數(shù)學(xué)教案：對(duì)數(shù)及其運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計(jì))）教學(xué)分析我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)過程中，已學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，從本節(jié)開始我們學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算．使學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)對(duì)數(shù)的必要性,理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，了解對(duì)數(shù)換底公式及其簡單應(yīng)用，能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對(duì)簡化運(yùn)算的作用．教材注重從現(xiàn)實(shí)生活的事例中引出對(duì)數(shù)概念,所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望．教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)．教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學(xué)功能，教材安排了“閱讀與欣賞”的內(nèi)容，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的教育，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．三維目標(biāo)1．理解對(duì)數(shù)的概念,了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)．2．掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，通過實(shí)例推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．3．準(zhǔn)確地運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,并掌握化簡求值的技能,運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問題．4．通過與指數(shù)式的比較，引出對(duì)數(shù)的定義與性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷并推理出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識(shí)．5．學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力；通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識(shí)；讓學(xué)生感受對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性,增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)概念的理解，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)及應(yīng)用．課時(shí)安排3課時(shí)eq\o（\s\up7()，\s\do5(教學(xué)過程)）第1課時(shí)對(duì)數(shù)概念導(dǎo)入新課思路1.(1)莊子：一尺之棰，日取其半,萬世不竭．①取4次，還有多長?②取多少次,還有0.125尺?（2)假設(shè)2002年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2002年的2倍?抽象出：①（eq\f（1,2)）4＝？(eq\f(1,2）)x＝0。125x＝？②（1＋8%)x＝2x＝？都是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)．你能看得出來嗎?怎樣求呢？像上面的式子，已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)，這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)〔引出對(duì)數(shù)的概念,教師板書課題〕．思路2。我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，同時(shí)也會(huì)利用性質(zhì)解決問題，但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠，為了解決某些實(shí)際問題，還要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)，為此我們先學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)〔引出對(duì)數(shù)的概念，教師板書課題〕．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))eq\a\vs4\al（①利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝13×1.01x的圖象.,②從圖象上看，哪一年的人口數(shù)要達(dá)到18億、20億、30億…？，③如果不利用圖象該如何解決？說出你的見解.，即\f（18,13)＝1。01x,\f（20，13)＝1。01x，\f(30，13)＝1。01x，在這幾個(gè)式子中，x分別等于多少？，④你能否給出一個(gè)一般性的結(jié)論？)活動(dòng)：學(xué)生討論并作圖，教師適時(shí)提示、點(diǎn)撥．對(duì)問題①，回憶計(jì)算機(jī)作函數(shù)圖象的方法，抓住關(guān)鍵點(diǎn)．對(duì)問題②，圖象類似于人的照片,從照片上能看出人的特點(diǎn)，當(dāng)然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點(diǎn)的坐標(biāo)．對(duì)問題③，定義一種新的運(yùn)算．對(duì)問題④，借助③，類比到一般的情形．討論結(jié)果：①如下圖．②在所作的圖象上，取點(diǎn)P，測(cè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，移動(dòng)點(diǎn)P，使其縱坐標(biāo)分別接近18、20、30,觀察這時(shí)的橫坐標(biāo)，大約分別為32.72、43.29、84.04，這就是說，如果保持年增長率為1個(gè)百分點(diǎn)，那么大約經(jīng)過33年、43年、84年,我國人口分別約為18億、20億、30億．③eq\f（18，13）＝1.01x，eq\f(20，13）＝1.01x，eq\f（30,13)＝1。01x，在這幾個(gè)式子中，要求x分別等于多少,目前我們沒學(xué)這種運(yùn)算，可以定義一種新運(yùn)算,用符號(hào)“l(fā)og”表示對(duì)數(shù),即若eq\f（18，13)＝1.01x，則x總以1.01為底的eq\f（18，13)的對(duì)數(shù)就可寫成x＝log1。01eq\f（18,13）。其他的可類似得到，x＝log1。01eq\f（20,13)，x＝log1.01eq\f（30，13)，這種運(yùn)算叫做對(duì)數(shù)運(yùn)算．④一般性的結(jié)論就是對(duì)數(shù)的定義：一般地，對(duì)于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對(duì)數(shù)b"記作logaN,即eq\x(b＝logaN（a>0，且a≠1).)其中，數(shù)a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對(duì)數(shù)”．實(shí)質(zhì)上,上述對(duì)數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)式N＝ab的另一種表達(dá)形式．由此得到對(duì)數(shù)和指數(shù)冪之間的關(guān)系：

