第22課弧長(zhǎng)及扇形面積

第22課弧長(zhǎng)及扇形面積3.9課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練級(jí)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一、單選題1．用一個(gè)圓心角為，半徑為6的扇形做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】易得扇形的弧長(zhǎng)，除以2π即為圓錐的底面半徑，從而可以計(jì)算面積．【解析】解：扇形的弧長(zhǎng)=，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．∴面積為：4π，故選：D．【點(diǎn)睛】考查了扇形的弧長(zhǎng)公式；圓的周長(zhǎng)公式；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)．2．如圖，圓錐的高，底面圓的半徑，則圓錐的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算圓的底面周長(zhǎng)、利用勾股定理解得圓錐母線的長(zhǎng)，最后由全面積=底面圓的面積+圓錐側(cè)面面積即可解題．【解析】∵底面圓的半徑為，∴底面圓的周長(zhǎng)，又∵圓錐的高為，∴圓錐的母線長(zhǎng)為，∴側(cè)面面積，底面積為，∴全面積為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的母線、側(cè)面積、全面積、勾股定理等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．已知一個(gè)圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為1∶5，圓錐的全面積為，則（

）A．該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為36° B．該圓錐的底面半徑為C．該圓錐的高為 D．該圓錐的側(cè)面積為【答案】C【分析】設(shè)底面半徑為r，則母線長(zhǎng)為5r，根據(jù)全面積為198π得到方程求出r，據(jù)此計(jì)算相關(guān)量，再逐步判斷．【解析】解：∵圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為1∶5，設(shè)底面半徑為r，則母線長(zhǎng)為5r，∴底面周長(zhǎng)為2πr，底面積為πr2，∴側(cè)面積為2πr×5r=5πr2，∵全面積為，∴πr2+5πr2=198π，解得：r=，即底面半徑為，∴圓錐的高為：=，∵底面周長(zhǎng)即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)為：，∴側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為：n=72°，側(cè)面積為=5πr2=165π，∴只有C正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．4．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則由圖中陰影圖形圍成的圓錐的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)求出底面半徑的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出圓錐的高．【解析】解：陰影部分圓心角度數(shù)為，設(shè)圖中陰影圖形圍成的圓錐的底面半徑為r，則有，解得r=，圓錐的高為，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是確定圓錐和側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系．5．如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圓的半徑＝5米，根據(jù)勾股定理求出母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面面積公式，以及利用矩形的面積公式求得圓柱的側(cè)面面積，最后求和．【解析】解：∵底面半徑=5米，圓錐高為2米，圓柱高為3米，∴圓錐的母線長(zhǎng)=米，∴圓錐的側(cè)面積=，圓柱的側(cè)面積=底面圓周長(zhǎng)×圓柱高，即，故需要的毛氈：米，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，圓周長(zhǎng)公式，圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積等，分別得出圓錐與圓柱側(cè)面積是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，．將繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先在中利用的余弦計(jì)算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【解析】解：在中，，，，，繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，，弧的長(zhǎng)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，公園內(nèi)有一個(gè)半徑為18米的圓形草坪，從地走到地有觀賞路（劣?。┖捅忝衤罚ň€段）.已知、是圓上的點(diǎn)，為圓心，，小強(qiáng)從走到，走便民路比走觀賞路少走（

）米.A． B．C． D．【答案】D【分析】作OC⊥AB于C，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠A，從而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出的長(zhǎng)，最后求它們的差即可．【解析】解：作OC⊥AB于C，如圖，則AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走觀賞路少走米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．8．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為，∠CDF=15°，則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】解：連接AD，連接OE，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，過(guò)O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S陰影=S扇形AOES△AOE=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．9．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．【解析】如圖，連接,，邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)接于，即，，，為的直徑，，，分別與相切于點(diǎn)和點(diǎn)，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，是的平分線，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的圓的圓心恰好落在上，分別與、相交于點(diǎn)、．若圓半徑為2．則陰影部分面積（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OD，OF．首先證明OD∥AC，推出S陰＝S扇形OFA，再證明△AOF是等邊三角形即可解決問(wèn)題．【解析】解：連接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S陰＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴S陰＝S扇形OFA＝.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．二、填空題11．已知圓錐的母線長(zhǎng)是9cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°，則圓錐的高為_(kāi)____cm．【答案】6【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為，所以側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，然后利用扇形的面積公式即可得到關(guān)于的方程，解方程即可求得圓錐底面圓的半徑，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可．