數(shù)學(xué)教案：建立概率模型

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2建立概率模型eq\o(\s\up7（)，\s\do5(整體設(shè)計））教學(xué)分析本節(jié)教科書通過例2的四種模型的所有可能結(jié)果數(shù)越來越少,調(diào)動起學(xué)生思考探究的興趣；教師在教學(xué)中要注意通過引導(dǎo)學(xué)生體會不同模型的特點以及對各種方法進行比較，提高學(xué)生分析和解決問題的能力．三維目標(biāo)1．使學(xué)生能建立概率模型來解決簡單的實際問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．2．通過學(xué)習(xí)建立概率模型,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力．重點難點教學(xué)重點:建立古典概型．教學(xué)難點：建立古典概型．課時安排1課時eq\o(\s\up7（),\s\do5（教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1。計算事件發(fā)生概率的大小時，要建立概率模型，把什么看成一個基本事件是人為規(guī)定的．今天我們學(xué)習(xí)如何建立概率模型，教師點出課題．思路2。解決實際應(yīng)用問題時，要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決,即建立數(shù)學(xué)模型，這是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是高考的必考內(nèi)容，同樣解決概率問題也要建立概率模型，教師點出課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題)）1．回顧解應(yīng)用題的步驟？2．什么樣的概率屬于古典概型？討論結(jié)果：1.解應(yīng)用題的一般程序：(1）讀：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系,這一關(guān)是基礎(chǔ)．(2)建:將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．熟悉基本數(shù)學(xué)模型,正確進行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān)．（3）解:求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論．一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意義,更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程．（4）答:將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果．2．同時滿足以下兩個條件的概率屬于古典概型：(1)試驗的所有基本事件只有有限個,每次試驗只出現(xiàn)其中一個基本事件;（2)每一次試驗中，每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例）)思路1例口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一球．試計算第二個人摸到白球的概率．分析：我們只需找出4個人按順序依次摸球的所有可能結(jié)果數(shù)和第二個人摸到白球的可能結(jié)果數(shù)．為此考慮用列舉法列出所有可能結(jié)果．解法一：用A表示事件“第二個人摸到白球”．把2個白球編上序號1，2；2個黑球也編上序號1，2。于是，4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果，可用樹狀圖直觀地表示出來(如圖1)．圖1樹狀圖是進行列舉的一種常用方法．從上面的樹狀圖可以看出,試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為24.由于口袋內(nèi)的4個球除顏色外完全相同，因此，這24種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，試驗屬于古典概型．在這24種結(jié)果中，第二個人摸到白球的結(jié)果有12種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝eq\f(12,24）＝eq\f(1,2）,這與第一節(jié)的模擬結(jié)果是一致的．還可以建立另外的模型來計算“第二個人摸到白球"的概率．如果建立的模型能使得試驗的所有可能結(jié)果數(shù)變少，那么我們計算起來就更簡便．解法二：因為是計算“第二個人摸到白球"的概率,所以我們可以只考慮前兩人摸球的情況．前兩人依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹狀圖列舉出來(如圖2)．圖2從上面的樹狀圖可以看出，這個模型的所有可能結(jié)果數(shù)為12,因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此,這12種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個模型也是古典概型．在上面12種結(jié)果中,第二個人摸到白球的結(jié)果有6種,因此“第二個人摸到白球”的概率P（A）＝eq\f（6，12）＝eq\f(1,2）.