點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影恰好在邊BC上，設(shè)為D，過O作OE⊥PD，垂足為E，垂足為E，依題意可得，，∴PE=，，又，PD=，所以三棱錐P﹣ABC體積的最大值為，∴三棱錐P﹣ABC體積的最大值為.故答案為：．【例4】已知為球面上四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，以為直徑的球稱為的“伴隨球”，若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在體積為的球面上，它的兩條邊的長度分別為和，則的伴隨球的表面積的取值范圍是_____．【來源】安徽省宣城市2021屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研理科數(shù)學(xué)試題【答案】．【解析】由題意可知，球的半徑為，分別取球的兩條弦的中點(diǎn)，則，即弦分別是以為球心，半徑為1和2的球的切線，且弦在以為球心，半徑為1的球的外部，的最大距離為，最小距離為．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，分別取最大值與最小值．故的伴隨球半徑分別為，半徑為時(shí)，的伴隨球的表面積為，當(dāng)半徑為時(shí)，的伴隨球的表面積為．∴的伴隨球的表面積的取值范圍是．故答案為：．【例5】（2020·重慶南開中學(xué)高二期末）如圖所示，直平行六面體的所有棱長都為2，，過體對角線的截面S與棱和分別交于點(diǎn)E、F，給出下列命題中：①四邊形的面積最小值為；②直線EF與平面所成角的最大值為；③四棱錐的體積為定值；④點(diǎn)到截面S的距離的最小值為.其中，所有真命題的序號為（）A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】【分析】①分析可得當(dāng)為為棱的中點(diǎn)時(shí),四邊形的面積最小,求解即可；②過點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),轉(zhuǎn)化直線EF與平面所成角最大為直線與直線的夾角最小,進(jìn)而求解即可；③轉(zhuǎn)化四棱錐的體積為以平面和平面為底的三棱錐的體積的和,進(jìn)而求證即可；④分析可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)四邊形的面積最大,此時(shí)點(diǎn)到截面S的距離的最小,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,因?yàn)檫^體對角線,則由對稱性易得四邊形是平行四邊形,連接,,且交于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,垂足為,則若四邊形面積最小,即最小,即為棱到平面的距離,即為長,因?yàn)?則,所以,則,又,所以,此時(shí)為棱的中點(diǎn),故①正確；過點(diǎn)的平面的垂線交平面于點(diǎn),則即為點(diǎn)到平面的距離,根據(jù)底面菱形的性質(zhì),可得,若直線EF與平面所成角最大,則直線與直線的夾角最小,即最小,此時(shí)最大,即最小,即時(shí),故,則,則直線EF與平面所成角最大為,故②錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)到平面,平面的距離分別為,即從點(diǎn)分別向作垂線即可,由菱形可得,,為定值,故③正確；因?yàn)樗睦忮F的體積為定值,所以若點(diǎn)到截面S的距離的最小,則截面的面積最大,即四邊形面積最大,即最大,則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)符合條件,此時(shí)在中,,,則,則,所以,此時(shí),設(shè)點(diǎn)到截面S的距離為,則,所以,故④正確綜上,①③④正確,故選：B【舉一反三】1．在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若該三棱柱的外接球半徑是，則三棱錐體積的最大值為__________．【來源】湖北省十堰市2021屆高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)試題【答案】【解析】如圖，由題意可知三棱柱的外接球的直徑為，則，即，從而．三棱錐的體積為．設(shè)，則．由，得；由，得．故．故答案為：2、如圖，已知平面，、是上的兩個(gè)點(diǎn)，、在平面內(nèi)，且，，在平面上有一個(gè)動點(diǎn)，使得，則體積的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】.和均為直角三角形．∽..學(xué)科&網(wǎng)過作,垂足為.則.令,.則,即,.底面四邊形為直角梯形面積為.學(xué)科&網(wǎng).故C正確.3．（2020·河北高三期末（理））已知正六棱錐的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，則該正六棱錐體積的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先過作平面，取為球心，設(shè)，.然后計(jì)算出正六棱錐的體積.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出設(shè)最大值即可得到正六棱錐體積的最大值.【詳解】過作平面，取為球心，設(shè)，.在中有，即.正六棱錐的體積.設(shè).由得.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)取得最大值.所以正六棱錐體積的最大值為.故選：三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·內(nèi)蒙古高三）如圖,在長方體中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是底面內(nèi)(不包括邊界)一動點(diǎn),且三棱錐體積為,則的最小值是()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槿忮F的體積,所以.