aNb指數(shù)式ab＝N底數(shù)冪指數(shù)對(duì)數(shù)式logaN＝b對(duì)數(shù)的底數(shù)真數(shù)對(duì)數(shù)例如：42＝162＝log416；102＝1002＝log10100；＝2eq\f(1,2)＝log42；10－2＝0.01－2＝log100。01。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)①為什么在對(duì)數(shù)定義中規(guī)定a>0,且a≠1？②根據(jù)對(duì)數(shù)定義求loga1和logaaa〉0,且a≠1的值。③負(fù)數(shù)與零有沒有對(duì)數(shù)？④alogaN＝N與logaab＝ba〉0,且a≠1是否成立？⑤什么是常用對(duì)數(shù)？討論結(jié)果：①這是因?yàn)槿鬭＜0，則N為某些值時(shí),b不存在，如log(－2）eq\f（1,2）;若a＝0，N不為0時(shí)，b不存在，如log03，N為0時(shí)，b可為任意正數(shù),是不唯一的，即log00有無數(shù)個(gè)值；若a＝1，N不為1時(shí)，b不存在，如log12,N為1時(shí)，b可為任意數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)個(gè)值．綜之，就規(guī)定了：a＞0,且a≠1.②loga1＝0，logaa＝1。因?yàn)閷?duì)任意a＞0，且a≠1,都有a0＝1，所以loga1＝0。同樣易知：logaa＝1。即1的對(duì)數(shù)等于0，底的對(duì)數(shù)等于1.③因?yàn)榈讛?shù)a＞0，且a≠1，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對(duì)任意的b∈R，ab＞0恒成立，即只有正數(shù)才有對(duì)數(shù)，零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)．④因?yàn)閍b＝N,所以b＝logaN，ab＝alogaN＝N，即alogaN＝N。因?yàn)閍b＝ab,所以logaab＝b。故兩個(gè)式子都成立．（alogaN＝N叫對(duì)數(shù)恒等式）常用對(duì)數(shù):我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)．為了簡便，N的常用對(duì)數(shù)log10N簡記作lgN。例如：log105簡記作lg5；log103。5簡記作lg3。5.例如:loge3簡記作ln3；loge10簡記作ln10.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1求log22，log21，log216，log2eq\f(1,2）。解：因?yàn)?1＝2，所以log22＝1；因?yàn)?0＝1，所以log21＝0；因?yàn)?4＝16，所以log216＝4；因?yàn)?－1＝eq\f(1,2）,所以log2eq\f(1，2)＝－1。點(diǎn)評(píng)：本題要注意方根的運(yùn)算，同時(shí)也可借助對(duì)數(shù)恒等式來解．變式訓(xùn)練求下列各式的值：(1)log525；(2）logeq\f(1，2)32;（3)3log310;(4)log2.52.5.活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立解題,教師同時(shí)展示學(xué)生的做題情況，要求學(xué)生說明解答的依據(jù),利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解．解：（1)因?yàn)?2＝25，所以log525＝2。(2）因?yàn)?eq\f(1,2))－5＝32，所以logeq\f（1,2）32＝－5.（3）設(shè)3log310＝N，則log3N＝log310，所以N＝10，即3log310＝10。(4)因?yàn)?。51＝2。5，所以log2。52.5＝1.例2求lg10，lg100，lg0。01.解:因?yàn)?01＝10,所以lg10＝1；因?yàn)?02＝100，所以lg100＝2；因?yàn)?0－2＝0.01，所以lg0.01＝－2。例3利用科學(xué)計(jì)算器求對(duì)數(shù)（精確到0。0001)：lg2001;lg0。0618；lg0。0045；lg396.5。解：用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：按鍵顯示eq\x（log）2001eq\x(＝）3。301247089eq\x(log）0.0618eq\x(＝）－1。209011525eq\x（log）0。0045eq\x（＝)－2.346787486eq\x(log)396。5eq\x(＝)2.598243192所以lg2001≈3.3012,lg0。0618≈－1。2090,lg0.0045≈－2.3468，lg395。6≈2。5982.思路2例1以下四個(gè)命題中，屬于真命題的是()（1)若log5x＝3，則x＝15（2)若log25x＝eq\f（1，2)，則x＝5（3)若logxeq\r(5)＝0,則x＝eq\r(5）(4)若log5x＝－3，則x＝eq\f(1，125)A．（2）(3)B．(1）（3)C．（2）（4)D．（3）(4）活動(dòng)：學(xué)生觀察,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮對(duì)數(shù)的定義．解析：對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果．對(duì)于（1），因?yàn)閘og5x＝3，所以x＝53＝125,錯(cuò)誤;對(duì)于(2），因?yàn)閘og25x＝eq\f(1，2),所以x＝25eq\f（1,2)＝5，正確；對(duì)于(3)，因?yàn)閘ogxeq\r(5)＝0，所以x0＝eq\r(5)，無解，錯(cuò)誤；對(duì)于（4),因?yàn)閘og5x＝－3，所以x＝5－3＝eq\f(1,125），正確．總之(2)（4）正確．答案：C點(diǎn)評(píng):對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù).變式訓(xùn)練1．將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：(1）54＝625；(2)3－3＝eq\f(1,27)；(3)8eq\f(4，3）＝16;（4)5a＝15.解:（1)log5625＝4;(2)log3eq\f(1,27）＝－3;（3)log816＝eq\f(4,3);（4）a＝log515.2．將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式．（1)16＝－4；(2)log3243＝5;(3)eq\f（1，27）＝3；(4)lg0.1＝－1。活動(dòng):學(xué)生閱讀題目,獨(dú)立解題,發(fā)表自己的見解,把結(jié)果用多媒體顯示在屏幕上．解：根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系，得（1)（eq\f（1,2))－4＝16；(2）35＝243；(3)(eq\f（1，3)）3＝eq\f（1，27）；（4）10－1＝0。1.例2計(jì)算:(1）log927；（2)81；(3)log（2＋eq\r（3))(2－eq\r(3））；(4)625?；顒?dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶,教師提問，學(xué)生回答，積極交流，學(xué)生展示自己的解題過程，教師及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生．利用對(duì)數(shù)的定義或?qū)?shù)恒等式來解．求式子的值，首先設(shè)成對(duì)數(shù)式,再轉(zhuǎn)化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解．另外利用對(duì)數(shù)恒等式可直接求解，所以有兩種解法．解法一：(1)設(shè)x＝log927，則9x＝27,32x＝33，所以x＝eq\f(3,2).（2)設(shè)x＝81，則(eq\r(4,3）)x＝81,＝34,所以x＝16。(3)令x＝log（2＋eq\r(3)）（2－eq\r（3))＝log（2＋eq\r(3）)(2＋eq\r(3)）－1,所以（2＋eq\r（3）)x＝(2＋eq\r（3）)－1，x＝－1。（4）令x＝625,所以(eq\r(3，54）)x＝625,＝54，x＝3。解法二：（1）log927＝log933＝log99eq\f(3,2)＝eq\f(3，2）。（2)81＝(eq\r（4,3））16＝16。（3)log（2＋eq\r（3））（2－eq\r（3))＝log（2＋eq\r(3)）(2＋eq\r（3)）－1＝－1。（4）625＝（eq\r(3,54))3＝3。點(diǎn)評(píng):首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，進(jìn)一步根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算出結(jié)果，對(duì)數(shù)的定義是轉(zhuǎn)化和對(duì)數(shù)恒等式的依據(jù)。變式訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)A5。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．把下列各題的指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4）2x＝0.5;（5)54＝625；(6）3－2＝eq\f(1,9）；(7)(eq\f(1，4))－2＝16。