這里，我們是根據(jù)事件“第二個人摸到白球”的特點,利用試驗結(jié)果的對稱性，只考慮前兩人摸球的情況,從而簡化了模型．還可以從另外一個角度來考慮這個問題．因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此,可以對2個白球不加區(qū)別，對2個黑球也不加區(qū)別,這樣建立的模型的所有可能結(jié)果數(shù)就會更少，由此得到另一種解法．解法三：只考慮球的顏色,4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果可用樹狀圖列舉出來（如圖3)．圖3試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為6,并且這6種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，這個模型是古典概型．在這6種結(jié)果中，第二個人摸到白球的結(jié)果有3種，因此“第二個人摸到白球”的概率P(A)＝eq\f（3，6)＝eq\f（1，2）.下面再給出一種更為簡單的解法．解法四:只考慮第二個人摸出的球的情況，他可能摸到這4個球中的任何一個，這4種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的．第二個人摸到白球的結(jié)果有2種,因此“第二個人摸到白球”的概率P（A）＝eq\f(2，4）＝eq\f(1，2)。點評：畫樹狀圖進行列舉是計算結(jié)果個數(shù)的基本方法之一．解法一利用樹狀圖列出了4個人依次從袋中摸出一球的所有可能結(jié)果，共有24種，其中第二個人摸到白球的結(jié)果有12種，因此算得“第二個人摸到白球”的概率為eq\f(1,2）.解法二利用試驗結(jié)果的對稱性,只考慮前兩人摸球的情況，所有可能結(jié)果減少為12種,簡化了模型．解法三只考慮球的顏色，對2個白球不加區(qū)別，對2個黑球也不加區(qū)別，所有可能結(jié)果只有6種．解法四只考慮第二個人摸出的球的情況，所有可能結(jié)果變?yōu)?種，這個模型最簡單．盡管解法二、三、四建立的模型在解決該問題時比解法一簡便，但解法一也有它的優(yōu)勢,利用解法一可以計算出4個人順次摸球的任何一個事件的概率，而解法二、三、四卻不能做到．教師要提醒學(xué)生,本章古典概率的計算,解法一是最基本的方法．對于一個實際問題,有時從不同的角度考慮,可以建立不同的古典概型來解決。變式訓(xùn)練小明和小剛正在做擲骰子游戲,兩人各擲一枚骰子，當(dāng)兩枚骰子點數(shù)之和為奇數(shù)時，小剛得1分，否則小明得1分．這個游戲公平嗎？分析：計算雙方獲勝的概率，來判斷游戲是否公平．解:設(shè)（x,y)表示小明拋擲骰子點數(shù)是x，小剛拋擲骰子點數(shù)是y，則該概率屬于古典概型．所有的基本事件是：（1,1)，（1，2)，（1,3)，（1,4），（1,5),（1，6），（2，1），(2，2)，（2，3），(2,4)，（2，5),（2,6)，（3,1）,（3,2)，(3，3),（3，4），(3，5），(3，6），（4，1），（4，2）,(4，3），(4,4），（4,5）,（4,6),（5,1)，(5，2),（5，3），(5,4），(5，5),(5,6）,（6，1），(6，2)，(6,3），（6，4），(6,5），(6，6)，即有36種基本事件．其中點數(shù)之和為奇數(shù)的基本事件有：（1,2），（1，4），（1,6),（2,1），(2,3），（2,5），（3，2），(3，4），（3，6）,(4，1)，（4，3),（4,5),（5,2）,（5，4)，(5,6），（6，1),(6，3）,(6，5)．即有18種．所以小剛得1分的概率是eq\f（18，36）＝eq\f（1，2)。則小明得1分的概率是1－eq\f（1,2)＝eq\f（1,2）.則小明獲勝的概率與小剛獲勝的概率相同,游戲公平。思路2例在一個袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1，2,3，4，5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是(）．A。eq\f（3，10) B.eq\f(1,5) C。eq\f（1，10） D。eq\f（1，12)解析：用（x，y）(x≠y)表示從這5個球中隨機取出2個小球上數(shù)字的結(jié)果，其結(jié)果有：(1,2)，(1,3),（1,4)，（1,5)，（2，3），(2,4)，（2，5），(3,4)，(3，5）,(4,5），即共有10種,取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的結(jié)果有：（1,2)，（1,5)，(2，4），共有3種，所以取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率為eq\f(3，10).答案：A點評：求古典概型的概率的步驟：①利用枚舉法計算基本事件的總數(shù)；②利用枚舉法計算所求事件所含基本事件的個數(shù);③代入古典概型的概率計算公式求得。變式訓(xùn)練1．從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：g）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499該自動包裝機包裝的食鹽質(zhì)量在497.5~501.5g之間的概率約為________．分析：觀察表格可得在497.5～501.5g之間的食鹽有：498,501，500，501，499共5袋，則食鹽質(zhì)量在497。5~501.5g之間的概率eq\f（5，20)＝0.25。答案：0.252.