【解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為，那么圓錐底面圓周長(zhǎng)為，所以側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，，解得：，圓錐的高為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)和圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．12．如圖，在半徑為3的⊙O中，A、B、C都是圓上的點(diǎn)，∠ABC=60°，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】2π【分析】連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解析】解：連接OA，OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．∴的長(zhǎng)=故答案為：2π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算及圓周角定理，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算方法及圓周角定理進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．13．中，，以直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的底面圓的周長(zhǎng)是_________，這個(gè)圓錐的側(cè)面積是__________，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是_________．【答案】

【分析】由題意可得底面圓的半徑為4，從而周長(zhǎng)可求；圓錐展開(kāi)圖為扇形，由題意可得扇形的半徑為5，弧長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)，由側(cè)面積公式可求圓錐的側(cè)面積；由可求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角．【解析】解：∵中，，圓錐是以直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得，∴圓錐的底面半徑為，∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)是，圓錐的側(cè)面積是，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是，則，即解得，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是．故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、圓錐底面圓的周長(zhǎng)公式、圓錐的側(cè)面積公式、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出公式中各個(gè)字母所表示的數(shù)．14．如圖，在扇形中，半徑與的夾角為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，若扇形恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用弧長(zhǎng)=圓錐的周長(zhǎng)這一等量關(guān)系可求解.【解析】解：連接，過(guò)作于，∵，，∴，，∴，∵，∴故答案是：【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式，建立準(zhǔn)確的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.15．如圖，作的任意一條直經(jīng)，分別以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，與相交于點(diǎn)和，順次連接，得到六邊形，則的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為_(kāi)_____；【答案】【分析】可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等邊三角形的面積之和，設(shè)⊙O的半徑與等邊三角形的邊長(zhǎng)為，分別表示出圓的面積和兩個(gè)等邊三角形的面積，即可求解【解析】連接，，，，由題可得：為邊長(zhǎng)相等的等邊三角形可將圖中陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，如圖所示：設(shè)⊙O的半徑與等邊三角形的邊長(zhǎng)為，⊙O的面積為等邊與等邊的邊長(zhǎng)為⊙O的面積與陰影部分的面積比為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積轉(zhuǎn)換，等邊三角形面積以及圓面積的求法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換成規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．16．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點(diǎn)D，再將沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若，AB＝4，則的長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】【分析】由同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得，因此．結(jié)合AB是的直徑，可得所對(duì)的圓心角的度數(shù)．再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算的長(zhǎng)即可．【解析】∵、、、所在的圓是等圓又∵、、所對(duì)的圓周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直徑∴所對(duì)的圓心角為

∴的長(zhǎng)=故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換．求所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是___．【答案】【分析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK．由三角形的中位線定理可得KM，推出當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，由此即可得出結(jié)論．【解析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)?2?π?．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．18．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)題意證得，推出∠BPE=60，∠BPD=120，得到C、B、P、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【解析】連接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60，∴∠BPD=180∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD=180，∴C、B、P、D四點(diǎn)共圓，即⊙O是的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∴∠BOD=2∠BCD=120，作OG⊥BD于G，根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG=∠BOD=60，∵，即，∴，從而點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．三、解答題19．如圖，點(diǎn)A，B，C在直徑為2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的長(zhǎng)度；(2)求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接OB，OC．