解：（1)2＝log416;(2）0＝log31；（3）x＝log42；（4）x＝log20.5；(5)4＝log5625；(6）－2＝log3eq\f(1，9）；（7）－2＝logeq\f（1，4)16.2．把下列各題的對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式:（1）x＝log527；(2)x＝log87；（3)x＝log43；(4)x＝log7eq\f(1,3）;(5)log216＝4；(6）27＝－3；（7)x＝6；（8)logx64＝－6；（9）log2128＝7;(10）log327＝a。解:（1)5x＝27；(2)8x＝7；(3）4x＝3；（4)7x＝eq\f（1,3）;（5)24＝16；（6）(eq\f（1，3））－3＝27;（7）（eq\r(3)）6＝x；(8)x－6＝64；（9）27＝128；（10)3a＝27.3．求下列各式中x的值：(1）log8x＝－eq\f（2，3)；（2)logx27＝eq\f（3,4）；(3）log2（log5x）＝1；（4)log3(lgx）＝0。解：(1）因?yàn)閘og8x＝－eq\f(2,3)，所以x＝8－eq\f（2,3）＝(23)－eq\f(2,3)＝23×（－eq\f（2，3）)＝2－2＝eq\f(1,4）；(2）因?yàn)閘ogx27＝eq\f(3,4），所以＝27＝33,即x＝（33）＝34＝81;(3）因?yàn)閘og2（log5x)＝1，所以log5x＝2，x＝52＝25;（4）因?yàn)閘og3（lgx)＝0，所以lgx＝1，即x＝101＝10。4．（1)求log84的值；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．解：（1）設(shè)log84＝x，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有8x＝4，即23x＝22，所以x＝eq\f(2，3），即log84＝eq\f（2,3)；(2)因?yàn)閘oga2＝m，loga3＝n，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有am＝2,an＝3,所以a2m＋n＝(am)2·an＝(2)2·3＝4×3＝12。點(diǎn)評(píng):此題不僅是簡單的指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，還涉及到常見的冪的運(yùn)算法則的應(yīng)用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)對(duì)于a＞0,a≠1，下列結(jié)論正確的是(）（1）若M＝N，則logaM＝logaN(2）若logaM＝logaN,則M＝N（3）若logaM2＝logaN2，則M＝N(4)若M＝N，則logaM2＝logaN2A．(1)(3）B．(2)(4）C．(2)D．（1)（2)(4)活動(dòng)：學(xué)生思考,討論,交流，回答,教師及時(shí)評(píng)價(jià)．回想對(duì)數(shù)的有關(guān)規(guī)定．對(duì)（1)若M＝N，當(dāng)M為0或負(fù)數(shù)時(shí)logaM≠logaN，因此錯(cuò)誤；對(duì)(2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,若logaM＝logaN，則M＝N，正確；對(duì)（3）若logaM2＝logaN2，則M＝±N,因此錯(cuò)誤；對(duì)(4)若M＝N＝0時(shí)，則logaM2與logaN2都不存在，因此錯(cuò)誤．綜上,(2)正確．答案：C點(diǎn)評(píng)：0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））（1)對(duì)數(shù)引入的必要性；(2)對(duì)數(shù)的定義;（3）幾種特殊數(shù)的對(duì)數(shù)；(4)負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；（5）對(duì)數(shù)恒等式；（6)兩種特殊的對(duì)數(shù)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)））課本本節(jié)練習(xí)B1、2.eq\o（\s\up7(）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想))本節(jié)課在前面研究了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，引進(jìn)了對(duì)數(shù)的概念，使學(xué)生感受到對(duì)數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景,它有著豐富的內(nèi)涵,和我們的實(shí)際生活聯(lián)系密切，也是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，鑒于這種情況，安排教學(xué)時(shí)，無論是導(dǎo)入還是概念得出的過程，都比較詳細(xì)，通俗易懂,要反復(fù)練習(xí)，要緊緊抓住它與指數(shù)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,結(jié)合指數(shù)式理解對(duì)數(shù)式，強(qiáng)化對(duì)數(shù)是一種運(yùn)算，并注意對(duì)數(shù)運(yùn)算符號(hào)的理解和記憶，多運(yùn)用信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)，為下一節(jié)課作準(zhǔn)備．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（備課資料））［備選例題］例1將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化，有x的求出x的值．(1)＝eq\f(1,\r（5)）；（2)4＝x;（3）3x＝eq\f（1，27)；(4）(eq\f（1,4）)x＝64；(5)lg0。0001＝x.解：(1）＝eq\f(1，\r（5）)化為對(duì)數(shù)式是log5eq\f(1，\r（5）)＝－eq\f(1,2)；(2）x＝4化為指數(shù)式是（eq\r(2))x＝4，即＝22，eq\f(x，2)＝2，x＝4；（3)3x＝eq\f（1,27）化為對(duì)數(shù)式是x＝log3eq\f（1,27），因?yàn)?x＝(eq\f(1，3）)3＝3－3，所以x＝－3;（4）(eq\f（1，4)）x＝64化為對(duì)數(shù)式是x＝logeq\f(1,4）64，因?yàn)椋╡q\f(1，4））x＝64＝43，所以x＝－3；（5）lg0。0001＝x化為指數(shù)式是10x＝0。0001,因?yàn)?0x＝0。0001＝10－4，所以x＝－4。例2計(jì)算3log3eq\r（5)＋eq\r（3)log3eq\f（1,5)的值．解：設(shè)x＝log3eq\f(1,5），則3x＝eq\f(1，5)，（3eq\f(1，2））x＝，所以x＝eq\f（1,\r（5））。所以3log3eq\r（5)＋eq\r(3)log3eq\f(1，5）＝eq\r（5)＋eq\r(3)eq\f（1，\r(5））＝eq\r（5)＋eq\f（1，\r（5）)＝eq\f(6\r(5）,5).例3計(jì)算alogab·logbc·logcN（a＞0，b＞0，c＞0,N＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(設(shè)計(jì)者：路致芳）第2課時(shí)積、商、冪的對(duì)數(shù)導(dǎo)入新課思路1。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．對(duì)數(shù)的定義．2．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．a(chǎn)b＝NlogaN＝b。3．重要公式:(1）負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；（2)loga1＝0,logaa＝1；(3）對(duì)數(shù)恒等式alogaN＝N.下面我們接著講積、商、冪的對(duì)數(shù)〔教師板書課題〕．思路2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)的時(shí)候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運(yùn)算法則,即指數(shù)運(yùn)算法則．a(chǎn)m·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am）n＝amn；eq\r(m，an)＝aeq\f(n，m）.從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對(duì)數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運(yùn)算法則呢?