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上海市交大嘉定2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是()A. B.C. D.2.若,則()A.1 B.2C.4 D.83.設(shè),隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,隨機(jī)變量Y滿足,則當(dāng)a在上增大時(shí),關(guān)于的表述下列正確的是()X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大4.已知向量與平行,則()A. B.C. D.5.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時(shí),n的最大值是()A.8 B.9C.10 D.116.小王與小張二人參加某射擊比賽預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭?,設(shè)小王與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和,則()第一次第二次第三次第四次第五次小王得分(環(huán))910579小張得分(環(huán))67557A. B.C. D.7.是雙曲線:上一點(diǎn),已知,則的值()A. B.C.或 D.8.已知橢圓C:()的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4,焦距為2,則C的方程為()A B.C. D.9.設(shè)變量,滿足約束條件則的最小值為()A.3 B.-3C.2 D.-210.拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為,則()A.1 B.2C. D.411.已知曲線的方程為,則下列說(shuō)法正確的是()①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱;②曲線是一個(gè)橢圓;③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③12.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),為雙曲線右支上一點(diǎn),滿足,直線與圓有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.14.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),以F為圓心的圓交線段AB于C,D兩點(diǎn)(從上到下依次為A,C,D,B),若,則該圓的半徑r的取值范圍是____________.15.設(shè)、為正數(shù),若,則的最小值是______,此時(shí)______.16.拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.18.(12分)2017年廈門(mén)金磚會(huì)晤期間產(chǎn)生碳排放3095噸.2018年起廈門(mén)市政府在下潭尾濕地生態(tài)公園通過(guò)種植紅樹(shù)林的方式中和會(huì)晤期間產(chǎn)生的碳排放,擬用20年時(shí)間將碳排放全部吸收,實(shí)現(xiàn)“零碳排放”目標(biāo),向世界傳遞低碳,環(huán)保辦會(huì)的積極信號(hào),踐行金磚國(guó)家倡導(dǎo)的可持續(xù)發(fā)展精神據(jù)研究估算,紅樹(shù)林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%,2018年公園已有的紅樹(shù)林年碳吸收量為130噸,如果從2019年起每年新種植紅樹(shù)林若干畝,新種植的紅樹(shù)林當(dāng)年的年碳吸收量為m()噸.2018年起,紅樹(shù)林的年碳吸收量依次記,,,…(1)①寫(xiě)出一個(gè)遞推公式,表示與之間的關(guān)系;②證明:是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)為了提前5年實(shí)現(xiàn)廈門(mén)會(huì)晤“零碳排放”的目標(biāo),m的最小值為多少?參考數(shù)據(jù):,,19.(12分)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且.(1)分別求直線,的方程;(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為,求外接圓的方程.20.(12分)已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),(1)求的解析式;(2)若在上恒成立,求的取值范圍21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線C的焦點(diǎn)為、,實(shí)軸長(zhǎng)為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),且Q恰好為線段的中點(diǎn),求直線l的方程.22.(10分)如圖,已知圓臺(tái)下底面圓的直徑為,是圓上異于、的點(diǎn),是圓臺(tái)上底面圓上的點(diǎn),且平面平面,,,、分別是、的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若直線上平面且過(guò)點(diǎn),試問(wèn)直線上是否存在點(diǎn),使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等?若存在,求出點(diǎn)的所有可能位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證即可.【詳解】,故A錯(cuò)誤;,故B正確;,故C錯(cuò)誤;,故D錯(cuò)誤.故選:B2、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得,再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意,所以,所以.故選:D.3、A【解析】先求得參數(shù)b,再去依次去求、、,即可判斷出的單調(diào)性.【詳解】由得則,由得a在上增大時(shí),增大.故選:A4、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值,即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知,解得,,則.故選:D.5、B【解析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式,然后利用分組求和求出,再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列所以由得:當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以n的最大值是.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出,再通過(guò)賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.6、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績(jī)和成績(jī)波動(dòng)情況.【詳解】解:從圖表中可以看出小王每次的成績(jī)均不低于小張,但是小王成績(jī)波動(dòng)比較大,故設(shè)小王與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和.可知故選:C7、B【解析】根據(jù)雙曲線定義,結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍,即可求解.【詳解】雙曲線方程為:,是雙曲線:上一點(diǎn),,,或,又,.故選:B8、D【解析】由題設(shè)可得求出橢圓參數(shù),即可得方程.【詳解】由題設(shè),知:,可得,則,∴C的方程為.故選:D.9、D【解析】轉(zhuǎn)化為,則最小即直線在軸上的截距最大,作出不等式組表示的可行域,數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為,則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,作出直線,平移該直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),在軸上的截距最大,最小,此時(shí),故選:D10、B【解析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,其到直線的距離:,解得:(舍去).故選:B.11、D【解析】對(duì)于①在方程中換為,換為可判斷;對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷;對(duì)于③在第一象限內(nèi),分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中,換為,換為,方程不變,故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí),曲線的方程化為,此時(shí)當(dāng)時(shí),曲線的方程化為,此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的,不是橢圓,故②不正確.當(dāng),時(shí),設(shè),設(shè),則,(當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立)所以在第一象限內(nèi),橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部(四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上)所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積,故③正確.