數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的奇偶性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析本節(jié)討論函數(shù)的奇偶性是描述函數(shù)整體性質(zhì)的．教材沿用了處理函數(shù)單調(diào)性的方法，即先給出幾個(gè)特殊函數(shù)的圖象,讓學(xué)生通過圖象直觀獲得函數(shù)奇偶性的認(rèn)識，然后利用表格探究數(shù)量變化特征，通過代數(shù)運(yùn)算，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個(gè)基礎(chǔ)上建立了奇(偶）函數(shù)的概念．因此教學(xué)時(shí)，充分利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,會使數(shù)與形的結(jié)合更加自然．三維目標(biāo)1．理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力．2．學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義．教學(xué)難點(diǎn)：判斷函數(shù)的奇偶性的方法與書寫過程格式．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7（），\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1。同學(xué)們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢？(學(xué)生回答可能有和諧美、自然美、對稱美……)今天，我們就來討論對稱美,請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢?(學(xué)生舉例,再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當(dāng)勞的標(biāo)志)生活中的美引入我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，它又是怎樣的情況呢?下面,我們以麥當(dāng)勞的標(biāo)志為例，給它適當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系,那么大家發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)呢？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖象關(guān)于y軸對稱．)數(shù)學(xué)中對稱的形式也很多，這節(jié)課我們就同學(xué)們談到的與y軸對稱的函數(shù)展開研究．思路2。結(jié)合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學(xué)們觀察圖形，說出函數(shù)y＝x2和y＝x3的圖象各有怎樣的對稱性？引出課題:函數(shù)的奇偶性．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)①如下圖所示,觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性．②那么如何利用函數(shù)的解析式描述函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱呢?填寫下面兩表，你發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)的解析式具有什么共同特征？x－3－2－10123f(x)＝x2x－3－2－10123f（x)＝|x｜③請給出偶函數(shù)的定義？④偶函數(shù)的圖象有什么特征？⑤函數(shù)f(x）＝x2，x∈［－1,2]是偶函數(shù)嗎？⑥偶函數(shù)的定義域有什么特征？⑦觀察函數(shù)f(x)＝x和f（x）＝eq\f(1，x）的圖象,類比偶函數(shù)的推導(dǎo)過程，給出奇函數(shù)的定義和性質(zhì)？活動：教師從以下幾點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生：①觀察圖象的對稱性．②學(xué)生給出這兩個(gè)函數(shù)的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數(shù)稱為偶函數(shù)．③利用函數(shù)的解析式來描述．④偶函數(shù)的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱．⑤函數(shù)f（x）＝x2，x∈[－1,2］的圖象關(guān)于y軸不對稱；對定義域［－1，2］內(nèi)x＝2，f（－2）不存在，即其函數(shù)的定義域中任意一個(gè)x的相反數(shù)－x不一定也在定義域內(nèi)，即f（－x)＝f（x）不恒成立．⑥偶函數(shù)的定義域中任意一個(gè)x的相反數(shù)－x一定也在定義域內(nèi)，此時(shí)稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．⑦先判斷它們的圖象的共同特征是關(guān)于原點(diǎn)對稱,再列表格觀察自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值的變化情況，進(jìn)而抽象出奇函數(shù)的概念，再討論奇函數(shù)的性質(zhì)．給出偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義后，要指明:(1）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；（2）由函數(shù)的奇偶性定義，可知函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)；(3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；(4）可以利用圖象判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為定義法；(5）函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的性質(zhì)是“整體”性質(zhì),而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的子集上的性質(zhì)是“局部"性質(zhì)．