答案是肯定的,這就是本堂課的主要內(nèi)容,點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)1在上節(jié)課中，我們知道，對(duì)數(shù)運(yùn)算可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？2如我們知道am＝M,an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對(duì)數(shù)式運(yùn)算嗎？3在上述2的條件下,類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)能得出其他對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎?4你能否用最簡練的語言描述上述結(jié)論？如果能，請(qǐng)描述。，5上述運(yùn)算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎?6上述結(jié)論能否推廣呢？,7學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對(duì)我們進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算帶來哪些方便呢？討論結(jié)果：(1)通過問題（2)來說明．（2)如am·an＝am＋n,設(shè)M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對(duì)數(shù)的定義得到M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN，MN＝am＋nm＋n＝logaMN，loga(MN）＝logaM＋logaN。因此m＋n可以用對(duì)數(shù)式表示．（3）令M＝am，N＝an,則eq\f(M,N)＝am÷an＝am－n，所以m－n＝logaeq\f(M,N）。又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝logaeq\f（M,N)，即logaeq\f（M,N)＝logaM－logaN.設(shè)M＝am，則Mn＝(am）n＝amn.由對(duì)數(shù)的定義，所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.這樣我們得到對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì):如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有l(wèi)oga(MN)＝logaM＋logaN，①logaeq\f(M，N)＝logaM－logaN，②logaMn＝nlogaM(n∈R)．③(4）以上三個(gè)性質(zhì)可以歸納為：性質(zhì)①：兩數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于各數(shù)的對(duì)數(shù)的和;性質(zhì)②：兩數(shù)商的對(duì)數(shù),等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù);性質(zhì)③:冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘底數(shù)的對(duì)數(shù)．(5）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.（6)性質(zhì)①可以推廣到n個(gè)數(shù)的情形：即loga（M1M2M3…Mn）＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1、M2、M3、…、Mn均大于0）．(7）縱觀這三個(gè)性質(zhì)我們知道，性質(zhì)①的等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和,從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算．性質(zhì)②的等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差,從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算．性質(zhì)③從左往右仍然是降級(jí)運(yùn)算．利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算，大大的方便了對(duì)數(shù)式的化簡和求值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例))思路1例1用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)logaeq\f（xy,z）；(2)loga(x3y5)；（3)logaeq\f（\r(x），yz)；(4)logaeq\f（x2\r(y）,\r(3，z))。解:(1)logaeq\f(xy,z）＝loga（xy）－logaz＝logax＋logay－logaz；（2)loga(x3y5）＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay；(3）logaeq\f(\r(x)，yz)＝logaeq\r(x）－loga(yz）＝loga－（logay＋logaz）＝eq\f（1,2）logax－logay－logaz;（4）logaeq\f(x2\r(y),\r（3，z）)＝loga(x2）＝logax2＋loga＋loga＝2logax＋eq\f（1，2)logay－eq\f(1，3)logaz。點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)上是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減的運(yùn)算.變式訓(xùn)練1．用logax，logay,logaz表示下列各式:（1）loga（x2yz);(2)logaeq\f（x2，yz）；（3）logaeq\f（\r(x）,y2z）?；顒?dòng):學(xué)生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),把整體分解成部分．對(duì)(1)可先利用性質(zhì)1,轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和,再利用性質(zhì)3,把冪的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的積．對(duì)(2)（3）可先利用性質(zhì)2，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差,再利用性質(zhì)1，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和，最后利用性質(zhì)3，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的積.解：(1）loga（x2yz）＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.（2）logaeq\f（x2，yz）＝logax2－loga(yz)＝2logax－logay－logaz.(3)logaeq\f(\r（x），y2z)＝logaeq\r（x）－loga(y2z)＝eq\f(1,2）logax－2logay－logaz。例2計(jì)算：(1）lgeq\r（5，100)；（2)lg4＋lg25；（3)（lg2)2＋lg20×lg5.解：（1)lgeq\r(5，100)＝eq\f（1，5)lg100＝eq\f(2，5)；（2）lg4＋lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2;(3）(lg2）2＋lg20×lg5＝(lg2）2＋(1＋lg2)（1－lg2)＝(lg2)2＋1－（lg2)2＝1.點(diǎn)評(píng)：此例題體現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)注意掌握變形技巧,如變形要化到最簡形式，同時(shí)注意分子、分母的聯(lián)系;要避免錯(cuò)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，特別是對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用，運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視.變式訓(xùn)練計(jì)算：(1）lg14－2lgeq\f(7，3)＋lg7－lg18;（2)eq\f(lg243,lg9)；（3）eq\f(lg\r（27)＋lg8－3lg\r(10)，lg1。2）.解：(1)解法一：lg14－2lgeq\f（7，3）＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg（32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二:lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg14－lg（eq\f(7，3))2＋lg7－lg18＝lgeq\f（14×7,（\f（7，3))2×18)＝lg1＝0。