數(shù)學(xué)教案：幾何概型第二課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時導(dǎo)入新課設(shè)計思路一：（問題導(dǎo)入）下圖是臥室和書房地磚的示意圖，圖中每一塊地磚除顏色外完全相同，小貓分別在臥室和書房中自由地走來走去.在哪個房間里，小貓停留在黑磚上的概率大？臥室（書房）設(shè)計思路二：（情境導(dǎo)入）在概率論發(fā)展的早期,人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個等可能結(jié)果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結(jié)果的情況.例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無限多個。推進新課新知探究對于導(dǎo)入思路一:由于地磚除顏色外完全相同，小貓自由地走來走去,因此，小貓可能會停留在任何一塊地磚上,而且在任何一塊地磚上停留的可能性相同，對于這樣一個隨機事件的概率，有如下的結(jié)論：對于一個隨機試驗，如果我們將每個基本事件理解為從某特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地抽取一點，而該區(qū)域內(nèi)每一點被取到的機會都一樣，這樣就可以把隨機事件與幾何區(qū)域聯(lián)系在一起。如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.幾何概型與古典概型一樣也是一種等可能事件的概率模型，它的特點是：(1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，也就是基本事件有無限多個。（2）基本事件出現(xiàn)的可能性相等。實際上幾何概型是將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，這就是幾何概型.幾何概型的概率計算方法如下：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A）=.這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的“測度”分別是長度、面積和體積等.對于導(dǎo)入思路二：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。（2）幾何概型的概率公式：P(A）=.（3）幾何概型的特點：1°試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個.2°每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.應(yīng)用示例思路1例1取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓（如圖所示），隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.分析：由于是隨機丟豆子，故可以認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)任意一點都是機會均等的，這符合幾何概型的條件，可以看成幾何概型。于是利用幾何概型求概率的公式，豆子落入圓中的概率應(yīng)該等于圓面積與正方形面積的比。解：記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A，則P(A）=.答：豆子落入圓內(nèi)的概率為.點評：在解題時,首先要區(qū)分是古典概型還是幾何概型，這兩種隨機事件的概率類型雖然每一個事件的發(fā)生都是等可能的，但是幾何概型是有無數(shù)個基本事件的情形，古典概型是有有限個基本事件的情形。此外，本例可以利用計算機模擬，過程如下：（1)在Excel軟件中，選定A1，鍵入“=（rand（）—0。5）*2”.(2）選定A1，按“ctrl+C".選定A2～A1000，B1～B1000，按“ctrl+V”。此時，A1～A1000,B1～B1000均為［-1,1］區(qū)間上的均勻隨機數(shù).（3)選定D1,鍵入“=power（A1,2）+power（B1,2)"；再選定D1,按“ctrl+C”；選定D2～D1000,按“ctrl+V"，則D列表示A2+B2。（4）選定F1，鍵入“=IF（D1＞1,1，0)”；再選定F1，按“ctrl+C”;選定F2～F1000，按“ctrl+V”，則如果D列中A2+B2＞1,F列中的值為1,否則F列中的值為0。（5)選定H1，鍵入“FREQUENCY(F1：F10，0。5）”，表示F1~F10中小于或等于0.5的個數(shù)，即前10次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)；類似的，選定H2，鍵入“FREQUENCY（F1:F20，0.5)"，表示前20次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)；選定H3，鍵入“FREQUENCY（F1：F50，0.5)”，表示前50次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)；選定H4，鍵入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)；選定H5,鍵入“FREQUENCY(F1：F500，0。