《高等數(shù)學》試題C及答案-20210811104722

《高等數(shù)學》試題C及答案20210811104722一、選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^24x+4，則f(x)的極值點為（）A.x=2B.x=2C.x=0D.x=12.函數(shù)y=ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增3.若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上（）A.必有最大值B.必有最小值C.必有最大值和最小值D.無法確定4.設(shè)f(x)=x^33x，則f(x)的拐點為（）A.(0,0)B.(1,2)C.(1,2)D.不存在拐點5.設(shè)f(x)=e^x，則f'(x)=（）A.e^xB.e^x+1C.e^x1D.16.設(shè)f(x)=sin(x)，則f'(π/2)=（）A.1B.0C.1D.無法確定7.若f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增8.設(shè)f(x)=x^24x+4，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最大值為（）A.4B.4C.0D.無法確定9.設(shè)f(x)=x^33x，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最大值為（）A.4B.4C.0D.無法確定10.設(shè)f(x)=e^x，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最小值為（）A.0B.1C.1D.無法確定二、填空題（每題2分，共20分）11.設(shè)f(x)=x^24x+4，則f(x)的極值點為______。12.函數(shù)y=ln(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性為______。13.若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則f(x)在[a,b]上______。14.設(shè)f(x)=x^33x，則f(x)的拐點為______。15.設(shè)f(x)=e^x，則f'(x)=______。16.設(shè)f(x)=sin(x)，則f'(π/2)=______。17.若f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在[a,b]上______。18.設(shè)f(x)=x^24x+4，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最大值為______。19.設(shè)f(x)=x^33x，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最大值為______。20.設(shè)f(x)=e^x，則f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最小值為______。三、解答題（每題10分，共30分）21.設(shè)f(x)=x^24x+4，求f(x)的極值。22.設(shè)f(x)=x^33x，求f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上的最大值和最小值。23.設(shè)f(x)=e^x，求f(x)在區(qū)間(0,1)上的最大值和最小值?！陡叩葦?shù)學》試題C及答案20210811104722一、選擇題答案1.A.x=22.A.單調(diào)遞增3.A.必有最大值4.C.(1,2)5.A.e^x6.B.07.A.單調(diào)遞增8.A.49.B.410.C.1二、填空題答案11.x=212.單調(diào)遞增13.必有最大值14.(1,2)15.e^x16.017.單調(diào)遞增18.419.420.1三、解答題答案21.解：求f(x)的一階導數(shù)，f'(x)=2x4。令f'(x)=0，解得x=2。然后求二階導數(shù)，f''(x)=2。由于f''(2)=2>0，所以x=2是f(x)的極小值點。將x=2代入f(x)，得到f(2)=0。因此，f(x)的極小值為0。23.解：求f(x)的一階導數(shù)，f'(x)=e^x。由于f'(x)>0對所有x成立，所以f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增。因此，f(x)在區(qū)間(0,1)上的最小值為f(0)=1，最大值為f(1)=e?！陡叩葦?shù)學》試題C及答案20210811104722四、證明題（每題10分，共20分）24.設(shè)f(x)=x^24x+4，證明f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上至少有一個零點。25.設(shè)f(x)=x^33x，證明f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上至少有一個零點。五、計算題（每題10分，共20分）26.設(shè)f(x)=e^x，求f(x)在區(qū)間(0,1)上的平均值。27.設(shè)f(x)=sin(x)，求f(x)在區(qū)間(0,π)上的平均值。四、證明題答案24.解：根據(jù)羅爾定理，如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且f(a)=f(b)，那么至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。對于f(x)=x^24x+4，我們考慮區(qū)間[0,2]。顯然，f(0)=4，f(2)=0，且f(x)在[0,2]上連續(xù)，在(0,2)內(nèi)可導。根據(jù)羅爾定理，至少存在一點c∈(0,2)，使得f'(c)=0。由于f'(x)=2x4，解得c=2。因此，f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上至少有一個零點。25.解：考慮f(x)=x^33x在區(qū)間[1,1]上的行為。f(1)=2，f(1)=2，且f(x)在[1,1]上連續(xù)，在(1,1)內(nèi)可導。根據(jù)羅爾定理，至少存在一點c∈(1,1)，使得f'(c)=0。由于f'(x)=3x^23，解得c=0。因此，f(x)在區(qū)間(∞,+∞)上至少有一個