（2)eq\f（lg243，lg9)＝eq\f(lg35，lg32）＝eq\f（5lg3,2lg3）＝eq\f（5,2).（3）eq\f（lg\r(27）＋lg8－3lg\r（10）,lg1.2)＝eq\f（lg(33）\f(1,2)＋lg23－3lg（10）\f（1,2），lg\f（3×22,10))＝eq\f（\f(3，2）lg3＋2lg2－1，lg3＋2lg2－1）＝eq\f(3，2）。思路2例1：求下列各式的值．（1）log525；(2）log0.41；(3)log2（47×25）．解法一：（1)log525＝log552＝2;（2）log0。41＝0;(3）log2（47×25）＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19。解法二:（1)設(shè)log525＝x，則5x＝25＝52，所以x＝2；（2)設(shè)log0.41＝x，則0.4x＝1＝0。40，所以x＝0;（3）log2(47×25）＝log2（214×25)＝log2219＝19，或log2（47×25）＝log247＋log225＝7log222＋log225＝2×7＋5＝19。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的形式。變式訓(xùn)練計(jì)算:(1)log3（92×35）；（2）lg。解：(1）log3（92×35）＝log392＋log335＝log334＋5log33＝4＋5＝9.（2)lg＝eq\f（1,5）lg102＝eq\f（1,5)×2＝eq\f(2，5）.例2計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f（1,2)lgeq\f(32，49）－eq\f（4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245）;（2）lg52＋eq\f（2,3）lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2；（3）eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r（10）,lg1。8)?；顒?dòng):學(xué)生思考、交流，觀察題目特點(diǎn)，教師可以提示引導(dǎo):將真數(shù)中的積、商、冪化為對(duì)數(shù)的和、差、積；再就是逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)把積、商、冪化為對(duì)數(shù)的和、差、積進(jìn)行計(jì)算．再就是逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),把對(duì)數(shù)的和、差、積轉(zhuǎn)化為真數(shù)的積、商、冪再計(jì)算．（1）解法一：eq\f(1，2)lgeq\f（32，49)－eq\f(4,3）lgeq\r(8)＋lgeq\r(245）＝eq\f（1,2）（5lg2－2lg7)－eq\f（4,3）×eq\f（3,2）lg2＋eq\f(1，2）（2lg7＋lg5)＝eq\f（5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f（1,2)lg5＝eq\f(1,2）lg2＋eq\f(1，2)lg5＝eq\f（1,2）(lg2＋lg5)＝eq\f(1，2)lg10＝eq\f(1，2）.解法二：eq\f(1,2）lgeq\f(32，49）－eq\f(4,3)lgeq\r（8)＋lgeq\r(245)＝lgeq\f（4\r（2），7）－＋lg7eq\r（5）＝lgeq\f（4\r（2)×7\r（5)，7×4）＝lg（eq\r（2）×eq\r（5))＝lgeq\r（10）＝eq\f(1,2).（2）解法一:lg52＋eq\f（2,3)lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2＝2lg5＋2lg2＋lg5（2lg2＋lg5)＋（lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3。解法二：lg52＋eq\f（2，3）lg8＋lg5·lg20＋（lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5）＋(1－lg5）2＝2lg10＋lg5[2（1－lg5）＋lg5］＋（1－lg5)2＝2＋lg5（2－lg5）＋（1－lg5）2＝2＋2lg5－（lg5)2＋1－2lg5＋(lg5）2＝3.(3)解法一：eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10）,lg1。8）＝eq\f(\f（1,2)lg2＋lg9－lg10，lg1。8）＝eq\f（lg\f（18，10),2lg1。8）＝eq\f（lg1。8，2lg1.8）＝eq\f（1，2）.解法二：eq\f(lg\r（2）＋lg3－lg\r（10）,lg1。8)＝eq\f（\f(1，2）lg2＋lg3－\f（1,2），lg\f（18，10))＝eq\f(\f(1，2）lg2＋lg3－\f（1，2)，2lg3＋lg2－1）＝eq\f（\f(1，2）2lg3＋lg2－1，2lg3＋lg2－1)＝eq\f（1，2）.點(diǎn)評(píng):這類問題一般有以下幾種處理方法：一是將真數(shù)中的積、商、冪運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化為對(duì)數(shù)的和、差、積,然后化簡求值;二是將式中對(duì)數(shù)的和、差、積運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化為真數(shù)的積、商、冪，然后化簡求值;三是上述兩種方法靈活運(yùn)用,化簡求值.變式訓(xùn)練計(jì)算：(1)2log510＋log50。25;(2）2log525＋3log264；（3)log2(log216)．解：(1)因?yàn)?log510＝log5102＝log5100，所以2log510＋log50.25＝log5100＋log50。25＝log5(100×0.25）＝log552＝2log55＝2。(2)因?yàn)?log525＝2log552＝4log55＝4,3log264＝3log226＝18log22＝18，所以2log525＋3log264＝22。（3）因?yàn)閘og216＝log224＝4,所以log2（log216)＝log24＝log222＝2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）1．用logax，logay，logaz，loga（x＋y)，loga（x－y)表示下列各式：（1)logaeq\f(\r(3,x），y2z)；（2）loga（x·eq\r（4，\f（z3，y2)）);（3)loga(xyeq\f（1，2)z－eq\f（2,3）)；（4)logaeq\f（xy，x2－y2);(5)loga（eq\f（x＋y,x－y）·y）；(6）loga［eq\f（y，xx－y)］3.解：（1）logaeq\f(\r(3,x),y2z）＝logaeq\r（3，x）－logay2z＝eq\f(1，3）logax－(2logay＋logaz)＝eq\f（1，3)logax－2logay－logaz。(2）loga（x·eq\r(4,\f(z3,y2）））＝logax＋logaeq\r(4，\f（z3,y2)）＝logax＋eq\f（1，4）(logaz3－logay2)＝logax－eq\f(2，4）logay＋eq\f（3，4)logaz＝logax－eq\f(1,2)logay＋eq\f（3，4）logaz.(3)loga(xyeq\f（1,2)z－eq\f(2,3))＝logax＋logayeq\f(1,2)＋logaz－eq\f(2，3）＝logax＋eq\f(1，2)logay－eq\f（2，3）logaz。（4)logaeq\f(xy,x2－y2）＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga（x＋y)（x－y）＝logax＋logay－loga（x＋y)－loga（x－y)．（5）loga(eq\f（x＋y，x－y）·y)＝logaeq\f（x＋y，x－y)＋logay＝loga(x＋y）－loga（x－y）＋logay。(6）loga[eq\f（y,x(x－y））]3＝3[logay－logax－loga(x－y）]＝3logay－3logax－3loga（x－y)．2．已知f（x6)＝log2x，則f(8）等于()A.eq\f(4，3)B．8C．18D.eq\f（1,2）解析：因?yàn)閒（x6)＝log2x,x＞0,令x6＝8，得x＝＝,所以f（8）＝log2＝eq\f(1,2）.另解：因?yàn)閒（x6）＝log2x＝eq\f（1,6)log2x6，所以f(x)＝eq\f（1,6)log2x.所以f（8）＝eq\f(1,6)log28＝eq\f(1,6)log223＝eq\f（1,2).答案：D3．