5）"，表示前500次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)；選定H6，鍵入“FREQUENCY（F1：F1000，0.5）”，表示前1000次試驗中落到圓內(nèi)的豆子數(shù)。（6)選定I1，鍵入“H1*4/10”,表示根據(jù)前10次試驗得到圓周率π的估計值；選定I2,鍵入“H2*4/10”，則I2為根據(jù)前20次試驗得到圓周率π的估計值；類似操作,可得I3為根據(jù)前50次試驗得到圓周率π的估計值，I4為根據(jù)前100次試驗得到圓周率π的估計值，I5為根據(jù)前500次試驗得到圓周率π的估計值，I6為根據(jù)前1000次試驗得到圓周率π的估計值.如圖:例2如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.分析：在線段AB上取一點C′，使得線段AC′的長度等于線段AC的長度.那么原問題就轉(zhuǎn)化為求AM小于AC′的概率.所以，當(dāng)點M位于下圖中的線段AC′上時，AM＜AC，故線段AC′即為區(qū)域d.區(qū)域d的測度就是線段AC′的長度，區(qū)域D的測度就是線段AB的長度。解:在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC）=P（AM〈AC′)=。答:AM小于AC′的概率為.變式訓(xùn)練：若將例2改為:如下圖,在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率.解:此時，應(yīng)該看作射線CM落在∠ACB內(nèi)部是等可能的。公式中的區(qū)域D是∠ACB（內(nèi)部）,而區(qū)域d求法應(yīng)該與原題是一樣的，即在線段AB上取一點C′，使得線段AC′的長度等于線段AC的長度（如圖），那么區(qū)域d就是∠ACC′（內(nèi)部）。從而區(qū)域d的測度就是∠ACC′的度數(shù)，區(qū)域D的測度就是∠ACB的度數(shù).∠ACC′==67.5°，所以所求事件的概率為。點評：由此可見，背景相似的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其概率是不一樣的.此題可參考習(xí)題3.3的第6題。例3(會面問題)甲、乙二人約定在12點到下午5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去。設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的,且二人互不影響。求二人能會面的概率.分析:兩人相約的時間都是5小時，設(shè)X，Y分別表示甲、乙二人到達的時刻,因此,0≤X≤5,0≤Y≤5，這樣兩人到達的時刻就構(gòu)成一個正方形,而兩人能會面必須滿足｜X－Y｜≤1，而這個不等式所表示的是一個帶狀的，位于正方形內(nèi)的圖形，由于兩人到達的時刻是隨機的，而且,在每一個時刻到達的可能性是相同的，因此，符合幾何概型所具有的特點，可以運用幾何概型概率的計算方法來計算。解：記A={二人能會面}。以X，Y分別表示甲、乙二人到達的時刻,于是0≤X≤5，0≤Y≤5，即點M落在圖中的陰影部分。所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果.由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的，符合幾何概型的條件.二人會面的條件是：|X－Y｜≤1,故正方形的面積為5×5=25，陰影部分的面積為5-2××42=9.二人能會面的概率為。點評：建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，是解決幾何概型問題的關(guān)鍵。對于“碰面問題”可以模仿本題建立數(shù)學(xué)模型。例4如圖，隨機投擲一個飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢既不扎在黑色的靶心,也不扎在兩個區(qū)域之間,更不會脫靶,求飛鏢扎在下列區(qū)域的概率：（1)編號為25的區(qū)域；（2)編號在6到9之間的區(qū)域;（3）編號為奇數(shù)的區(qū)域.（每一個小區(qū)域的面積相同）分析：由于飛鏢是隨機投擲到靶子上，并且落在靶子的每一個位置的可能性相同，因此,符合幾何概型的特點。解：假設(shè)靶子的每一個區(qū)域的面積為1個單位,則靶子所在圓的面積為28個單位.（1)記事件A為“飛鏢扎在編號為25的區(qū)域”，則P（A)=.（2）記事件B為“飛鏢扎在編號為6到9之間的區(qū)域"，則P(B）=。（3）記事件C為“飛鏢扎在編號為奇數(shù)的區(qū)域”，則P（C)=.答：（1）飛鏢扎在編號為25的區(qū)域的概率為；（2）飛鏢扎在編號在6到9之間的區(qū)域的概率為；(3）飛鏢扎在編號為奇數(shù)的區(qū)域的概率為.點評：仔細(xì)研讀題目,從題目提供的信息進行分析，尋找適當(dāng)?shù)慕忸}方法，是解決本題的要害所在。