討論結(jié)果：①這兩個(gè)函數(shù)之間的圖象都關(guān)于y軸對稱．②填表如下．x－3－2－10123f（x）＝x29410149x－3－2－10123f(x）＝|x｜3210123這兩個(gè)函數(shù)的解析式都滿足：f(－3)＝f(3)；f（－2)＝f(2);f(－1）＝f(1)．可以發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)定義域內(nèi)任意的兩個(gè)相反數(shù),它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，也就是說對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f（－x）＝f（x)．③設(shè)函數(shù)y＝g(x）的定義域?yàn)镈,如果對D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有－x∈D，且g（－x）＝g（x），則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)．④偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．⑤不是偶函數(shù)．⑥偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)軸對稱．⑦設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈,如果對D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D,且f（－x）＝－f（x），則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，其定義域關(guān)于原點(diǎn)軸對稱．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））思路1例1判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1)f(x)＝x＋x3＋x5；（2）f（x)＝x2＋1；(3)f（x)＝x＋1；(4）f(x)＝x2,x∈［－1,3］．解：（1）函數(shù)f(x）＝x＋x3＋x5的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R.因?yàn)閒(－x）＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f（x),所以函數(shù)f（x)＝x＋x3＋x5是奇函數(shù)．(2)函數(shù)f(x)＝x2＋1的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R。因?yàn)閒（－x）＝（－x)2＋1＝x2＋1＝f（x），所以f(x)＝x2＋1是偶函數(shù)．（3)函數(shù)f（x）＝x＋1的定義域是R，當(dāng)x∈R時(shí)，－x∈R。因?yàn)閒（－x)＝－x＋1＝－(x－1），－f（x）＝－(x＋1)，所以f(－x）≠－f（x），f（－x)≠f（x)．因此,f(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，存在3∈［－1，3]，而－3［－1，3]，所以f（x)＝x2，x∈［－1,3]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．點(diǎn)評：在奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義中，都要求x∈D，－x∈D，這就是說，一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，它的定義域都一定關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱，那么這個(gè)函數(shù)就失去了是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的前提條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，對定義域內(nèi)任意x，其相反數(shù)－x也在函數(shù)的定義域內(nèi),此時(shí)稱為定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;②確定f（－x)與f（x)的關(guān)系．③作出相應(yīng)結(jié)論：若f（－x)＝f（x)或f(－x)－f(x）＝0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)＝－f（x）或f(－x)＋f（x)＝0，則f(x)是奇函數(shù).變式訓(xùn)練判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f（x）＝x4；（2）f（x)＝x5;(3)f（x）＝x＋eq\f（1,x）;（4）f(x)＝eq\f（1，x2）.活動：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義，利用定義來判斷其奇偶性．先求函數(shù)的定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么再判斷f(－x）＝f(x）或f(－x)＝－f（x)．解：（1)函數(shù)的定義域是R，對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x)＝(－x)4＝x4＝f(x）,所以函數(shù)f（x）＝x4是偶函數(shù)．（2）函數(shù)的定義域是R，對定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x）＝(－x)5＝－x5＝－f（x)，所以函數(shù)f(x）＝x5是奇函數(shù)．(3)函數(shù)的定義域是（－∞，0）∪(0，＋∞)，對定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(－x)＝－x＋eq\f(1，－x)＝－（x＋eq\f(1,x)）＝－f(x），所以函數(shù)f（x)＝x＋eq\f(1,x)是奇函數(shù)．