若a＞0，a≠1，x＞0,y＞0，x＞y，下列式子正確的個(gè)數(shù)為（）①logax·logay＝loga（x＋y)②logax－logay＝loga(x－y）③logaeq\f(x，y)＝logax÷logay④loga(xy)＝logax·logayA．0B．1C．2D．3答案：A4．若a＞0，a≠1,x＞y＞0,n∈N＋，下列式子正確的個(gè)數(shù)為（）①(logax）n＝nlogax②（logax)n＝logaxn③logax＝－logaeq\f(1，x）④eq\f(logax，logay）＝logaeq\f(x，y）⑤eq\r(n，logax）＝eq\f(1，n）logax⑥eq\f(1，n)logax＝logaeq\r(n,x)⑦logaxn＝nlogax⑧l(xiāng)ogaeq\f(x－y，x＋y)＝－logaeq\f（x＋y，x－y)A．3B．4C．5D．6答案:B5．科學(xué)家以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度．若設(shè)I為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量程度，則里氏震級(jí)r可定義為r＝0。6lgI，試比較6。9級(jí)和7.8級(jí)地震的相對(duì)能量程度．解：設(shè)6.9級(jí)和7。8級(jí)地震的相對(duì)能量程度分別為I1和I2，由題意，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（6.9＝0。6lgI1,，7。8＝0。6lgI2。)）因此0。6（lgI2－lgI1）＝0。9，即lgeq\f（I2，I1）＝1。5.所以eq\f(I2,I1)＝101。5≈32。因此，7。8級(jí)地震的相對(duì)能量程度約為6。9級(jí)地震的相對(duì)能量程度的32倍．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))已知x、y、z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求xeq\f（1,lgy）＋eq\f（1，lgz)·yeq\f(1,lgz)＋eq\f(1，lgx）·zeq\f(1,lgx）＋eq\f（1，lgy)的值．活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)．大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．由于所求的式子是三項(xiàng)積的形式，每一項(xiàng)都有指數(shù)，指數(shù)中又有對(duì)數(shù)，因此想到用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如果能對(duì)所求式子取對(duì)數(shù)，那可能會(huì)好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t。解:令xeq\f（1，lgy）＋eq\f(1，lgz）·yeq\f(1,lgz)＋eq\f(1,lgx)·zeq\f(1，lgx）＋eq\f（1，lgy）＝t,則lgt＝(eq\f(1,lgy)＋eq\f(1，lgz)）lgx＋(eq\f(1，lgz)＋eq\f（1，lgx))lgy＋（eq\f（1,lgx)＋eq\f（1,lgy)）lgz＝eq\f(lgx,lgy)＋eq\f(lgx,lgz）＋eq\f（lgy，lgz)＋eq\f（lgy,lgx）＋eq\f(lgz，lgx)＋eq\f(lgz,lgy)＝eq\f（lgx＋lgz,lgy）＋eq\f（lgx＋lgy，lgz）＋eq\f（lgy＋lgz,lgx)＝eq\f(－lgy，lgy）＋eq\f(－lgz,lgz)＋eq\f(－lgx，lgx）＝－3，所以t＝10－3＝eq\f（1,1000)即為所求．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用，特別是公式的逆向使用．3．對(duì)數(shù)與指數(shù)形式比較：式子ab＝NlogaN＝b名稱a--冪的底數(shù)b-—冪的指數(shù)N—-冪值a--對(duì)數(shù)的底數(shù)b——以a為底的N的對(duì)數(shù)N——真數(shù)運(yùn)算性質(zhì)am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn（a＞0，a≠1，m、n∈R)loga(MN）＝logaM＋logaN；logaeq\f(M，N）＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM（n∈R)(a＞0,a≠1，M＞0，N＞0）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)))課本本節(jié)練習(xí)B1、2、3。eq\o(\s\up7（),\s\do5（設(shè)計(jì)感想))在前面研究了對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便,本節(jié)課我們借助指數(shù)的運(yùn)算法則,推出了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過程，加深對(duì)公式的理解和記憶，對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識(shí)類比指數(shù)的運(yùn)算法則來理解記憶，強(qiáng)化法則的使用條件，注意對(duì)數(shù)式中每一個(gè)字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學(xué)時(shí)，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段,順利完成本堂課的任務(wù)．eq\o（\s\up7（），\s\do5（備課資料)）[備選例題］例已知a、b、c均為正數(shù)，3a＝4b＝6c，求證：eq\f(2，a)＋eq\f(1,b）＝eq\f(2,c)?；顒?dòng):學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的思考過程．從求證的結(jié)論看，解題的關(guān)鍵是設(shè)法把a(bǔ)、b、c從連等號(hào)式中分離出來，為便于找出a、b、c的關(guān)系,不妨設(shè)3a＝4b＝6c＝k(k＞0)，則a、b、c就可用這一變量k表示出來，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)就可證得結(jié)論．證法一：設(shè)3a＝4b＝6c＝k，則k＞0.由對(duì)數(shù)的定義得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，則左邊＝eq\f(2，a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（2,log3k)＋eq\f(1，log4k)＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36，右邊＝eq\f（2,c）＝eq\f（2,log6k)＝2logk6＝logk36，所以eq\f(2，a)＋eq\f（1,b）＝eq\f(2，c).證法二：對(duì)3a＝4b＝6c同時(shí)兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg3a＝lg4b＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以eq\f(c,a)＝eq\f（lg3,lg6）＝log63，eq\f（c，b)＝eq\f(lg4，lg6）＝log64.又eq\f(2c，a）＋eq\f（c,b)＝log6（9×4）＝2，所以eq\f（2，a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2，c).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)．靈活運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)的概念及性質(zhì)解題,適時(shí)轉(zhuǎn)化．(設(shè)計(jì)者：盧巖冰）第3課時(shí)換底公式與自然對(duì)數(shù)導(dǎo)入新課思路1。問題：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎?a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝eq\f(logcb,logca）。教師直接點(diǎn)出課題．思路2.前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1。對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì);2.對(duì)數(shù)恒等式；3。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用．我們能就同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,那么不同底數(shù)的對(duì)數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容．