思路2例1在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子,從中隨機取出10mL，含有麥誘病種子的概率是多少？分析：病種子在這1L種子中的分布可以看作是隨機的，取得的10mL種子可視為區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域D。解：取出10mL麥種，其中“含有病種子”這一事件記為A，則P(A）=。答：含有麥誘病種子的概率為.點評：由于病種子是隨機地處在容器中，它可以位于容器的任何一個位置，而且在每一個位置的可能性相同，符合幾何概型的特點，所以運用幾何概型概率的計算方法來解決本題。例2假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30～7:30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8:00之間，問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A）的概率是多少？分析：由于兩人到達和離開的時刻是隨機的，而且，在每一個時刻到達或離開的可能性是相同的，因此，符合幾何概型所具有的特點，可以運用幾何概型概率的計算方法來計算。解：如圖，以橫坐標(biāo)x表示報紙送到時間，縱坐標(biāo)y表示父親離家時間建立平面直角坐標(biāo)系,假設(shè)隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙，即事件A發(fā)生，所以P(A）==87。5％。點評：建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，該模型符合幾何概型的特點，這是解答本題的關(guān)鍵所在。另外我們還可以運用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬該試驗。設(shè)X是0到1之間的均勻隨機數(shù)，Y也是0到1之間的均勻隨機數(shù)。如果Y+7＞X+6。5,即Y＞X-0。5，那么父親在離開家前能得到報紙.計算機模擬的方法：(1）選定A1，鍵入函數(shù)“=rand(）”;（2）選定A1，按“ctrl+C"，選定A2~A50，B1～B50,按“ctrl+V”。此時，A1~A50，B1～B50均為［0，1]區(qū)間上的均勻隨機數(shù).用A列的數(shù)加7表示父親離開家的時間，B列的數(shù)加6。5表示送報人送到報紙的時間。如果A+7＞B+6。5,即A-B＞-0.5，則表示父親在離開家前能得到報紙.（3）選定D1，鍵入“=A1-B1”；再選定D1，按“ctrl+C”,選定D2D50，按“ctrl+V”.（4)選定E1，鍵入函數(shù)“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”，E1表示統(tǒng)計D列中小于或等于—0。5的數(shù)的個數(shù)，即父親在離開家前不能得到報紙的頻數(shù).（5）選定F1，鍵入“=（50—E1）/50.F1表示統(tǒng)計50次試驗中，父親在離開家前能得到報紙的頻率。下面是我們在計算機上做的50次試驗,得到的結(jié)果是P(A）=0。88，如圖:例3假設(shè)一個直角三角形的兩直角邊的長都是0到1之間的隨機數(shù)，試求斜邊長小于34的事件的概率.分析：由于直角邊的長是0到1之間的隨機數(shù),因此設(shè)兩直角邊的長分別為x,y,而x，y滿足0≤x≤1,0≤y≤1，斜邊長=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示的圖形的任何一個位置,而且在每個位置的可能性相同,滿足幾何概型的特點.解:設(shè)兩直角邊的長分別為x，y,則0≤x≤1，0≤y≤1，斜邊長=,如右圖,樣本空間為邊長是1的正方形區(qū)域,而滿足條件的事件所在的區(qū)域的面積為。因此,所求事件的概率為P=。點評:根據(jù)已知條件，構(gòu)造滿足題目條件的數(shù)學(xué)模型，再運用幾何概型的概率計算方法來計算某個事件發(fā)生的概率,是一種常用的求解概率問題的方法.例4甲、乙兩人相約于中午12點到13點之間在某一個地方碰面，并約定先到者等候20分鐘后可以離開，試設(shè)計模擬方法估計兩人能碰面的概率.分析：當(dāng)兩人到達碰面地點的時間相差在20分鐘之內(nèi)時，兩人能碰面。我們可以用兩個轉(zhuǎn)盤來模擬兩人到達碰面地點的時間.解：運用轉(zhuǎn)盤模擬的方法。具體步驟如下：(1）做兩個帶指針（分針）的轉(zhuǎn)盤，標(biāo)上刻度在0到60來表示時間,如右圖;（2）每個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)m次，并記錄轉(zhuǎn)動得到的結(jié)果,以第一個轉(zhuǎn)盤的結(jié)果x表示甲到達碰面地點的時間，以第二個轉(zhuǎn)盤的結(jié)果y表示乙到達碰面地點的時間;（3）統(tǒng)計兩人能碰面(滿足｜x－y|〈20）的次數(shù)n；（4)計算的值,即為兩人能碰面的概率的近似值(理論值為）.