(4）函數(shù)的定義域是(－∞,0）∪(0，＋∞），對定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f（－x）＝eq\f（1，(－x）2）＝eq\f(1,x2）＝f(x），所以函數(shù)f（x)＝eq\f（1,x2）是偶函數(shù)．例2研究函數(shù)y＝eq\f(1,x2）的性質(zhì)并作出它的圖象．解：已知函數(shù)的定義域是x≠0的實(shí)數(shù)集，即｛x∈R｜x≠0}．由函數(shù)的解析式可以推知：對任意的x值，對應(yīng)的函數(shù)值y＞0，函數(shù)的圖象在x軸的上方;函數(shù)的圖象在x＝0處斷開，函數(shù)的圖象被分為兩部分，且f(－x）＝f(x)，這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)x的絕對值變小時(shí),函數(shù)值增大得非常快，當(dāng)x的絕對值變大時(shí)，函數(shù)的圖象向x軸的兩個(gè)方向上靠近x軸．由以上分析，以x＝0為中心，在x軸的兩個(gè)方向上對稱地選取若干個(gè)自變量的值,計(jì)算出對應(yīng)的y值，列出x，y的對應(yīng)值表:x…－3－2－1－eq\f（1，2）…0…eq\f(1,2)123…y…eq\f(1，9）eq\f（1,4）14…不存在…41eq\f（1，4）eq\f(1，9）…在直角坐標(biāo)系中,描點(diǎn)、連成光滑曲線，就得到這個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖所示．由圖象可以看出，這個(gè)函數(shù)在（－∞，0）上是增函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．點(diǎn)評：當(dāng)函數(shù)y＝f(x)不是基本初等函數(shù)時(shí),通常利用其性質(zhì)來畫其圖象，即根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性來估計(jì)其圖象的特點(diǎn).變式訓(xùn)練畫出函數(shù)y＝eq\f（1，x3)的圖象．解：函數(shù)定義域是｛x|x≠0｝，值域是{y|y≠0｝,因此其圖象與兩坐標(biāo)軸均無交點(diǎn)．又∵f(－x）＝eq\f（1,（－x)3)＝－eq\f(1,x3）＝－f(x）．∴函數(shù)y＝eq\f（1，x3)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝eq\f(1,x3)在(0，＋∞)上的圖象，再作出該部分關(guān)于原點(diǎn)的對稱圖象，這兩部分合起來就是函數(shù)y＝eq\f(1，x3)的圖象．如下圖所示．思路2例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝x2，x∈[－1,2];（2)f(x）＝eq\f（x3－x2,x－1)；(3）f(x)＝eq\r(x2－4)＋eq\r（4－x2).活動:學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義和函數(shù)的定義域的求法．先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f(－x)與f（x）的關(guān)系．在（4)中注意定義域的求法，對任意x∈R，有eq\r（1＋x2）＞eq\r（x2）＝|x|≥－x，則eq\r（1＋x2）＋x＞0。則函數(shù)的定義域是R。解：（1)因?yàn)樗亩x域［－1，2］不關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)f（x）＝x2，x∈[－1,2］既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．（2)因?yàn)樗亩x域?yàn)椋鹸｜x∈R且x≠1｝，并不關(guān)于原點(diǎn)對稱,函數(shù)f(x）＝eq\f（x3－x2，x－1)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．（3)∵x2－4≥0且4－x2≥0，∴x＝±2,即f（x)的定義域是{－2,2｝．∵f(2）＝0，f(－2)＝0，∴f（2)＝f(－2），f(2）＝－f(2）．∴f（－x）＝－f(x）,且f（－x)＝f(x）．∴f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性．定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟是(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱時(shí)，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，判斷f（－x)與f(x）或－f（x）是否相等；（2）當(dāng)f（－x）＝f（x）時(shí),此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(－x）＝－f(x)時(shí)，此函數(shù)是奇函數(shù)；（3）當(dāng)f(－x）＝f(x)且f（－x)＝－f（x）時(shí)，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).變式訓(xùn)練1．函數(shù)f（x）＝2x2＋x4，x∈［a，1＋a］是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.答案:－eq\f（1,2)2．判斷下列函數(shù)的奇偶性．（1）y＝x2，x∈［－1，1)；（2)y＝x3＋eq\f（2,x)；（3)y＝eq\r(x2＋1）.答案：(1）非奇非偶函數(shù)；（2)奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)。例2已知函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f（x1·x2）＝f(x1)＋f（x2),且當(dāng)x＞1時(shí)f（x)＞0，f(2)＝1，（1)求證：f(x）是偶函數(shù);(2)求證：f(x）在(0，＋∞)上是增函數(shù)；（3）試比較f(－eq\f（5,2)）與f（eq\f（7,4））的大?。