第4章因式分解（學(xué)生版）

第4章因式分解知識點01：因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.知識點02：提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律.知識點03：公式法1.平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：2.完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.易錯指導(dǎo)：（1）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.知識點04：十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.知識點05：因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．（4）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?容城縣校級一模）小李在計算20232023﹣20232021時，發(fā)現(xiàn)其計算結(jié)果能被三個連續(xù)整數(shù)整除，則這三個整數(shù)是（）A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，20222．（2分）（2023春?羅湖區(qū)校級期中）已知a+b＝1，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣1503．（2分）（2022秋?如東縣期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣1504．（2分）（2023春?沈陽期中）對于算式20183﹣2018，下列說法錯誤的是（）A．能被2016整除 B．能被2017整除 C．能被2018整除 D．能被2019整除5．（2分）（2022春?順德區(qū)校級期中）已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a2﹣b2+ac﹣bc＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形6．（2分）（2022?濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x7．（2分）（2022春?高新區(qū)校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣58．（2分）（2023春?歷下區(qū)期中）2n﹣1可以被10和20之間的某個數(shù)整除，則這個數(shù)可以是（）A．16 B．17 C．18 D．199．（2分）（2022秋?泰山區(qū)期末）將下列多項式因式分解，結(jié)果中不含因式x﹣1的是（）A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+110．（2分）（2023春?重慶期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，則ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?東平縣二模）如圖，長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為．12．（2分）（2023春?武侯區(qū)校級期中）在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，有一種用“因式分解法”生產(chǎn)密碼的方法：將一個多項式因式分解．如：將多項式x3﹣x分解結(jié)果為x（x+1）（x﹣1）．當(dāng)x＝20時，x﹣1＝19，x+1＝21，此時可得到數(shù)字密碼201921，或者是192021．將多項式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用題目中所示的方法，當(dāng)x＝10時可以得到密碼101213，則m＝，n＝．13．（2分）（2023?縉云縣一模）分解因式：x2﹣4x＝．14．（2分）（2023?五華區(qū)校級模擬）分解因式：x2﹣6x+9＝．15．（2分）（2023春?雙流區(qū)期中）已知：△ABC的三分別邊為a、b、c；且滿足a2+2b2+c2＝2b（a+c），則△ABC的形狀．16．（2分）（2022春?運城月考）已知a﹣b＝﹣2，ab＝7，則代數(shù)式a3b﹣2a2b2+ab3的值為．17．（2分）（2023春?璧山區(qū)校級期中）若一個四位正整數(shù)滿足：a+c＝b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是；若一個“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是16，且十位數(shù)字與個位數(shù)的和能被4整除．則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為．18．（2分）（2023?合川區(qū)校級模擬）若一個四位正整數(shù)滿足：a+c＝b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，則最小的“交替數(shù)”是；若一個“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15，且十位數(shù)字與個位數(shù)的和能被5整除．則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為．19．（2分）（2022春?皇姑區(qū)校級月考）若xy＝2，y﹣x＝1，則代數(shù)式2x2y﹣2xy2的值為．20．（2分）（2021春?靖遠縣期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則x3y+x2y2+xy3＝．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023春?龍泉驛區(qū)期中）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力．因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式x3﹣9x+8．解：添加兩項﹣x2+x2．原式＝x3﹣x2+x2﹣9x+8＝x3﹣x2+x2﹣x﹣8x+8＝x2（x﹣1）+x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：（1）分解因式：x3+9x﹣10；（2）分解因式：x3﹣2x2﹣5x+6；（3）分解因式：x4+5x3+x2﹣20x﹣20．22．（8分）（2023春?龍崗區(qū)校級期中）我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）②拆項法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分組分解法4x2+4x﹣y2+1；②用拆項法x4﹣3x2+1；（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周長．23．（8分）（2022春?郫都區(qū)校級月考）我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運算．在分解因式的練習(xí)中我們也會遇到下面的問題，請你根據(jù)情況解答：（1）已知a，b，c是△ABC的三邊且滿足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判斷△ABC的形狀；（2）兩位同學(xué)將一個二次三項式分解因式時，其中一位同學(xué)因看錯了一次項系數(shù)而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同學(xué)因看錯了常數(shù)項而分解成3（x+2）（x﹣3）．請你求出原來的多項式并將原式分解因式．24．（8分）（2022春?市中區(qū)校級期中）【數(shù)學(xué)實驗探索活動】實驗材料現(xiàn)有若干塊如圖①所示的正方形和長方形硬紙片．實驗?zāi)康模河萌舾蓧K這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑．例如，選取正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖②的長方形，計算它的面積寫出相應(yīng)的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索問題：（1）小明想用拼圖的方法解釋多項式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要兩種正方形紙片張，長方形紙片張；（2）選取正方形、長方形硬紙片共8塊可以拼出一個如圖③的長方形，計算圖③的面積，并寫出相應(yīng)的等式；（3）試借助拼圖的方法，把二次三項式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方框內(nèi)．25．（8分）（2023春?市北區(qū)校級期中）計算：（1）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2；（2）因式分解：（x+1）（x﹣3）+4；解不等式組并寫出它的整數(shù)解；解關(guān)于x的不等式并將解集用數(shù)軸表示出來．26．（10分）（2023春?義烏市校級期中）用幾個小的長方形、正方形拼成一個大的正方形，然后利用兩種不同的方法計算這個大的正方形的面積，可以得到一個等式．例如：計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是（a+b）2；如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）如圖2，由幾個面積不等的小正方形和幾個小長方形拼成一個邊長為（a+b+c）的正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？該結(jié)論用等式表示為；（2）利用（1）中的結(jié)論解決以下問題：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值；（3）如圖3，由正方形ABCD邊長為a，正方形CEFG邊長為b，點D，G，C在同一直線上，連接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求圖3中陰影部分的面積．27．（10分）（2023春?即墨區(qū)期中）