根據(jù)∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根據(jù)⊙O的直徑為2，可得OB＝OC＝1，即利用弧長(zhǎng)公式即可求解答案；（2）根據(jù)∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根據(jù)OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面積和扇形OBC的面積，再根據(jù)S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如圖，連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直徑為2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面積為，∵，即S陰＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式等知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理證明出∠BOC＝90°是解答本題的關(guān)鍵．20．如圖所示，有一直徑為的圓形紙片，要從中剪去一個(gè)最大的圓心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的陰影部分的面積；(2)用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）連結(jié)BC，根據(jù)∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根據(jù)，即可求解；（2）設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長(zhǎng)為2πr，從而得到，即可求解．（1）解：如圖，連結(jié)BC，∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，則的長(zhǎng)為2πr，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，圓錐的底面半徑，勾股定理，熟練掌握扇形面積公式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AE的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝36°，連接BC．(1)求∠B的度數(shù)；(2)若AB＝3，求的長(zhǎng)．【答案】(1)54°(2)【分析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍求出∠COE，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)．（1）連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；（2）連接OE，∵⊙O的直徑AB＝3，∴OA＝1．5，∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，根據(jù)切線的性質(zhì)證得OC∥AE和掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF．(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明四邊形ABED是平行四邊形，得∠B＝∠D，再證明即可得到結(jié)論；（2）連接OA，OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，由圓周角定理可得最后由弧長(zhǎng)公式可求出結(jié)論．（1）∵，，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的⊙O與邊BC交于點(diǎn)E，圓心O在BC上，過(guò)點(diǎn)O作交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，且．（1）試判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）與相切，理由見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）先等腰三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)角的和差、等量代換可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，先在中，利用勾股定理求出的值，再利用直角三角形的性質(zhì)可得，然后利用扇形的面積減去的面積即可得．【解析】（1）與相切，理由如下：，，，，又，

，，，，即，，是的半徑，是的切線，即與相切；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，在中，，即，解得，，，，，在中，，則陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．如圖，中，O為圓心，圓上兩點(diǎn)分別是定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)B，連接，．以，和分別為半徑作半圓C、半圓D和半圓E．（1）若，求證：半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）若F是半圓D上的中點(diǎn)，且半徑為5，求F運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，連接，當(dāng)與其運(yùn)動(dòng)路線相切時(shí)，求的長(zhǎng)，【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為0或【分析】（1）設(shè)半圓C和半圓D的半徑為r，設(shè)半圓E的半徑為R，利用勾股定理推出，代入半徑依據(jù)等式的性質(zhì)變形計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)F為圓心的圓，根據(jù)勾股定理求出OF的值即可得到F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)；（3）根據(jù)相切的關(guān)系求出AF的值，確定點(diǎn)B的位置，即可求出弧AB的長(zhǎng)．【解析】解（1）設(shè)半圓C和半圓D的半徑為r，設(shè)半圓E的半徑為R，∵，∴，∴，∴，∴，∴半圓C與半圓D面積之和等于半圓E的面積．（2）根據(jù)題意得出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)F為原心的圓，如下圖，連接DF、OF，∵F是半圓D上的中點(diǎn)，∴，即△FDO是等腰直角三角形，∵的半徑為5，∴FD=OD=，∴，∴F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（3）∵AF與其運(yùn)動(dòng)路線相切，∴OF⊥AF，由（2）知OF=，OA=5，∴即△AOF為等腰直角三角形，根據(jù)題意可知，F(xiàn)的位置存在，如圖中F和兩種情況：①當(dāng)位置在F點(diǎn)時(shí)，∵△AOF為等腰直角三角形，F(xiàn)是半圓的中點(diǎn)，∴此時(shí)B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，即長(zhǎng)為0；②當(dāng)位置在點(diǎn)時(shí)，∵△AOF為等腰直角三角形，F(xiàn)是半圓的中點(diǎn)，∴此時(shí)，∵OA=5，∴的長(zhǎng)為，綜上，長(zhǎng)為0或．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)有勾股定理，圓的面積公式，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)定理，切線的性質(zhì)定理，熟記各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．如圖，扇形中，，，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)剛好落在上，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，過(guò)作于，先證是等邊三角形，得到，，再利用陰影部分面積等于扇形的面積減去的面積即可得解．【解析】解：連接，過(guò)作于，如圖所示：由折疊可知：，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∴陰影面積=；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查陰影部分面積，軸對(duì)稱性質(zhì)，掌握陰影部分面積的求法是解題的關(guān)鍵．2．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑長(zhǎng)為，，將繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)在上，則邊掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解析】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=cm，∴B′C′=cm，∴S扇形B′OB=cm2，S扇形C′OC=cm2，∴陰影部分面積=S扇形B′OB+S△B′C′OS△BCOS扇形C′OC=S扇形B′OBS扇形C′OC=cm2；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形的面積公式，掌握直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式是本題的關(guān)鍵．