2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)梯級練七十三概率與統(tǒng)計的綜合問題課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時作業(yè)梯級練七十三概率與統(tǒng)計的綜合問題1．(2024·撫順模擬)某中學(xué)有老師400人，其中中學(xué)老師240人．為了了解該校老師每天課外熬煉時間，現(xiàn)利用分層抽樣的方法從該校老師中隨機抽取了100名老師進行調(diào)查，統(tǒng)計其每天課外熬煉時間(全部老師每天課外熬煉時間均在[0，60]分鐘內(nèi))，將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按[0，10)，[10，20)，[20，30)，…，[50，60]分成6組，制成頻率分布直方圖如圖：假設(shè)每位老師每天課外熬煉時間相互獨立，并稱每天熬煉時間小于20分鐘為缺乏熬煉．(1)試估計本校老師中缺乏熬煉的人數(shù)；(2)若從參與調(diào)查，且每天課外熬煉時間在[50，60]內(nèi)的該校老師中任取2人，求至少有1名初中老師被選中的概率．【解析】(1)由題意可得樣本中初中老師缺乏熬煉的頻率為(0.015＋0.020)×10＝0.35，樣本中中學(xué)老師缺乏熬煉的頻率為(0.010＋0.040)×10＝0.5，估計該校老師中缺乏熬煉的人數(shù)為160×0.35＋240×0.5＝56＋120＝176.(2)由題意可知，參與調(diào)查的初中老師每天課外熬煉時間在[50，60]的人數(shù)為40×0.05＝2，記為a，b；中學(xué)老師每天課外熬煉時間在[50，60]的人數(shù)為60×0.05＝3，記為D，E，F(xiàn).從這5人中選取2人的狀況有(a，b)，(a，D)，(a，E)，(a，F(xiàn))，(b，D)，(b，E)，(b，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共10種；其中符合條件的狀況有(a，b)，(a，D)，(a，E)，(a，F(xiàn))，(b，D)，(b，E)，(b，F(xiàn))，共7種．故至少有1名初中老師被選中的概率為p＝eq\f(7,10).2．依據(jù)以往的閱歷，某建筑工程施工期間的降水量N(單位：mm)對工期的影響如表：降水量NN＜400400≤N＜600600≤N＜1000N≥1000工期延誤天數(shù)X0136依據(jù)某氣象站的資料，某調(diào)查小組抄錄了該工程施工地某月前20天的降水量的數(shù)據(jù)，繪制得到降水量的折線圖，如圖所示．(1)求這20天的平均降水量；(2)依據(jù)降水量的折線圖，分別估計該工程施工延誤天數(shù)X＝0，1，3，6的概率．【解析】(1)這20天的平均降水量為eq\x\to(N)＝eq\f(1,20)×(380＋350×2＋700＋1100＋120×2＋450＋500×5＋850＋1200＋240＋300)＝eq\f(8660,20)＝433(mm).(2)因為N＜400mm的天數(shù)為10，所以X＝0的頻率為eq\f(10,20)＝0.5，故估計X＝0的概率為0.5.因為400mm≤N＜600mm的天數(shù)為6，所以X＝1的頻率為eq\f(6,20)＝0.3，故估計X＝1的概率為0.3.因為600mm≤N＜1000mm的天數(shù)為2，所以X＝3的頻率為eq\f(2,20)＝0.1，故估計X＝3的概率為0.1.因為N≥1000mm的天數(shù)為2，所以X＝6的概率為eq\f(2,20)＝0.1，故估計X＝6的概率為0.1.3．(2024·濰坊模擬)區(qū)塊鏈技術(shù)被認為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)、區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機器，將可能徹底變更整個人類社會價值傳遞的方式，2015年至2024年五年期間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列．現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表．年份20152024202420242024編號12345企業(yè)總數(shù)量y(單位：千個)2.1563.7278.30524.27936.224注：參考數(shù)據(jù)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝74.691，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝312.761，eq\i\su(i＝1,5,z)i＝10.980，eq\i\su(i＝1,5,x)izi＝40.457(其中z＝lny).附：樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的最小二乘法估計公式為＝＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝－．(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)推斷，y＝a＋bx與y＝cedx(其中e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，哪一個回來方程類型相宜預(yù)料將來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？(給出結(jié)果即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的結(jié)果，求y關(guān)于x的回來方程(結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位)；(3)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部確定進行一次信息化技術(shù)競賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．競賽規(guī)則如下：①每場競賽有兩個公司參與，并決出輸贏；②每場競賽獲勝的公司與未參與此場競賽的公司進行下一場的競賽；③在競賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次競賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化競賽的“優(yōu)勝公司”，已知在每場競賽中，甲勝乙的概率為eq\f(1,3)，甲勝丙的概率為eq\f(3,5)，乙勝丙的概率為eq\f(1,2)，請通過計算說明，哪兩個公司進行首場競賽時，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大？【解析】(1)選擇回來方程y＝cedx，相宜預(yù)料將來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量；(2)對y＝cedx兩邊取自然對數(shù)，得lny＝lnc＋dx，令z＝lny，a＝lnc，b＝d，得z＝a＋bx.由于eq\i\su(i＝1,5,x)i＝15，＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝3，＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,z)i＝2.196，因為＝＝eq\f(40.457－5×3×2.196,55－5×32)≈0.752，＝－＝2.196－0.752×3＝－0.060.所以z關(guān)于x的回來方程為＝0.752x－0.060，則y關(guān)于x的回來方程為＝e0.752x－0.060；(3)對于首場競賽的選擇有以下三種狀況：A、甲與乙先賽；B、甲與丙先賽；C、丙與乙先賽．