2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列3.1.1等比數(shù)列課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修5

PAGE等比數(shù)列(20分鐘35分)1.下列命題中正確的是 ()A.若a,b,c是等差數(shù)列,則lga,lgb,lgc是等比數(shù)列B.若a,b,c是等比數(shù)列,則lga,lgb,lgc是等差數(shù)列C.若a,b,c是等差數(shù)列,則10a,10b,10c是等比數(shù)列D.若a,b,c是等比數(shù)列,則10a,10b,10c是等差數(shù)列【解析】選C.若a,b,c成等差數(shù)列,則2b=a+c,所以10a·10c=10a+c=102b=(10b)2,所以10a,10b,10c是等比數(shù)列.2.在首項a1=1,公比q=2的等比數(shù)列{an}中,當(dāng)an=64時,項數(shù)n等于 ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選D.因為an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.3.(2024·高新高一檢測)若正項等比數(shù)列QUOTE滿意a2a3=a4,且a1+a3=2QUOTE,則公比為 ()A.-1 B.1 C.2 D.3【解題指南】依據(jù)a2a3=a4可計算出首項a1的值,再依據(jù)a1+a3=2QUOTE以及a1的值即可計算出公比q的值.【解析】選D.因為a2a3=a4,所以QUOTEq3=a1q3QUOTE,所以a1=1,又因為a1+a3=2QUOTE所以1+q2=2QUOTE,所以q2-2q-3=0,所以q=3或q=-1,又因為QUOTE是正項等比數(shù)列,所以q=3.4.等比數(shù)列{an}的公比為q,且|q|≠1,a1=-1,若am=a1·a2·a3·a4·a5,則m等于 ()A.9 B.10 C.11 D.12【解析】選C.因為a1·a2·a3·a4·a5=a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4=QUOTE·q10=-q10,am=a1qm-1=-qm-1,所以-q10=-qm-1,所以10=m-1,所以m=11.5.畫一個邊長為2厘米的正方形,再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形,以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形,這樣一共畫了10個正方形,則第10個正方形的面積等于平方厘米.

【解析】依題意這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項,QUOTE為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10,n∈N+),則第10個正方形的面積S=QUOTE=[2×(QUOTE)9]2=4×29=2048(平方厘米).答案:20486.在等比數(shù)列{an}中,(1)已知a2=18,a4=8,求a1與q.(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.【解析】(1)由已知得QUOTE解這個方程組,得QUOTE或QUOTE(2)依據(jù)題意,有QUOTE方程兩邊分別相除,得QUOTE=QUOTE.整理得2q2-5q+2=0.解這個方程,得q=2或q=QUOTE.當(dāng)q=2時,a1=1;當(dāng)q=QUOTE時,a1=-16.所以a3=4或a3=-4.【補償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=QUOTE(an-1)(n∈N+).(1)求a1,a2;(2)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【解析】(1)由S1=QUOTE(a1-1),得a1=QUOTE(a1-1),所以a1=-QUOTE.又S2=QUOTE(a2-1),即a1+a2=QUOTE(a2-1),得a2=QUOTE.(2)當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=QUOTE(an-1)-QUOTE(an-1-1),得QUOTE=-QUOTE,又QUOTE=-QUOTE,所以{an}是首項為-QUOTE,公比為-QUOTE的等比數(shù)列.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前三項分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,則該數(shù)列的第四項為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.q=QUOTE=QUOTE,所以a4=QUOTE·QUOTE=1.2.如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列,從第三行起,每一行數(shù)成等比數(shù)列,而且每一行的公比都相等,QUOTE,QUOTEQUOTE,QUOTE,QUOTE…記第i行第j列的數(shù)為aij(i,j∈N+),則a53的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.第一列構(gòu)成首項為QUOTE,公差為QUOTE的等差數(shù)列,所以a51=QUOTE+(5-1)×QUOTE=QUOTE.又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列,而且每一行的公比都相等,所以第5行構(gòu)成首項為QUOTE,公比為QUOTE的等比數(shù)列,所以a53=QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.(2024·余姚高一檢測)設(shè)QUOTE為等比數(shù)列,給出四個數(shù)列:①Q(mào)UOTE,②QUOTE,③QUOTE,④QUOTE.其中肯定為等比數(shù)列的是 ()A.①③ B.②④C.②③ D.①②【解題指南】設(shè)an=a1qn-1,再利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)逐一分析推斷每一個選項得解.【解析】選D.設(shè)an=a1qn-1,①2an=2a1qn-1,所以數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列;②QUOTE=QUOTEq2n-2=QUOTE(q2)n-1,所以數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列;③QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE不是一個常數(shù),所以數(shù)列QUOTE不是等比數(shù)列;④QUOTE=QUOTE不是一個常數(shù),所以數(shù)列QUOTE不是等比數(shù)列.4.一個蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飛出去找回了5個伙伴;第2天,6只蜜蜂飛出去,各自找回了5個伙伴…假如這個找伙伴的過程接著下去,第6天全部的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有蜜蜂 ()A.55986只 B.46656只C.216只 D.36只【解題指南】先由題得到{an}是公比為6的等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項求出a6得解.【解析】選B.設(shè)第n天全部的蜜蜂都?xì)w巢后共有an只蜜蜂,則有an+1=6an,a1=6,則{an}是公比為6的等比數(shù)列,則a6=a1q5=6×65=46656.5.(2024·石家莊高一檢測)已知數(shù)列QUOTE是首項a1=4,公比q≠1的等比數(shù)列,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,則公比q等于 ()A.-1 B.QUOTE C.-2 D.2【解題指南】由等差數(shù)列的性質(zhì)得2a5=4a1-2a3,由此利用等比數(shù)列通項公式能求出公比.【解析】選A.因為數(shù)列QUOTE是首項a1=4,公比q≠1的等比數(shù)列,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,所以2a5=4a1-2a3,所以2QUOTE=4×4-2QUOTE,解得q=1(舍)或q=-1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在數(shù)列{an}中,對隨意n∈N+,都有an+1-2an=0(an≠0),則QUOTE等于.