3．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上，頂點(diǎn)C、D在該圓上．將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作輔助線求出的大小，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)的角度，利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【解析】分別連接OA、OB、O、OC、O、AC、A，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠OAB=，同理可得：∠OA=，∴∠AB=，∵∠DAB=，∴∠AD=，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角為，∵AB=BC=2，∠ABC=，∴AC=，∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為，故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定及性質(zhì)，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.4．把量角器和含角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長(zhǎng)直角邊重合，移動(dòng)量角器使外圓弧與斜邊相切時(shí)，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度處，短直角邊過(guò)量角器外沿刻度處（即，）．則陰影部分的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，進(jìn)而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，進(jìn)而求出BE，最后用三角形的面積減去扇形的面積，即可求出答案．【解析】在中，，∴，，，連接，則，∵外圓弧與斜邊相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，以為圓心，為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，將等邊從與重合的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是()A． B． C． D．【答案】B【分析】點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧，所在圓的半徑是等邊三角形CDM的外接圓的半徑，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【解析】∵∠AOB=60°，∴∠AOC+∠BOD=120°，∴∠BCD+∠ADC=(∠AOC+∠BOD)=60°，∴∠CPD=120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧，所在圓的半徑是等邊三角形CDM的外接圓的半徑，連接O，∵CO=DO，∴O⊥CD，∵四邊形CMDP是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CMD+∠CPD=180°，∴∠CMD=60°，∴∠CD=2∠CMD=120°，∴∠CO=60°，在Rt△CO中，CO=AO=,∴C=,∴交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)求線段長(zhǎng)，弧長(zhǎng)公式，正確理解點(diǎn)P的起點(diǎn)為點(diǎn)C，終點(diǎn)為點(diǎn)D得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是劣弧是解題的關(guān)鍵.二、填空題6．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分別以點(diǎn)A、B為圓心，AO、BO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與相交，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】π+2【分析】連接AC，OC，根據(jù)題意可得三角形AOC是等邊三角形，即可知道∠OAC＝∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式代入即可求得答案．【解析】如圖，連接AC，OC，則AC＝OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝30°，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為＝π+2，故答案為：π+2．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出正確的輔助線是本題的關(guān)鍵．7．如圖，AB為圓錐軸截面△ABC的一邊，一只螞蟻從B地出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面爬向AC邊的中點(diǎn)D，其中AB＝6，OB＝3，請(qǐng)螞蟻爬行的最短距離為_(kāi)___．【答案】【分析】如圖圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形CAC′，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，根據(jù)題意可列式2π×3，解得n＝180，則可知∠CAB′＝90°，由D為AC的中點(diǎn)，可知AD＝3，則在Rt△ADB′中，由勾股定理可算出螞蟻爬行的最短距離．【解析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形CAC′，如圖，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，根據(jù)題意得2π×3，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝，∴螞蟻爬行的最短距離為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，能夠熟練運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，再由勾股定理可得，再證得為等邊三角形，可得，，進(jìn)而得到，，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于是解題的關(guān)鍵．9．中國(guó)科學(xué)技術(shù)館有“圓與非圓”展品，涉及了“等寬曲線”的知識(shí)．因?yàn)閳A的任何一對(duì)平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（圖1），它是分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧圍成的“曲邊三角形”．如圖2，勒洛三角形的周長(zhǎng)_______圓的周長(zhǎng)．（填“大于”、“等于”或“小于”）【答案】等于【分析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，分別計(jì)算勒洛三角形的周長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)，再比較即可．【解析】設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為∴勒洛三角形的周長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)，∴勒洛三角形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)相等，故答案為：等于．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，正確的理解勒洛三角形是解題的關(guān)鍵．10．如圖，矩形ABCD為的內(nèi)接矩形，，，點(diǎn)E為弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，把弓形ABE沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在弧AE上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】連接AC和BD，先說(shuō)明點(diǎn)B是弧AE所在圓的圓心，且△ABO是等邊三角形，再用扇形BAG的面積減去△ABF的面積即可得到結(jié)果．