某校要從高一、高二、高三共2007名學(xué)生中選取50名組成訪問團,若采用下面的方法選?。合扔梅謱映闃拥姆椒◤?007人中剔除7人，剩下的2000人再按簡單隨機抽樣的方法進行，則每人入選的概率（）．A。不全相等 B．均不相等C。都相等且為eq\f(50,2007) D．都相等且為eq\f(1，40)分析：按分層抽樣抽取樣本時，每個個體被抽到的概率是相等的，都等于eq\f(50,2007).答案:Ceq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練））1．袋中有4個紅球，5個白球，2個黑球，從里面任意摸2個小球，________不是基本事件．(）．A．{正好2個紅球} B．{正好2個黑球｝C．{正好2個白球} D．｛至少一個紅球｝解析：至少一個紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個紅球，所以{至少一個紅球}不是基本事件，其他事件都是基本事件．答案：D2。拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲10000次，那么第9999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（)．A。eq\f(1,9999) B.eq\f(1,10000) C。eq\f(9999，10000） D.eq\f（1,2)答案：D3．有4條線段,長度分別為1，3，5，7，從這四條線段中任取三條，則所取三條線段能夠成一個三角形的概率是（)．A.eq\f（1,4) B.eq\f（1,3) C.eq\f(1，2） D。eq\f(2,5)答案:A4．一個總體含有100個個體,以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本,則指定的某個個體被抽到的概率為________．解析:按簡單隨機抽樣抽取樣本時，每個個體被抽到的概率是相等的，都等于eq\f(5,100），即eq\f(1,20).答案：eq\f（1,20)5．某小組有5名女生，3名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長的概率是________．答案：eq\f（1,8）6．袋中有6個球，其中4個白球,2個紅球,從袋中任意取出兩球,求下列事件的概率：(1）事件A：取出的兩球都是白球；(2)事件B：取出一個是白球,另一個是紅球．分析:首先應(yīng)求出任取兩球的基本事件的總數(shù),然后需分別求出事件A的個數(shù)和事件B的個數(shù)，運用公式求解即可．解:設(shè)4個白球的編號為1，2,3,4，兩個紅球的編號為5，6。從袋中的6個小球中任取兩個的基本事件有：(1，2），(1,3)，(1,4)，（1，5)，(1,6），(2,3),(2，4），（2，5），（2，6），(3,4),(3,5)，(3，6）,（4，5），(4,6)，(5,6)共15個．(1）取出的全是白球的基本事件，共有6個，即為（1，2），（1,3)，(1，4),(2，3)，（2，4），(3,4)，故取出的兩個球都是白球的概率為P(A）＝eq\f(6，15）＝eq\f（2,5).（2）取出一個是白球，而另一個為紅球的基本事件，共有8個,即為（1,5），(1,6）,（2，5），（2,6）,（3,5），（3，6)，(4，5),(4，6)，故取出的兩個球一個是白球，另一個是紅球的概率為P(B）＝eq\f（8,15）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升））1．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點數(shù)m,n為點P（m，n）的坐標(biāo),設(shè)圓Q的方程為x2＋y2＝17.(1)求點P在圓Q上的概率;（2）求點P在圓Q外部的概率．解：m的值的所有可能是1，2,3,4，5,6，n的值的所有可能是1，2，3,4,5,6，所以，點P（m，n)的所有可能情況有6×6＝36種，且每一種可能出現(xiàn)的可能性相等,本問題屬古典概型問題．（1）點P在圓Q上只有P(1，4），P（4，1)兩種情況,根據(jù)古典概型公式，點P在圓Q上的概率為eq\f（2，36）＝eq\f（1，18).（2)點P在圓Q內(nèi)的坐標(biāo)是：（1，1），(1,2)，(1，3)，(2,1),(2,2)，（2，3）,（3,1），(3，2)，共有8個點,所以點P在圓Q外部的概率為1－eq\f(2＋8，36)＝eq\f(13，18）.2．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)投擲3次，求以下事件的概率:(1)3次正面向上;(2)2次正面向上，1次反面向上．解:（1)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)投擲3次的基本事件總數(shù)為8，又事件“3次正面向上”共有基本事件數(shù)為1，設(shè)事件“3次正面向上”為A，∴P（A)＝eq\f（1,8）?！嗍录?次正面向上"發(fā)生的概率為eq\f(1,8）。（2)又事件“2次正面向上，1次反面向上”共有基本事件數(shù)為3,設(shè)事件“2次正面向上，1次反面向上”為B，∴P（B)＝eq\f(3,8）.∴事件“2次正面向上，一次反面向上”發(fā)生的概率為eq\f(3,8）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)本節(jié)課學(xué)習(xí)了同一個古典概型的概率計算問題，可以建立不同的概率模型來解決．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\a