【解析】由an+1-2an=0得QUOTE=2,所以數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由QUOTE得,QUOTE解得QUOTE所以a1a2…an=QUOTEq1+2+…+(n-1)=8n×QUOTE=QUOTE,于是當(dāng)n=3或4時,a1a2…an取得最大值26=64.答案:648.在表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每縱列成等比數(shù)列,則a+b+c的值為.

120.51abc【解析】因為每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,所以依據(jù)第三列,得2×a=12,可得a=QUOTE.在第一列中,公比q=QUOTE,第3個數(shù)為QUOTE=QUOTE,第4個數(shù)為QUOTE=QUOTE,第三列中,公比q=QUOTE,第4個數(shù)為2×QUOTE=QUOTE,所以第四行中的公差d=QUOTE=QUOTE,所以第四行中第4個數(shù)b=QUOTE+QUOTE=QUOTE,同理c=QUOTE,所以a+b+c=QUOTE+QUOTE+QUOTE=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知等差數(shù)列QUOTE滿意a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求QUOTE的通項公式;(2)設(shè)等比數(shù)列QUOTE滿意b2=a3,b3=a7.若b6=ak,求k的值.【解析】(1)由題意,得等差數(shù)列QUOTE的公差d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+d=10,a1=4,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×2=2n+2;(2)由(1),得b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=QUOTE=QUOTE=2,b6=b2q4=8×24=128,所以ak=2k+2=128,k=63.10.設(shè)關(guān)于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩根α和β,且滿意6α-2αβ+6β=3.(1)試用an表示an+1.(2)求證:QUOTE是等比數(shù)列.(3)當(dāng)a1=QUOTE時,求數(shù)列{an}的通項公式及項的最值.【解析】(1)依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得QUOTE代入題設(shè)條件6(α+β)-2αβ=3,得QUOTE-QUOTE=3.所以an+1=QUOTEan+QUOTE.(2)因為an+1=QUOTEan+QUOTE,所以an+1-QUOTE=QUOTE.若an=QUOTE,則方程anx2-an+1x+1=0,可化為QUOTEx2-QUOTEx+1=0,即2x2-2x+3=0.此時Δ=(-2)2-4×2×3<0,所以an≠Q(mào)UOTE,即an-QUOTE≠0.所以數(shù)列QUOTE是以QUOTE為公比的等比數(shù)列.(3)當(dāng)a1=QUOTE時,a1-