【解析】解：連接AC和BD，由題意可得：AC和BD都經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∵，，∴AC=BD=，∴AO=BO=AB=，可得點(diǎn)B是弧AE所在圓的圓心，且△ABO是等邊三角形，∴∠BAE=∠OAE=30°，∴BF=ABtan30°=2，∴陰影部分面積==，故答案為：．．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，扇形面積，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)B是圓心．三、解答題11．如圖，是的直徑，是弦，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，于點(diǎn)，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為4，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；(2)答案見(jiàn)詳解；(3)．【分析】（1）連接OC，根據(jù)OA=OC，得，得，得得證；（2）證，對(duì)應(yīng)邊成比例，從而得證；（3）先計(jì)算梯形OCDA的面積，再減去扇形OCA的面積即得解．（1）證明：如圖，連接OC，，，，，，，，OC是半徑，EF是的切線．（2）證明：如圖，連接BC，AB是直徑，，，，，．（3）解：，，，是等邊三角形，，，在中，，，==．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，梯形的性質(zhì)，扇形的面積等，能否熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理與計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．如圖，AB是⊙O直徑，以AB為邊作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O與邊AC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，并交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：DF是⊙O的切線．(2)若DF＝2，∠F＝45°，求由線段BF、FD及所圍成的圖形（陰影部分）面積．(3)若tanA，BD＝1，求FD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4π(3)【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)可證OD∥BC，可得DE⊥OD，可證DF是⊙O的切線；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求OD＝DF＝，由面積和差關(guān)系可求解；（3）通過(guò)證明△FDB∽∠FAD，可得，由銳角三角函數(shù)可求AD=3，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，即可求解．（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠ODA＝∠BCA，∴OD∥BC，又∴DE⊥BC，∴DE⊥OD，又∵OD是半徑，∴DF是⊙O的切線．（2）解：∵∠F＝45°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝45°，∴，∴，∴，∴S陰影＝S△ODF﹣S扇OBD＝4﹣π；（3）解：由（1）知，∠FDB＝90°﹣∠ODB，又∵∠FAD＝90°﹣∠OBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD．又∵∠BFD＝∠DFA，∴△FDB∽∠FAD．∴，∵，BD＝1，∴AD＝3，∴AB，∴，∴FD＝3FB，F(xiàn)A＝3FD，∴FA＝9FB＝AB+FB，∴8FB，∴FB，∴FD．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，切線判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．13．在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連接PB，將沿PB折疊得到．(1)如圖1，若，且與所在的圓相切于點(diǎn)B，求AP的長(zhǎng)；(2)如圖2，與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且．①試說(shuō)明PO＝DB，②求扇形AOB的面積．（結(jié)果保留）【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)和解直角三角形求得OP的長(zhǎng)即可；（2）①連接OD，利用平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)分別證得，即可；②只要求得即可求解(1)連接交于點(diǎn)，由折疊可知，BP垂直平分，，，．∵與圓相切，，∴，∴，∵，，∴，∴在中，，∴．∴．(2)①連接OD，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴，∴．由折疊可知，，同理可得：，所．②在①的基礎(chǔ)上，可證得．所以．【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，弧長(zhǎng)公式，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．14．如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊延長(zhǎng)線上，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，邊交于點(diǎn)F，，以為半徑的交邊于點(diǎn)P、Q，交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)N．(1)求證：．(2)若，，求扇形的面積．(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，且，記，四邊形的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14π(3)S＝x2【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形，證明，根據(jù)，證明，得到，根據(jù)，推出，得到；（2）根據(jù)，推出，根據(jù)，，推出，得到，根據(jù)，推出，推出，推出；（3）根據(jù)，得到，，推出，根據(jù)，，推出，得到，設(shè)，根據(jù)，推出，，，根據(jù)勾股定理推出，解得，（舍），根據(jù)三角形面積公式得到．【解析】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴，，，∵，∴，∴，（舍），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形，全等三角形，扇形，等腰三角形，勾股定理，三角形面積等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，扇形的性質(zhì)和面積公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程，三角形面積公式．15．如圖，等邊△內(nèi)接于圓中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），圓交y軸正半軸于點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交y軸于點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積；(3)如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，、分別在線段和y軸正半軸上，且滿足，連接交于點(diǎn)，當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)(3)（0，2）或【分析】（1）連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AO于點(diǎn)F，根據(jù)∠AOC=90°，可得AC為圓N的直徑，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC與BF交于點(diǎn)N，連接ON，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥OC于點(diǎn)E，則OE=CE=NF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，求出OF，BF，OC的長(zhǎng)，即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠DAN=90°，從而得到∠OAD=60°，再根據(jù)陰影部分的面積等于，即可求解；（3）設(shè)OP=x，則，然后分三種情況討論：若OP=OM，當(dāng)PM=OM時(shí)，當(dāng)OP=PM時(shí)，即可求解．