設(shè)點(diǎn)到的距離為,則,解得,所以點(diǎn)在底面內(nèi)(不包括邊界)與平行,且距離為的線段上,要使最小,則點(diǎn)是過作的垂線與線段的交點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為,此時(shí).故選：2．（2020·北京高三）三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角取最大值時(shí)，的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以AB，AC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則0，，，平面ABC的一個(gè)法向量為0，設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)角最大．故選A．3．（2020·黑龍江高三（理））設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，在中，,,則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】中，,，則，當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)故選：4.（2020蘭州高考診斷）四棱錐的頂點(diǎn)均在一個(gè)半徑為3的球面上，若正方形的邊長為4，則四棱錐的體積最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正方形的中心為，當(dāng)在于球心的連線上時(shí)，四棱錐高最高，由于底面面積固定，則高最高時(shí)，四棱錐體積取得最大值.設(shè)高為，，球的半徑為，故，解得.故四棱錐的體積的最大值為.故選D.5．（2020廣東省東莞市質(zhì)檢）已知一個(gè)四棱錐的正主視圖和俯視圖如圖所示，其中，則該四棱錐的高的最大值為A． B． C．4 D．2【答案】A【解析】如圖所示，由題意知，平面平面ABCD，設(shè)點(diǎn)P到AD的距離為x，當(dāng)x最大時(shí)，四棱錐的高最大，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)橢圓，由橢圓的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，x取得最大值，即該四棱錐的高的最大值為．故選：A．6.（2020湖南省衡陽市模擬）如圖，直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，，，分別為，，的中點(diǎn)，作面，作面，連，，易知點(diǎn)即為四面體的外接球心，，，.設(shè)，，則，，，.【處理一】消元化為二次函數(shù)..【處理二】柯西不等式..所以.7．如圖，在矩形中，,點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)現(xiàn)將沿折起，使得平面平面設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如圖：在矩形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)設(shè)，8．（2020·山東師范大學(xué)附中高三期中（理））如圖所示，五面體中，正的邊長為，平面，且.設(shè)與平面所成的角為，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，平面與平面所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，取的中點(diǎn)，則，則平面的一個(gè)法向量為，由題意，又由，所以，解得，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，取，由平面的法向量為，設(shè)平面和平面所成的角為，則，所以，所以，故選C.9．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高三期末（理））棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，在底面內(nèi)運(yùn)動，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【解析】設(shè)，所以，，所以PD=2PC.在底面ABCD內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x,y),則，整理得，所以，即,所以|AP|的最小值為2.10．（2020·河南高三期末（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點(diǎn)，P是底面所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建系如圖，正方體的邊長為3，則，0，，，0，，設(shè)，，，，則，，，，，，，，0，，，即，代入數(shù)據(jù)，得：，整理得：，變形，得：，即動點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為三棱錐的高點(diǎn)到直線的距離的最大值是2．則．，故選：．11．已知正四面體的邊長為，點(diǎn)P、Q分別為線段，上的動點(diǎn)，滿足，M為線段的中點(diǎn)，則的最大值為（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】如圖：設(shè)，，，，，，所以所以，所以，因?yàn)?，所以令，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以的最大值?故選：A12．