教師板書課題．思路3。從對(duì)數(shù)的定義可以知道,任意不等于1的正數(shù)都可作為對(duì)數(shù)的底,數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),這樣，如果能將其他底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對(duì)數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù),那么，怎么轉(zhuǎn)化呢?這就需要一個(gè)公式,即對(duì)數(shù)的換底公式，從而引出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))eq\a\vs4\al（①已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值.,②根據(jù)①，如a>0，a≠1，你能用含a的對(duì)數(shù)式來表示log23嗎?,③更一般地，我們有l(wèi)ogab＝\f(logcb，logca),如何證明？，④證明logab＝\f(logcb，logca）的依據(jù)是什么？，⑤你能用自己的話概括出換底公式嗎？，⑥換底公式的意義是什么？有什么作用？，⑦什么是自然對(duì)數(shù),如何用計(jì)算器計(jì)算自然對(duì)數(shù)?)活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)提出的問題，交流討論，回顧所學(xué),力求轉(zhuǎn)化，教師適時(shí)指導(dǎo)，必要時(shí)提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．對(duì)①目前還沒有學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式,它們又不是同底,因此可考慮對(duì)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對(duì)②參考①的思路和結(jié)果的形式，借助對(duì)數(shù)的定義可以表示；對(duì)③借助①②的思路，利用對(duì)數(shù)的定義來證明；對(duì)④根據(jù)證明的過程來說明;對(duì)⑤抓住問題的實(shí)質(zhì)，用準(zhǔn)確的語言描述出來,一般是按照從左到右的形式；對(duì)⑥換底公式的意義就在于對(duì)數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了；⑦自然對(duì)數(shù)與常用對(duì)數(shù)是兩種特殊的對(duì)數(shù)，它們對(duì)科學(xué)研究和了解自然起了巨大的作用．討論結(jié)果：①因?yàn)閘g2＝0.3010,lg3＝0.4771，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,所以100。3010＝2，100.4771＝3。不妨設(shè)log23＝x,則2x＝3，所以(100.3010）x＝100.4771，100。3010×x＝100.4771,即0。3010x＝0.4771，x＝eq\f（0。4771,0.3010)＝eq\f（lg3，lg2).因此log23＝eq\f(lg3，lg2）＝eq\f（0.4771，0.3010）≈1.5851。②根據(jù)①我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg2與lg3表示，是通過對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對(duì)數(shù)，不妨設(shè)log23＝x，由對(duì)數(shù)定義知道，2x＝3,兩邊都取以a為底的對(duì)數(shù)，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝eq\f（loga3，loga2），也就是log23＝eq\f（loga3，loga2）。這樣log23就表示成了以a為底的3的對(duì)數(shù)與以a為底的2的對(duì)數(shù)的商．③證明logab＝eq\f(logcb,logca)。證明：設(shè)logab＝x，由對(duì)數(shù)定義知道,ax＝b;兩邊取c為底的對(duì)數(shù)，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；所以x＝eq\f（logcb,logca），即logab＝eq\f(logcb，logca）。一般地，logab＝eq\f(logcb，logca）（a＞0，a≠1,b＞0，c＞0，c≠1）稱為對(duì)數(shù)換底公式．④由③的證明過程來看,換底公式的證明要緊扣對(duì)數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若M＞0，N＞0，M＝N,則logaM＝logaN。⑤一個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù),等于同一底數(shù)的真數(shù)的對(duì)數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的商，這樣就把一個(gè)對(duì)數(shù)變成了與原來對(duì)數(shù)的底數(shù)不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)的商．⑥換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運(yùn)算法則創(chuàng)造條件，更方便化簡求值．說明:我們使用的計(jì)算器中，“l(fā)og”通常是常用對(duì)數(shù)，因此要使用計(jì)算器計(jì)算對(duì)數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)．如log23＝eq\f(lg3,lg2），即計(jì)算log23的值的按鍵順序?yàn)椋骸發(fā)og”→“3"→“÷”→“l(fā)og"→“2”→“＝”．再如：在前面要求我國人口達(dá)到18億的年份，就是要計(jì)算x＝log1.01eq\f(18,13），所以x＝log1。01eq\f（18,13）＝eq\f(lg\f（18，13），lg1。01)＝eq\f(lg18－lg13,lg1。01)≈eq\f（1。2553－1。139，0。043）＝32。8837≈33年．可以看到運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，有時(shí)要方便得多．⑦在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)．以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)．logeN通常記作lnN.根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式，可以得到自然對(duì)數(shù)與常用對(duì)數(shù)的關(guān)系：lnN＝eq\f（lgN，lge)≈eq\f（lgN,0.4343)，即lnN≈2。3026lgN.用科學(xué)計(jì)算器可直接求自然對(duì)數(shù)．例如,求ln34（精確到0。0001),可用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算如下：按鍵顯示eq\x（ln)34eq\x（＝）3.526360525所以ln34≈3.5264。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例）)思路1例1求下列各式的值：(1)log89·log2732的值；（2）ln1。解：(1）log89·log2732＝eq\f（lg9,lg8）×eq\f(lg32,lg27）＝eq\f(2lg3，3lg2)×eq\f（5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3）×eq\f（5，3）＝eq\f(10,9）。（2)因?yàn)閑0＝1，所以ln1＝0。變式訓(xùn)練計(jì)算：（1)log927；（2）lne5。解：(1）log927＝eq\f（log327，log39）＝eq\f(3,2）.（2)因?yàn)閘ne5＝5lne＝5，所以lne5＝5.例2(1）求證：logxylogyz＝logxz。證明：因?yàn)閘ogxylogyz＝logxyeq\f（logxz，logxy)＝logxz，所以logxylogyz＝logxz.(2)求證:loganbn＝logab.證明：因?yàn)閘oganbn＝eq\f(logabn,logaan)＝eq\f（nlogab,nlogaa)＝logab，所以loganbn＝logab.點(diǎn)評(píng)：本題的結(jié)論可作為公式直接應(yīng)用。變式訓(xùn)練本節(jié)練習(xí)A3、5。思路2例1（1)已知log23＝a，log37＝b，用a、b表示log4256.