由于在每場競賽中，甲勝乙的概率為eq\f(1,3)，甲勝丙的概率為eq\f(3,5)，乙勝丙的概率為eq\f(1,2)，則甲公司獲勝的概率分別是P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(13,45)；P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)；P(C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).由于eq\f(9,25)＞eq\f(13,45)＞eq\f(1,5)，所以甲與丙兩公司進行首場競賽時，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率大．【加練備選·拔高】(2024·贛州模擬)2024年是全面建成小康社會目標實現(xiàn)之年,也是全面打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在2014年通過精準識別確定建檔立卡的貧困戶共有500戶,結(jié)合當?shù)貙嶋H狀況實行多項精準扶貧措施,每年新脫貧戶數(shù)如表:年份20152024202420242024年份代碼x12345脫貧戶數(shù)y55688092100(1)依據(jù)2015-2025年的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回來方程y=x+,并預(yù)料到2024年底該鄉(xiāng)鎮(zhèn)500戶貧困戶是否能全部脫貧;(2)2024年的新脫貧戶中有20戶五保戶,20戶低保戶,60戶扶貧戶.該鄉(xiāng)鎮(zhèn)某干部準備依據(jù)分層抽樣的方法對2024年新脫貧戶中的5戶進行回訪,了解生產(chǎn)生活、幫扶工作開展狀況.為防止這些脫貧戶再度返貧,隨機抽取這5戶中的2戶進行每月跟蹤幫扶，求抽取的2戶不都是扶貧戶的概率．參考公式：＝＝，＝－．【解析】(1)eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×55＋2×68＋3×80＋4×92＋5×100＝1299，＝3，＝eq\f(55＋68＋80＋92＋100,5)＝eq\f(395,5)＝79，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝1＋4＋9＋16＋25＝55，＝eq\f(1299－5×3×79,55－5×32)＝eq\f(114,10)＝11.4，＝－＝79－11.4×3＝44.8，所以y關(guān)于x的線性回來方程為＝11.4x＋44.8.當x＝6時，＝11.4×6＋44.8＝113.2.即預(yù)料2024年一年內(nèi)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)有113戶貧困戶脫貧．所以預(yù)料6年內(nèi)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)脫貧總戶數(shù)有55＋68＋80＋92＋100＋113＝508＞500.即預(yù)料到2024年底該鄉(xiāng)鎮(zhèn)500戶貧困戶能全部脫貧；(2)由題意可得：按分層抽樣抽取的5戶貧困戶中，有1戶五保戶a，1戶低保戶b，3戶扶貧戶c，d，e.從這5戶中任選2戶，共有10種狀況：(ab)，(ac)，(ad)，(ae)，(bc)，(bd)，(be)，(cd)，(ce)，(de)，記2戶不都是扶貧戶為事務(wù)A，則事務(wù)eq\x\to(A)共有3種狀況：(cd)，(ce)，(de).所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,10)，則P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).故抽取的2戶不都是扶貧戶的概率為eq\f(7,10).4．隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視，越來越多的人加入到健身運動中．國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，2024年有4億國人常常參與體育熬煉．某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人，對其每周參與健身的天數(shù)和2024年在該健身房全部消費金額(單位：元)進行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖：平均每周健身天數(shù)不大于23或4不少于5人數(shù)(男)20359人數(shù)(女)10206若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達人”．該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為一般會員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員，超過3200元的為金牌會員．(1)已知金牌會員都是健身達人，現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人，求他們均是金牌會員的概率；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關(guān)系？(3)該健身機構(gòu)在2024年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動，現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：按分層抽樣從一般會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”，分別賜予188元，288元，888元的幸運嘉獎；方案二：每位會員均可參與摸獎嬉戲，嬉戲規(guī)則如下：摸獎箱中裝有5張形態(tài)、大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動感單車的總數(shù)為2，則獲得100元嘉獎，若摸到動感單車的總數(shù)為3，則獲得200元嘉獎，其他狀況不賜予嘉獎．規(guī)定每個一般會員只能參與1次摸獎嬉戲，每個銀牌會員可參與2次摸獎嬉戲，每個金牌會員可參與3次摸獎嬉戲(每次摸獎結(jié)果相互獨立).請你比較該健身房采納哪一種方案時，在此次消費返利活動中的支出較少，并說明理由．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.500.250.100.050.0100.005k00.4551.3232.7063.8416.6357.879【解析】(1)由題表可知，健身達人共有9＋6＝15(人)，由題干直方圖可知，金牌會員共有8＋4＝12(人)，所以從健身達人中隨機抽取2人，他們均是金牌會員的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15)))＝eq\f(22,35).(2)由題表中的數(shù)據(jù)可制作如下的2×2列聯(lián)表，是健身達人不是健身達人總計男95564女63036總計1585100所以K2的觀測值k＝eq\f(100×（9×30－55×6）2,64×36×15×85)＝eq\f(25,204)≈0.123＜3.841，故不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關(guān)系．(3)方案一：25位“幸運之星”中，一般會員人數(shù)為25×eq\f(6＋22,100)＝7(人)，銀牌會員人數(shù)為25×eq\f(25＋35,100)＝15(人)，金牌會員人數(shù)為25×eq\f(8＋4,100)＝3(人)，所以健身房的支出為7×188＋15×288＋3×888＝8300(元)；方案二：每次摸卡片，摸到動感單車的概率為eq\f(2,5)，設(shè)參與一次嬉戲獲得的嘉獎金為X，則X的可能取值為0，100，200，P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(