如圖是一個(gè)底面半徑和高都是1的裝滿沙子的圓錐形沙漏，從計(jì)時(shí)開始，流出沙子的體積是沙面下降高度的函數(shù)，若正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【來源】陜西省寶雞市2021屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】由題意得：，圓錐的體積，剩余沙子仍成圓錐，高為，半徑與母線構(gòu)成的三角形與底面半徑和母線構(gòu)成的三角形相似，設(shè)沙的圓錐的底面半徑為，所以，∴，∴沙的體積，所以流出的沙的體積，∴，∴，，∴，對稱軸是，故的最大值是.故選：C13．如圖，在長方體中，，，若面對角線上存在一點(diǎn)，使得取得最小值，則此最小值為（）A． B． C． D．【來源】黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2021屆高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題【答案】D【解析】將長方體對角面繞旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面內(nèi)，如下圖所示：則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又，，，，，在中，由余弦定理得：，，即的最小值為.故選：D.14．在直三棱柱中，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積是（）A． B． C． D．【來源】陜西省漢中市2021屆高三下學(xué)期第二次檢測理科數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】由題意，球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，∵底面三角形的邊長分別為6、8、10，∴底面三角形為直角三角形，，又∵，，∴該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為2，此時(shí).故選：B.15．已知一個(gè)圓柱的兩個(gè)底面的圓周在半徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】廣東省2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】設(shè)圓柱底面圓半徑為，高為，則，，，圓柱體積，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，.故選：A.16．在正四棱錐中，面于，，底面的邊長為，點(diǎn)分別在線段上移動，則兩點(diǎn)的最短的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上移動，則當(dāng)為公垂線段時(shí)，兩點(diǎn)的距離最??；四棱錐為正四棱錐，平面，為正方形的中心，，又，，平面，過作，垂足為，平面，，為的公垂線，又，兩點(diǎn)的最短的距離為.故選：B.17.在正四面體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，且，設(shè)異面直線與所成角為，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)P到平面ABC的射影為點(diǎn)O,取BC中點(diǎn)D,以O(shè)為原點(diǎn)，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正四面體P?ABC的棱長為，則，由,得，∴，∵異面直線NM與AC所成角為α,，∴，設(shè)，則∴，∵，∴.∴cosα的取值范圍是.18．（2020陜西省西安地區(qū)陜師大附中模擬）如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為______．【答案】4【解析】設(shè)正四棱柱的高為h，底面棱長為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的體積為，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則．因此，該正四棱柱的體積的最大值為4．19．（2020江西省上饒市模擬）已知正方體的棱長為，平面與對角線垂直且與每個(gè)面均有交點(diǎn)，若截此正方體所得的截面面積為，周長為，則的最大值為______.【答案】【解析】因?yàn)槠矫媾c對角線垂直，所以平面與對角面平行，作出圖象，為六邊形,設(shè)則,所以，由對稱性得平面過對角線中點(diǎn)時(shí)截面面積取最大值為，則的最大值為.20．（2020·浙江高三期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為AB的中點(diǎn)，將△ADM沿DM翻折．在翻折過程中，當(dāng)二面角A—BC—D的平面角最大時(shí)，其正切值為【答案】【解析】

取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈妊切?，故，同理，，所以有平面．因?yàn)槠矫?，故平面平面．在四棱錐中過點(diǎn)作的垂線，垂足為，再過作的垂線，垂足為，連接．因?yàn)?，平面，平面平面，故平面．因?yàn)槠矫妫?，又，，故平面，又平面，故，所以為二面角的平面角．設(shè)，則，，，所以，其中．令，則，令且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故．21．（2020·湖南高考模擬（理））已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，，則該三棱錐體積的最大值是【答案】【解析】設(shè)，則，外接圓直徑為，如圖，體積最大值為，設(shè)，則，，令，得，在上遞增，在上遞減，，即該三棱錐體積的最大值是；22．如圖，一個(gè)有蓋圓柱形鐵桶的底面直徑為，高為，鐵桶蓋的最大張角為，往鐵桶內(nèi)塞入一個(gè)木球，則該木球的最大表面積為___________.【來源】陜西省榆林市2021屆高三下學(xué)期第四次模擬考試文科