（2）若log83＝p，log35＝q，求lg5?；顒?dòng)：學(xué)生交流，展示自己的思維過程，教師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)及時(shí)評(píng)價(jià)，要注意轉(zhuǎn)化．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)法則和換底公式進(jìn)行化簡，然后再表示．對(duì)（1）據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡．對(duì)（2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再靈活利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決．解：（1)因?yàn)閘og23＝a，則eq\f(1,a）＝log32，又因?yàn)閘og37＝b，所以log4256＝eq\f(log356，log342)＝eq\f（log37＋3·log32，log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3，ab＋a＋1）.(2)因?yàn)閘og83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p。所以log32＝eq\f（1，3p)。又因?yàn)閘og35＝q，所以lg5＝eq\f（log35,log310）＝eq\f（log35,log32＋log35）＝eq\f(3pq，1＋3pq)。點(diǎn)評(píng)：本題是條件問題,要充分考慮到條件與結(jié)論的關(guān)系，更要靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì).變式訓(xùn)練已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645。解：因?yàn)閘og189＝a，所以log18eq\f(18,2）＝1－log182＝a。所以log182＝1－a.因?yàn)?8b＝5，所以log185＝b.所以log3645＝eq\f（log1845,log1836）＝eq\f（log189＋log185,1＋log182)＝eq\f（a＋b,2－a).點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，根據(jù)問題的需要，指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式,或?qū)?shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，這正是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想,要注意學(xué)習(xí)、體會(huì)，逐步達(dá)到靈活運(yùn)用。例2設(shè)x、y、z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z。（1）求證：eq\f（1，x)＋eq\f(1,2y)＝eq\f(1，z）；(2)比較3x、4y、6z的大小．活動(dòng):學(xué)生觀察,積極思考,盡量把所學(xué)知識(shí)與題目結(jié)合起來，教師及時(shí)提示引導(dǎo)．（1）利用對(duì)數(shù)的定義把x、y、z表示出來，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義把3x＝4y＝6z轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，求出x、y、z,然后計(jì)算．（2)在（1)的基礎(chǔ)上利用中間量，作差比較，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行比較．(1）證明：設(shè)3x＝4y＝6z＝k，因?yàn)閤、y、z∈(0,＋∞),所以k＞1。取對(duì)數(shù)，得x＝eq\f(lgk,lg3)，y＝eq\f（lgk，lg4)，z＝eq\f（lgk，lg6)，所以eq\f(1,x)＋eq\f（1，2y)＝eq\f（lg3，lgk）＋eq\f(lg4,2lgk)＝eq\f(2lg3＋lg4,2lgk）＝eq\f(2lg3＋2lg2,2lgk）＝eq\f（lg6,lgk）＝eq\f（1，z)，即eq\f(1，x）＋eq\f(1，2y)＝eq\f（1，z)。(2）解：因?yàn)?x－4y＝(eq\f（3,lg3）－eq\f（4,lg4)）lgk＝eq\f(lg64－lg81，lg3·lg4)lgk＝eq\f（lgk·lg\f(64,81),lg3·lg4）＜0,所以3x＜4y.又因?yàn)?y－6z＝（eq\f(4,lg4)－eq\f（6,lg6）)lgk＝eq\f(lg36－lg64,lg2·lg6)lgk＝eq\f（lgk·lg\f（9，16),lg2·lg6)＜0,所以4y＜6z。所以3x＜4y＜6z。點(diǎn)評(píng):如果題目中有指數(shù)式,常根據(jù)對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，有對(duì)數(shù)式常根據(jù)對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，比較大小常用作差，如果是幾個(gè)數(shù)比較大小,有時(shí)采用中間量法，要具體情況具體分析．例3已知logax＝logac＋b，求x.活動(dòng):學(xué)生討論,教師指導(dǎo)，教師提問,學(xué)生回答，教師對(duì)解題中出現(xiàn)的問題及時(shí)處理．把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解,或把b轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來解．由于x作為真數(shù)，故可直接利用對(duì)數(shù)定義求解;另外,由于等式右端為兩實(shí)數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將logac移到等式左端，或者將b變?yōu)閷?duì)數(shù)形式來解．解法一：由對(duì)數(shù)定義,可知x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab.解法二：由已知移項(xiàng)可得logax－logac＝b，即logaeq\f(x，c)＝b，由對(duì)數(shù)定義，知eq\f（x,c）＝ab，所以x＝c·ab。解法三：因?yàn)閎＝logaab，所以logax＝logac＋logaab＝logac·ab.所以x＝c·ab。點(diǎn)評(píng)：利用對(duì)數(shù)定義進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化對(duì)解題起到關(guān)鍵作用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))（1)已知lg2＝a,lg3＝b，則eq\f(lg12，lg15）等于()A。eq\f(2a＋b,1＋a＋b）B。eq\f(a＋2b，1＋a＋b)C。eq\f（2a＋b，1－a＋b)D。eq\f(a＋2b,1－a＋b）(2)已知2lg(x－2y）＝lgx＋lgy，則eq\f（x,y)的值為()A．1B．4C．1或4D．4或－1(3）若3a＝2，則log38－2log36＝__________.(4)lg12.5－lgeq\f(5,8)＋lg0.5＝__________.答案:（1)C（2)B(3)a－2(4)1eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)探究換底公式的其他證明方法：活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)：大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．證法一：設(shè)logaN＝x,則ax＝N，兩邊取以c（c＞0且c≠1）為底的對(duì)數(shù),得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN,即x＝eq\f（logcN，logca）.故logaN＝eq\f(logcN，logca)。證法二:由對(duì)數(shù)恒等式，得N＝alogaN,兩邊取以c(c＞0且c≠1）為底的對(duì)數(shù)，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝eq\f(logcN,logca）。證法三：令logca＝m,logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝(cm）n＝cmn.兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得mn＝logcN,所以n＝eq\f（logcN,m）,即logaN＝eq\f(logcN,logca）。對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式