2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE平面對(duì)量的實(shí)際背景及基本概念(15分鐘30分)1.若a,b為非零向量且a∥b,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.a=bB.a,b方向相同或相反C.a,b共線D.a,b都與零向量共線【解析】選A.因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量平行,即它們的方向相同或相反,也叫共線向量,但它們的長(zhǎng)度不肯定相等,故兩向量不肯定相等,它們都與零向量共線.2.如圖,在四邊形ABCD中,=,則相等的向量是 ()A.與B.與C.與D.與【解析】選D.由=知四邊形ABCD是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)知,||=||,且方向相同.3.如圖,△ABC和△A′B′C′是在各邊的QUOTE處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,圖中列出了長(zhǎng)度均為QUOTE的若干個(gè)向量,則(1)與向量相等的向量有.

(2)與向量共線,且模相等的向量有.

(3)與向量共線,且模相等的向量有.

【解析】向量相等?向量方向相同且模相等.向量共線?表示與有向線段所在的直線平行或重合.答案:(1),(2),,,,(3),,,,4.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn),向量m與向量是平行向量,與是共線向量,則m=.

【解析】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以與不共線,又因?yàn)閙∥且m∥,所以m=0.答案:0【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四邊形ABCD中,=且||=||,則四邊形的形態(tài)為.

【解析】因?yàn)?,所以ABDC.所以四邊形ABCD是平行四邊形.又||=||,即AB=AD,所以該四邊形是菱形.答案:菱形5.如圖所示,在長(zhǎng)、寬、高分別為AB=3,AD=2,AA1=1的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(1)單位向量共有多少個(gè)?(2)試寫(xiě)出模為QUOTE的全部向量.(3)試寫(xiě)出與相等的全部向量.【解析】(1)由于長(zhǎng)方體的高為1,所以向量,,,,,,,都是單位向量,而其他向量的模均不為1,故單位向量共有8個(gè).(2)由于長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)的對(duì)角線長(zhǎng)均為QUOTE,故模為QUOTE的向量有,,,,,,,,共8個(gè).(3)與向量相等的全部向量(除它自身之外)共有,及共3個(gè).(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.在平面內(nèi),已知點(diǎn)O固定,且||=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是 ()A.一個(gè)點(diǎn) B.一條直線C.一個(gè)圓 D.不能確定【解析】選C.由于||=2,所以A點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以O(shè)為圓心,2為半徑的圓.2.如圖所示,在菱形ABCD中∠DAB=120°,則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.與相等的向量只有一個(gè)(不含)B.與的模相等的向量有9個(gè)(不含)C.的模恰為的模的QUOTE倍D.與不共線【解析】選D.與相等的向量只有;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一條線段可得方向相反的兩個(gè)向量,它們的模都相等,故有5×2-1=9(個(gè));計(jì)算得DO=QUOTEDA,所以BD=QUOTEDA,即||=QUOTE||;由AD∥BC知與共線,故D錯(cuò)誤.3.已知D為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn),則的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形,D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn),所以D為PA的中點(diǎn),所以的值為1.4.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||= ()A.1 B.QUOTE C.2 D.2QUOTE【解析】選D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,則||=2||=2QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說(shuō)法中正確的是 ()A.||=||B.對(duì)任一向量a,|a|>0總是成立的C.||與線段BA的長(zhǎng)度不相等D.若a∥b,且|a|=1009,|b|=1011,則|a+b|=2020【解析】選A.A正確;|0|=0,對(duì)任一向量a,|a|≥0總成立,所以B不正確;||與線段BA的長(zhǎng)度相等,所以C不正確;對(duì)于D,當(dāng)a與b方向相反時(shí),|a+b|=2,故D不正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.有下列說(shuō)法:①若a≠b,則a肯定不與b共線;②若a=b,b=c,則a=c;③共線向量是在一條直線上的向量.其中,正確的說(shuō)法是.

【解析】對(duì)于①,兩個(gè)向量不相等,可能是長(zhǎng)度不相等,方向相同或相反,所以a與b有共線的可能,故①不正確;對(duì)于②,a=b,則|a|=|b|,且a與b方向相同;b=c,則|b|=|c|,且b與c方向相同,所以a與c方向相同且模相等,故a=c,故②正確;對(duì)于③,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線相互平行的向量,故③不正確.答案:②6.如圖,四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形.(1)與向量相等的向量有.

(2)若||=3,則向量的模為.

【解析】(1)在平行四邊形ABCD和ABDE中,=,=,所以=.(2)由(1)知=,所以||=||+||=2||=6.答案:(1),(2)6【補(bǔ)償訓(xùn)練】假如在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正△ABC中,一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線段為(其中D在邊BC上運(yùn)動(dòng)),則向量長(zhǎng)度的最小值為.

【解析】依據(jù)題意,在正△ABC中,有向線段AD長(zhǎng)度最小時(shí),AD應(yīng)與邊BC垂直,有向線段AD長(zhǎng)度的最小值為正△ABC的高,為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題7.(10分)設(shè)在平面內(nèi)給定一個(gè)四邊形AB