概率論全書復(fù)習(xí)

一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題第一章概率論的基本概念一、重點與難點1.重點隨機事件的概念古典概型的概率計算方法概率的加法公式條件概率和乘法公式的應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用2.難點古典概型的概率計算全概率公式的應(yīng)用二、主要內(nèi)容隨機現(xiàn)象隨機試驗事件的獨立性隨機事件基本事件必然事件對立事件概率古典概型幾何概率乘法定理事件的關(guān)系和運算全概率公式與貝葉斯公式性質(zhì)定義條件概率不可能事件復(fù)合事件

在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象隨機試驗隨機事件事件的關(guān)系和運算(1)

包含關(guān)系

(2)

A等于BA=B(3)

事件A與B的并(和事件)(5)

事件A與B互不相容

(互斥)(4)

事件A與B的交(積事件)AB(6)

事件A與B的差

A-B(7)

事件A的對立事件說明對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA，B對立A，B互斥互斥對立事件運算的性質(zhì)概率的定義概率的可列可加性概率的有限可加性概率的性質(zhì)3個事件和的情況定義設(shè)試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成,A為E的任意一個事件,且包含m個樣本點,則事件A出現(xiàn)的概率記為:等可能概型(古典概型)條件概率同理可得為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.(1)

條件概率的定義(2)

條件概率的性質(zhì)乘法定理樣本空間的劃分全概率公式與貝葉斯公式全概率公式說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.貝葉斯公式稱此為貝葉斯公式.

事件A與B相互獨立是指事件A的概率與事件B是否出現(xiàn)無關(guān).說明

事件的相互獨立性(1)兩事件相互獨立(2)三事件兩兩相互獨立注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立(3)三事件相互獨立n個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立重要定理及結(jié)論兩個結(jié)論三、典型例題例1解說明

一個事件往往有多個等價的表達方式.[思路]

引進事件

例2解由題意知

由加法公式得[思路]

由于抽到的表與來自哪個地區(qū)有關(guān),故此題要用全概率公式來討論.例3解又因為一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題第二章隨機變量及其分布一、重點與難點1.重點(0-1)分布、二項分布和泊松分布的分布律正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的分布函數(shù)、密度函數(shù)及有關(guān)區(qū)間概率的計算2.難點連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的求法二、主要內(nèi)容隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)分布律密度函數(shù)均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布兩點分布二項分布泊松分布隨機變量的函數(shù)的分布定義隨機變量的分類離散型隨機變量連續(xù)型非離散型其它(2)說明隨機變量的分布函數(shù)(1)定義分布函數(shù)主要研究隨機變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).(3)性質(zhì)離散型隨機變量的分布函數(shù)(4)重要公式離散型隨機變量的分布律連續(xù)型隨機變量的概率密度(1)定義(2)性質(zhì)若X是連續(xù)型隨機變量，{X=a}是不可能事件,則有若X為離散型隨機變量連續(xù)型離散型(3)注意設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.兩點分布稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布二項分布泊松分布均勻分布(1)定義(2)分布函數(shù)分布函數(shù)指數(shù)分布正態(tài)分布(或高斯分布)(1)定義(2)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為(3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形(4)重要公式(2)連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布定理[思路]

首先根據(jù)概率分布的性質(zhì)求出常數(shù)a的值,然后確定概率分布律的具體形式,最后再計算條件概率.

利用概率分布律的性質(zhì)解三、典型例題例1因此X的分布律為從而[思路]

首先利用分布函數(shù)的性質(zhì)求出常數(shù)a,b,再用已確定的分布函數(shù)來求分布律.解例2從而X的分布律為解例3

所以X的分布函數(shù)為第三章隨機向量一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點與難點1.重點二維隨機變量的分布有關(guān)概率的計算和隨機變量的獨立性2.難點條件概率分布隨機變量函數(shù)的分布定義聯(lián)合分布函數(shù)

聯(lián)合分布律

聯(lián)合概率密度邊緣分布條件分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的相互獨立性定義性質(zhì)二維隨機變量推廣二、主要內(nèi)容(1)

定義

二維隨機變量的分布函數(shù)且有(2)

性質(zhì)

(3)

n維隨機變量的概念二維隨機變量(X,Y)的分布律也可表示為:二維離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量(X,Y)

的分布函數(shù)為二維連續(xù)型隨機變量的概率密度(1)

定義

(2)

性質(zhì)

表示介于f(x,y)和xOy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1.(3)

說明

(4)兩個常用的分布設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,其面積為S,若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.若二維隨機變量(X,Y)具有概率密度二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布.邊緣分布函數(shù)為隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).離散型隨機變量的邊緣分布隨機變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為聯(lián)合分布邊緣分布連續(xù)型隨機變量的邊緣分布同理得Y的邊緣概率密度隨機變量的相互獨立性說明(1)若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為隨機變量函數(shù)的分布(1)離散型隨機變量函數(shù)的分布當(dāng)X,Y獨立時,(2)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布當(dāng)X,Y獨立時,則有三、典型例題例1解例2解從而有故得從而有:

因此小結(jié)2.若離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為6.離散型隨機變量函數(shù)的分布律一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題第四章隨機變量的數(shù)字特征一、重點與難點1.重點數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)和計算2.難點數(shù)字特征的計算方差的性質(zhì)和計算相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)和計算二、主要內(nèi)容數(shù)學(xué)期望方差離散型連續(xù)型性質(zhì)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義計算性質(zhì)隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為則有則有數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望同理可得則則方差的定義方差的計算離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X

是一個隨機變量,C是常數(shù),則有協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)定理三、典型例題解例1

某銀行開展定期定額有獎儲蓄,定期一年,定額60元,按規(guī)定10000個戶頭中,頭等獎一個,獎金500元;二等獎10個,各獎100元;三等獎100個,各獎10元;四等獎1000個,各獎2元.某人買了五個戶頭,他期望得獎多少元?解因為任何一個戶頭獲獎都是等可能的,分布列為例2買五個戶頭的期望得獎金額為解例3解例4解例5二、主要內(nèi)容三、典型