第一章整式的乘除（易錯(cuò)與強(qiáng)化）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記巧練（北師大版）

第一章整式的乘除易錯(cuò)點(diǎn)1冪的乘法運(yùn)算【指點(diǎn)迷津】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．1．已知x+y﹣3＝0，則2y?2x的值是（）A．6 B．﹣6 C． D．8【答案】D【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y?2x＝2x+y＝23＝8，故選：D．2．若2x+y﹣2＝0．則52x?5y＝25．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵2x+y﹣2＝0，∴52x?5y＝52x+y＝52＝25．故答案為：25．3．若3x+2＝36，則＝2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：原等式可轉(zhuǎn)化為：3x×32＝36，解得3x＝4，把3x＝4代入得，原式＝2．故答案為：2．4．若3m?32n＝81，則m+2n＝4．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：3m+2n＝34，m+2n＝4，故答案為：4．5．若9×32m×33m＝322，則m的值為4．【答案】4．【解答】解：∵9×32m×33m＝32×32m×33m＝32+2m+3m＝32+5m＝322，∴2+5m＝22，解得m＝4．故答案為：4易錯(cuò)點(diǎn)2冪的乘方與積的乘方【指點(diǎn)迷津】牢記根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則6．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＜b＜c D．b＞c＞a【答案】A【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122．則a＞b＞c．故選：A．7．若（ambn）3＝a9b15，則m、n的值分別為（）A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12【答案】B【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，∴a3mb3n＝a9b15，∴3m＝9，3n＝15，∴m＝3，n＝5，故選：B．8．計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：＝??＝?＝1×＝．故選：A．9．已知9m＝3，27n＝4，則32m+3n＝（）A．1 B．6 C．7 D．12【答案】D【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．故選：D．10．若a2n＝5，b2n＝16，則（ab）n＝．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a2n＝5，b2n＝16，∴（an）2＝5，（bn）2＝16，∴，∴，故答案為：．11．若a3m+n＝54，am＝3，則an＝2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a3m+n＝（am）3?an＝54，am＝3，∴．故答案為：212．已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝＝＝；（3）20x＝＝＝易錯(cuò)點(diǎn)3同底數(shù)冪的除法【指點(diǎn)迷津】同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．熟悉逆用同底數(shù)冪的除法法則以及積的乘方法則。13．若am＝8，an＝2，則am﹣2n的值是2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵am＝8，an＝2，∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，故答案為：2．14．已知3×9m×27m＝321，求（﹣m2）3÷（m3?m2）的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m＝321，∴1+5m＝21，∴m＝4，∴（﹣m2）3÷（m3?m2）＝﹣m6÷m5＝﹣m＝﹣4．易錯(cuò)點(diǎn)4多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【指點(diǎn)迷津】用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開(kāi)求它們的積15．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【答案】A【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故選：A．易錯(cuò)點(diǎn)5完全平方公式及幾何背景【指點(diǎn)迷津】牢記完全平方公式16．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將右表稱(chēng)為“楊輝三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…則（a+b）9展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【解答】解：當(dāng)n＝0時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1＝20，當(dāng)n＝1時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2＝21，當(dāng)n＝2時(shí)，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為4＝22，???當(dāng)n＝9時(shí)，展開(kāi)式的項(xiàng)系數(shù)和為＝29＝512，故選：C．17．已知a+＝5，則a2+的值是23．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：a2+＝．故答案為：23．18．若x﹣y＝6，xy＝7，則x2+y2的值等于50．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：因?yàn)閤﹣y＝6，xy＝7，所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，故答案為：50．19．如圖，有兩個(gè)正方形A，B，現(xiàn)將B放在A(yíng)的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和15，則正方形A，B的面積之和為18．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：設(shè)正方形A、B的邊長(zhǎng)分別為x，y，依題意得：，化簡(jiǎn)得：由①+②得：x2+y2＝18，∴，故答案為18．20．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證上述等式．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝30．（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（5a+7b）（9a+4b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝156．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）證明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案為：30；（4）由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，∵（5a+7b）（9a+4b），＝45a2+20ab+63ab+28b2，＝45a2+28b2+83ab，∴x＝45，y＝28，z＝83．∴x+y+z＝45+28+83＝156．故答案為：156．21．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積．方法①：（m+n）2﹣4mn；方法②：（m﹣n）2；（2）根據(jù)（1）寫(xiě)出一個(gè)等式：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝8，xy＝3.75，利用（2）中的結(jié)論，求x，y；（4）有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示．如圖2，它表示了（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）方法①：（m+n）2﹣4mn，方法②：（m﹣n）2；故答案為：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）由（1）可得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；故答案為：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）由（2）可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵x+y＝﹣8，xy＝3.75，∴（x﹣y）2＝64﹣15＝49，∴x﹣y＝±7；又∵x+y＝8，∴或；（4）如圖，表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2：22．乘法公式的探究及應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形．并用A種紙片一張，B種紙片張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．方法1：（a+b）2；方法2：a2+b2+2ab（2）觀(guān)察圖2，請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系．（a+b）2＝a2+2ab+b2（3）類(lèi)似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）圖2大正方形的面積＝（a+b）2圖2大正方形的面積＝a2+b2+2ab故答案為：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由題可得（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系為：（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）如圖所示，（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；②設(shè)2018﹣a＝x，a﹣2017＝y(tǒng)，則x+y＝1，∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy＝＝﹣2，即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．易錯(cuò)點(diǎn)6平方差公式及幾何背景【指點(diǎn)迷津】牢記平方差公式23．下列運(yùn)算中，不能用平方差公式運(yùn)算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y）【答案】B【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)符合題意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．24．若代數(shù)式M?（3x﹣y2）＝y(tǒng)4﹣9x2，那么代數(shù)式M為（）A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2【答案】A【解答】解：∵（﹣3x﹣y2）?（3x﹣y2）＝y(tǒng)4﹣9x2，∴M＝（﹣3x﹣y2）．故選：A．25．觀(guān)察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時(shí)，代數(shù)式x2021﹣1的值為（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2【答案】D【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝12021﹣1＝0．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝12021﹣1＝﹣2．故選：D．26．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，則a＝3，b＝0．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9，∴a+b＝3，聯(lián)立方程組，解得：a＝3，b＝0．27．如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿圖1中的虛線(xiàn)剪開(kāi)后重新拼成一個(gè)梯形（如圖2），利用這兩幅圖形面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】D【解答】解：圖1陰影部分的面積等于a2﹣b2，圖2梯形的面積是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根據(jù)兩者陰影部分面積相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比較各選項(xiàng)，只有D符合題意故選：D．28．如圖，邊長(zhǎng)為2m+3的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為3m+6．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：依題意得剩余部分為（2m+3）2﹣（m+3）2＝4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9＝3m2+6m，而拼成的矩形一邊長(zhǎng)為m，∴另一邊長(zhǎng)是（3m2+6m）÷m＝3m+6．方法2，根據(jù)拼接前后圖形邊長(zhǎng)的特點(diǎn)，可得拼接后的長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為（2m+3）+（m+3