治觯海?）轉(zhuǎn)化為證明f（－x)＝f(x)，利用賦值法證明f（－x）＝f(x)；（2）利用定義法證明單調(diào)性，證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是“去比賽”；(3）利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小，利用函數(shù)的奇偶性,將函數(shù)值f(－eq\f（5,2）)和f（eq\f(7,4））轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值．(1）證明：令x1＝x2＝1，得f(1）＝2f(1)，∴f（1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f（1）＝f［－1×（－1)]＝f(－1）＋f(－1），∴2f（－1）＝0?！鄁（－1)＝0?！鄁（－x）＝f（－1·x)＝f(－1)＋f（x)＝f（x)．∴f（x)是偶函數(shù)．（2)證明:設(shè)x2＞x1＞0，則f(x2）－f（x1)＝f(x1·eq\f（x2，x1))－f(x1)＝f(x1)＋f(eq\f(x2,x1））－f（x1)＝f(eq\f(x2，x1))．∵x2＞x1＞0，∴eq\f（x2，x1)＞1?！鄁(eq\f(x2，x1)）＞0,即f（x2）－f（x1)＞0?！鄁(x2)＞f(x1）．∴f（x)在（0，＋∞)上是增函數(shù)．(3）解：由（1)知f（x)是偶函數(shù),則有f（－eq\f（5,2))＝f(eq\f（5，2）)．由（2)知f(x)在（0,＋∞）上是增函數(shù)，則f（eq\f(5,2))＞f（eq\f(7，4））．∴f(－eq\f(5,2））＞f（eq\f（7，4）)．點(diǎn)評：本題是抽象函數(shù)問題，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其綜合應(yīng)用．判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性通常應(yīng)用定義法,比較抽象函數(shù)值的大小通常利用抽象函數(shù)的單調(diào)性來比較．其關(guān)鍵是將所給的關(guān)系式進(jìn)行有效的變形和恰當(dāng)?shù)馁x值。變式訓(xùn)練已知f（x）是定義在（－∞,＋∞）上的不恒為零的函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x、y，f(x）都滿足f(xy）＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)．（1）求f(1）、f（－1）的值；（2)判斷f(x）的奇偶性，并說明理由．分析：（1)利用賦值法，令x＝y(tǒng)＝1得f（1)的值，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數(shù)，要借助于賦值法得f（－x）＝－f（x）．解:(1)∵f(x)對任意x、y都有f(x·y）＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，∴令x＝y(tǒng)＝1時(shí),有f(1·1)＝1·f(1）＋1·f（1)．∴f(1）＝0?！嗔顇＝y(tǒng)＝－1時(shí)，有f[（－1）·（－1）］＝（－1)·f（－1)＋(－1)·f（－1)．∴f（－1）＝0.（2）是奇函數(shù)．∵f(x)對任意x、y都有f（x·y）＝y(tǒng)f（x)＋xf(y),∴令y＝－1,有f（－x)＝－f(x)＋xf(－1）．將f(－1）＝0代入得f(－x)＝－f（x），∴函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞）上的奇函數(shù).eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）1．設(shè)函數(shù)y＝f(x）是奇函數(shù)．若f(－2）＋f（－1）－3＝f(1）＋f(2）＋3，則f（1）＋f（2)＝__________.解析：∵函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù),∴f（－2)＝－f（2）,f（－1)＝－f（1）．∴－f(2）－f（1)－3＝f（1）＋f(2）＋3.∴2[f(1）＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f（2）＝－3。答案：－32．f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝__________,b＝__________.解析:∵偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴a－1＋2a＝0?！郺＝eq\f(1，3）.∴f(x）＝eq\f(1，3）x2＋bx＋1＋b。又∵f(x）是偶函數(shù)，∴b＝0。答案：eq\f（1，3)03．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x）滿足f(x＋2）＝－f（x)，則f（6)的值為(）A．－1B．0C．1D．2解析：f(6)＝f(4＋2）＝－f（4）＝－f(2＋2）＝f（2）＝f（2＋0)＝－f(0）．又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0）＝0.∴f（6）＝0.答案:Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升)）問題：利用圖象討論基本初等函數(shù)的奇偶性．探究：利用判斷函數(shù)的奇偶性的方法:圖象法,可得正比例函數(shù)y＝kx（k≠0)是奇函數(shù)；反比例函數(shù)y＝eq\f(k，x)(k≠0)是奇函數(shù)；一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0)，當(dāng)b＝0時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0)，當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè))）課本本節(jié)練習(xí)B1、2.eq\o(\s\up7（）,\s\do5(設(shè)計(jì)感想）)單調(diào)性與奇偶性