2024屆湖北省廣水一中等重點高中聯(lián)考協(xié)作體高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題

2024屆湖北省廣水一中等重點高中聯(lián)考協(xié)作體高三下學期第五次模擬考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．3．已知定點，，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓4．已知復數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．15．已知是過拋物線焦點的弦，是原點，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－36．設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．7．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于8．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．9．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．310．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)11．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內的任何直線都與平行12．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則________.14．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.15．已知點為雙曲線的右焦點，兩點在雙曲線上，且關于原點對稱，若，設，且，則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，且、、成等比數(shù)列，.設數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）令，證明：.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足：，，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；19．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正實數(shù)a，b滿足1a+120．（12分）已知函數(shù)的最大值為2.（Ⅰ）求函數(shù)在上的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）中,,角所對的邊分別是，且，求的面積．21．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ)當時，求函數(shù)在上最小值.22．（10分）設橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由恒成立，等價于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數(shù)幾何意義，此時，故.故選：D【點睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結合的思想，屬于難題.2、B【解析】

設過點作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．3、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.4、C【解析】

化簡復數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復數(shù)的虛部，屬于基礎題.5、D【解析】

設，，設：，聯(lián)立方程得到，計算得到答案.【詳解】設，，故.易知直線斜率不為，設：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積，設直線為可以簡化運算，是解題的關鍵.6、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．7、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應選答案C．8、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當時，，當，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題．9、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．10、C【解析】

求函數(shù)導數(shù)，分析函數(shù)單調性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.11、B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內的任何直線都與平行，故，若，則內的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的綜合應用能力.12、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù)，考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.14、【解析】

求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數(shù)在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，根據(jù)導數(shù)和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.15、【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故，由雙曲線定義可得，再求的值域即可.【詳解】如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，由于.所以四邊形為矩形，故.在中，由雙曲線的定義可得，.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數(shù)的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.16、【解析】

函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合思想進行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,（2）證明見解析【解析】

（1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據(jù)以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據(jù)不等關系證明即可.【詳解】（1）設首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當時，∴，.當時，滿足上式.∴（2），令數(shù)列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成立；（2）當一個數(shù)列符合等差乘以等比的形式，優(yōu)先考慮采用錯位相減法進行求和，同時注意對于錯位的理解.18、（1）（2）當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.（3）分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當n為奇數(shù)時,.猜測：當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明：,命題成立；假設當時,命題成立；當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當n為偶數(shù)時,的最大值是.②當n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學歸納法證明數(shù)列的應用,數(shù)列的單調性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19、（Ⅰ）{x|-3≤x≤2}（Ⅱ）見證明【解析】

(Ⅰ)由題意結合不等式的性質零點分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（Ⅰ）①當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5，即x≤2，∴1<x≤2；②當-2≤x≤1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5，∴-2≤x≤1；③當x<-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5，即x≥-3，∴-3≤x<-2.綜上所述，原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=x-1當且僅當-2≤x≤1時，等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當且僅當2a×1又1a+1b=∴2a【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數(shù)的單調性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調遞減區(qū)間為(2)設△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故21、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)當時，函數(shù)的最小值是；當時，函數(shù)的最小值是【解析】

（1）求出導函數(shù)，并且解出它的零點x=，再分區(qū)間討論導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（2）分三種情況加以討論，結合函數(shù)的單調性與函數(shù)值的大小比較，即可得到當0＜a＜ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是-a；當a≥ln2時，函數(shù)f（x）的最小值是ln2-2a．【詳解】函數(shù)的定義域

為．

因為，令，可得；

當時，；當時，，綜上所述：可知函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為當，即時，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

的最小值是當，即時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，的最小值是當，即時，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

又，