點評:實施模擬的方法除了轉(zhuǎn)盤模擬的方法外，還可以運用現(xiàn)代信息技術(shù)即計算機來模擬,具體操作如下：（1）新建一個電子表格文件，在A1的位置輸入：=RAND(）60，產(chǎn)生一個0到60的隨機數(shù)x；（2)將A1位置處的表達式復(fù)制到B1處,這樣又產(chǎn)生一個0到60的隨機數(shù)y；（3)在C1的位置處輸入：=IF（A1—B1<=-20，0,IF(A1-B1〈20，1，0），判斷兩人能否碰面（即是否滿足｜x－y|<20),如果是,就返回數(shù)值1，否則返回數(shù)值0；(4)將第一行的三個表達式復(fù)制100行,產(chǎn)生100組這樣的數(shù)據(jù),也就是模擬了100次這樣的試驗，并統(tǒng)計每次的結(jié)果；（5）在C101處輸入：=SUM(C1：C100）/100統(tǒng)計這100次重復(fù)試驗中正好兩人能碰面的頻率,即事件“兩人能碰面"發(fā)生的概率的近似值。知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)4、5.解答:4。設(shè)A={射線OA落在∠xOT內(nèi)}.因為射線OA落在∠xOT內(nèi)是隨機的，也就是射線OA可以落在∠xOT內(nèi)任意一個位置，這符合幾何概型的條件，區(qū)域d的測度是60，區(qū)域D的測度是360，根據(jù)幾何概型的概率計算公式,得P（A)=。5.運用計算機模擬的結(jié)果大約為2.7左右.點評：根據(jù)實際問題的背景，判斷是否符合幾何概型的特點，如是則選擇符合題意的“測度”，運用求幾何概型概率的方法來解決問題，此外我們還可以設(shè)計符合問題的模擬方法來模擬得到問題的近似解。課堂小結(jié)在這節(jié)課上我們主要是運用幾何概型求解一些問題的概率,以及運用模擬的方法求某一個事件的概率的近似值.結(jié)合上節(jié)課的內(nèi)容可以知道，幾何概型的概率問題仍然是隨機事件的概率,與古典概型的區(qū)別是古典概型所含的基本事件的個數(shù)是有限個，而幾何概型所包含的基本事件的個數(shù)是無限的。對于幾何概型我們著重研究如下幾種類型：（1)與長度有關(guān)的幾何概型；（2）與面積有關(guān)的幾何概型；(3)與體積有關(guān)的幾何概型；（4)與角度有關(guān)的幾何概型.其中我們對與面積有關(guān)的幾何概型和與體積有關(guān)的幾何概型要求重點掌握.作業(yè)課本習(xí)題3。34、5、6。設(shè)計感想幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一隨機事件的概率模型，在解決實際問題時首先根據(jù)問題的背景，判斷該事件是屬于古典概型還是幾何概型，這兩者的區(qū)別在于構(gòu)成該事件的基本事件的個數(shù)是有限個還是無限個。在使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度成比例.隨機數(shù)在日常生活中，有著廣泛的應(yīng)用，我們可以利用計算器或計算機來產(chǎn)生均勻隨機數(shù)，從而來模擬隨機試驗，其具體方法是：建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數(shù))有關(guān)，然后設(shè)計適當(dāng)?shù)脑囼?，并通過這個試驗的結(jié)果來確定這些量。這種方法也是我們研究問題常用的方法.習(xí)題詳解習(xí)題3.31。記A={燈與兩端距離都大于2m}。因為把一盞燈掛在繩子上的位置是隨機的，也就是說燈掛在繩子上的位置可以是繩子上任意一點，這符合幾何概型的條件，根據(jù)P=，得P（A）=。答：燈與兩端距離都大于2m的概率為13.2.記A={所投的點落入小正方形內(nèi)}。由于是隨機投點，故可以認(rèn)為所投的點落入大正方形內(nèi)任意一點都是機會均等的,這符合幾何概型的條件，可以看成幾何概型。于是利用幾何概型求概率的公式，所投的點落入小正方形內(nèi)的概率應(yīng)該等于小正方形內(nèi)面積與大正方形面積的比，即P(A)=。答：所投的點落入小正方形內(nèi)的概率為.3.記A={所投的點落在梯形內(nèi)部｝。由于是隨機投點，故可以認(rèn)為所投的點落入矩形內(nèi)的任意一點都是機會均等的，這符合幾何概型的條件，可以看成幾何概型。于是利用幾何概型求概率的公式，所投的點落入梯形內(nèi)部的概率應(yīng)該等于梯形面積與矩形面積的比，即P（A)=.答：所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為。4。設(shè)A=｛該點落在正方形內(nèi)｝。因為該點落在正方形內(nèi)是隨機的，也就是該點可以落在正方形內(nèi)任意一個位置，這符合幾何概型的條件，根據(jù)幾何概型的求概率計算公式，得P(A)=。答:乘客到達站臺立即乘上車的概率為。5。分析：直接求“硬幣落下后與格線有公共點”的概率比較困難，可以考慮先求“硬幣落下后與格線無公共點"的概率，再求“硬幣落下后與格線有公共點的概率”.解：因為直徑等于2cm的硬幣投擲到正方形網(wǎng)格上是隨機的，也就是硬幣可以落在正方形網(wǎng)格上任意一個位置，這符合幾何概型的條件。要求“硬幣落下后與格線無公共點”的概率，根據(jù)幾何概型的求概率計算公式:P（A）=，因為每個小正