故選:D12、B【解析】利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有,共種,其中和為偶數(shù)的有共種,所以所求的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于,利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得,由已知可得,可得出關(guān)于、的齊次不等式,結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于,過(guò)點(diǎn)作于,因?yàn)椋?,又因?yàn)椋?,故,又因?yàn)椋?,所以,因此,所以,又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn),所以,故,即,則,所以,又因?yàn)殡p曲線的離心率,所以.故答案為:.14、【解析】設(shè)出直線的方程為,代入拋物線方程,消去,可得關(guān)于的二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線的定義,化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.【詳解】拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為,可知,,設(shè),直線的方程為,則,代入拋物線方程,可得,即有,,,,即,所以.故答案為:15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標(biāo)式子的結(jié)果,借助均值不等式求最值即可.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)等號(hào)成立.故答案為,【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用“1”的代換法和基本不等式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題16、【解析】本題利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出拋物線的準(zhǔn)線方程【詳解】由拋物線方程可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為:故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的相關(guān)性質(zhì),主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查拋物線的準(zhǔn)線的確定,是基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題干條件,可求得,代入公式,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,利用裂項(xiàng)相消求和法,即可求得,即可得證.【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,在中,令,得,即,故①.由得,所以②.由①②解得,.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.(2)由(1)可得,所以,故,所以.因?yàn)?,所?【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常見(jiàn)方法:(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用倒序相加法;(2)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以用錯(cuò)位相減法來(lái)求;(3)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí),中間的一些項(xiàng)可相互抵消,從而求得其和;(4)分組轉(zhuǎn)化法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減;(5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和,形如類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.18、(1)①;②證明見(jiàn)解析,(2)最少為6.56噸【解析】(1)①根據(jù)題意直接寫(xiě)出一個(gè)遞推公式即可;②要證明是等比數(shù)列,只要證明為一個(gè)常數(shù)即可,求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求出的通項(xiàng)公式;(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)題意求出,利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,再令,解之即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解:①依題意得,則,②因?yàn)椋?,所以,因?yàn)樗詳?shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)是,公比是1.02,所以,所以;【小問(wèn)2詳解】解:記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,,依題,所以,所以m最少為6.56噸19、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)式即可求出直線l1的方程,根據(jù)直線垂直的關(guān)系即可求l2的方程;(2)先求出C點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)三角形的長(zhǎng)度關(guān)系知道三角形是以AC為斜邊長(zhǎng)的直角三角形,故AC的中點(diǎn)即為外心,AC即為直徑.解析:(1)∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),,∴,設(shè)直線的方程為,∴,∴.(2),即:,∴,的中點(diǎn)為,∴的外接圓的圓心為,半徑為,∴外接圓的方程為:.點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查的是已知兩直線位置關(guān)系求參的問(wèn)題,還考查了三角形外接圓的問(wèn)題.對(duì)于三角形為外接圓,圓心就是各個(gè)邊的中垂線的交點(diǎn),鈍角三角形外心在三角形外側(cè),銳角三角形圓心在三角形內(nèi)部,直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)20、(1),(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式;(2)將恒成立轉(zhuǎn)化為令,恒成立,討論二次函數(shù)系數(shù),結(jié)合根的分布.【詳解】解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),則所以當(dāng)時(shí)所以(2)因?yàn)闀r(shí),在上恒成立等價(jià)于即在上恒成立令,則①當(dāng)時(shí),不恒成立,故舍去②當(dāng)時(shí)必有,此時(shí)對(duì)稱軸若即或時(shí),恒成立因?yàn)?,所以若即時(shí),要使恒成立則有與矛盾,故舍去綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問(wèn)題及解題方法(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解;(2)求解析式:先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組),從而得到的解析式;(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值:利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值;(4)畫(huà)函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性:利用奇偶性可畫(huà)出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.21、(1)(2).【解析】(1)根據(jù)條件,結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí),不符合題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立雙曲線,變形后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率,即可求得直線方程.【詳解】(1)根據(jù)題意,焦點(diǎn)在軸上,且,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:.(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),且Q恰好為線段的中點(diǎn),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為,則由雙曲線對(duì)稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上,所以不滿足題意;當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,設(shè),則,化簡(jiǎn)可得,因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn),所以化簡(jiǎn)可得恒成立,所以,因?yàn)榍『脼榫€段的中點(diǎn),則,化簡(jiǎn)可得,所以直線方程為,即.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線定義求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與雙曲線的位置關(guān)系,由中點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程,屬于中檔題.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】(1)證明出,利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,過(guò)垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,易
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