（1）解：如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AO于點(diǎn)F，∵∠AOC=90°，∴AC為圓N的直徑，∵△AOB為等邊三角形，∴AF=OF，∠OAB=60°，∴BF過(guò)圓心N，即AC與BF交于點(diǎn)N，∴連接ON，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥OC于點(diǎn)E，則OE=CE=NF，∵點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∴OA=AB=OB=4，∴AF=ODF=2，∴，，∴，∴點(diǎn)，；（2）解：∵AD為圓N的切線，∴AN⊥AD，即∠DAN=90°，∵∠DAN=30°，∴∠OAD=60°，，∴，∵AN=ON，∴∠AON=∠OAN=30°，∴∠ANO=120°，∴陰影部分面積等于；（3）解：∵H為AB的中點(diǎn)，∴∠BOH=30°，OH⊥AB，AH=BH=2，∴，設(shè)OP=x，則，當(dāng)OP=OM時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∴∠OPM=∠OMP=75°，∴∠QMO=105°，∵∠QOM=90°∠AOB=30°，∴∠OQM=45°，，∴△QEM是等腰直角三角形，，∴，∴，解得：，∴，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2）；當(dāng)PM=OM時(shí)，如圖，∴∠OPM=∠POM=30°，∵∠AOH=30°，∴∠AOH=∠OPM，∴，∴PQ⊥y軸，∴，∴，解得：，即∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；當(dāng)OP=PM時(shí)，∠OMP=∠POM=30°，∴∠OMP=∠BOC，∴軸，即此時(shí)PQ與y無(wú)交點(diǎn)，不合題意，舍去；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2）或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，共度了等知識(shí)，作適當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)第三階——中考沙場(chǎng)點(diǎn)兵一、單選題1．（2022·浙江金華·一模）已知一個(gè)底面半徑為的圓錐，它的母線長(zhǎng)是，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積的公式：底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，進(jìn)行計(jì)算即可得．【解析】解：圓錐的側(cè)面積：（），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐側(cè)面積的公式．2．（2022·浙江溫州·三模）如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)為A，B，若，的長(zhǎng)為，則的半徑為（

）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】連接OA，OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可求∠AOB=130°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求半徑．【解析】解：連接OA、OB，如圖，∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∵∠P=50°，∴∠AOB=130°，∵，∴r=36．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式，掌握切線的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建·泉州五中三模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，對(duì)角線的中點(diǎn)為O，分別以點(diǎn)A，C為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與正方形的邊相交，則圖中的陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】陰影部分的面積可以看作是正方形的面積減去一個(gè)半徑為的半圓的面積；【解析】∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AC==，∴AO=，圖中兩個(gè)扇形的面積可看作是一個(gè)半徑為的半圓的面積，∴S陰影=S正方形S半圓，=1×1π×，=．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圖形面積的計(jì)算；熟練掌握不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以BC為直徑的半圓O交對(duì)角線BD于點(diǎn)E．則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接根據(jù)正方形的性質(zhì)求得，則可得，利用即可求得答案．【解析】解：連接，四邊形為正方形，且邊長(zhǎng)為4，，，，，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算、正方形的性質(zhì)、梯形面積的計(jì)算，借助輔助線求出扇形的面積是解題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古北方重工業(yè)集團(tuán)第一中學(xué)三模）如圖，點(diǎn)A，B，C是上的點(diǎn)，連接，且，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)D．連接，已知半徑為2，則圖中陰影面積為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，從而得到陰影面積等于扇形AOB的面積，即可求解．【解析】解：∵，∴∠AOB=30°，∴，∵，∴，∴陰影面積等于扇形AOB的面積，∴陰影面積等于．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、扇形面積公式和同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·陜西·西安濱河學(xué)校三模）如圖，是的直徑，，，CD⊥AB，則劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】##【分析】根據(jù)，可以得到的度數(shù)，然后根據(jù)垂徑定理，可以得到的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】解：，，是的直徑，，，，，劣弧的長(zhǎng)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂定理以及徑弧長(zhǎng)的計(jì)算，明確弧長(zhǎng)公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·新疆·烏魯木齊市第六十八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【分析】結(jié)合題意，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可求得圓錐的底面圓周長(zhǎng)．再根據(jù)圓的周長(zhǎng)的公式即可求得底面圓的半徑長(zhǎng)．【解析】∵母線l長(zhǎng)為6，扇形的圓心角，∴圓錐的底面圓周長(zhǎng)，∴圓錐的底面圓半徑．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的相關(guān)計(jì)算，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)是求解本題的關(guān)鍵．8．（2022·福建省福州延安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝12，點(diǎn)C，D為線段AB的三等分點(diǎn)，則以四段圓弧圍成的陰影部分面積為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的半圓面積以DC為直徑的半圓面積，得出結(jié)果．【解析】解：∵C、D是線段AB的三等分點(diǎn)，∴AD=BC=，CD=，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面