高考真題+知識(shí)總結(jié)+方法總結(jié)+題型突破21二項(xiàng)式定理問(wèn)題專(zhuān)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第頁(yè)近年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題匯編(全國(guó)通用)專(zhuān)題21二項(xiàng)式定理問(wèn)題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅰ)的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）．1．答案－28解析因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為－28．故答案為－28．2．(2022·北京)若，則()A．40B．41C．D．2．答案B解析令，則，令，則，故，故選B．3．(2022·浙江)已知多項(xiàng)式，則__________，___________．3．答案8－2解析含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為8，－2．【知識(shí)總結(jié)】二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)(a＋b)n的展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1．(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n．(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n．(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．(5)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．(6)(a＋b)n的展開(kāi)式與(b＋a)n的展開(kāi)式的項(xiàng)完全相同，但對(duì)應(yīng)的項(xiàng)不相同，而且兩個(gè)展開(kāi)式的通項(xiàng)不同．【題型突破】題型一形如(a＋b)n(n∈N)展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)量的問(wèn)題1．(2021·北京)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))eq\s\up7(4)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是________．1．答案－4解析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(k,4)(x3)4－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,4)(－1)kx12－4k(0≤k≤4，k∈N)．令12－4k＝0，得k＝3，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,4)(－1)3＝－4．2．(2020·全國(guó)Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是________(用數(shù)字作答)．2．答案240解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))k＝2kCeq\o\al(k,6)x12－3k．令12－3k＝0，解得k＝4，故常數(shù)項(xiàng)為24Ceq\o\al(4,6)＝240．3．(2020·北京)在(eq\r(x)－2)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為()A．－5B．5C．－10D．103．答案C解析Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－k(－2)k＝Ceq\o\al(k,5)·(－2)k，令eq\f(5－k,2)＝2，解得k＝1．所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10．4．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)是()A．－20B．－5C．5D．204．答案A解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)r·x5－r·yr．當(dāng)r＝3時(shí)，展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×(－2)3＝－20．故選A．5．(2019·浙江)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．5．答案16eq\r(2)5解析由題意，(eq\r(2)＋x)9的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,9)(eq\r(2))9－rxr(r＝0,1,2，…，9)，當(dāng)r＝0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2)；若展開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則r＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5個(gè)項(xiàng)．6．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的展開(kāi)式中，有理項(xiàng)共有()A．1項(xiàng)B．2項(xiàng)C．3項(xiàng)D．4項(xiàng)6．答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r為整數(shù)，求得r＝0，2，4，6，共計(jì)4項(xiàng)．7．在(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)18＋(1－x)19的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A．4840B．－4840C．3871D．－38717．答案B解析由題意得含x3的項(xiàng)的系數(shù)為－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,6)－…－Ceq\o\al(3,18)－Ceq\o\al(3,19)＝－(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,18)＋Ceq\o\al(3,19)－Ceq\o\al(4,5))＝－(Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,18)＋Ceq\o\al(3,19)－Ceq\o\al(4,5))＝…＝－(Ceq\o\al(4,20)－Ceq\o\al(4,5))＝－4840，故選B．8．若(2x＋1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，則a4＝()A．－32B．32C．－80D．808．答案C解析因?yàn)?2x＋1)5＝[－1＋2(x＋1)]5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(－1)5－r·[2(x＋1)]r＝(－1)5－r·2r·Ceq\o\al(r,5)·(x＋1)r，所以a4＝(－1)1·24·Ceq\o\al(4,5)＝－80，故選C．9．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是－80，則實(shí)數(shù)a＝________．9．答案－2解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax2)5－r·x－eq\f(r,2)＝Ceq\o\al(r,5)a5－r·x10－eq\f(5,2)r，令10－eq\f(5,2)r＝5，得r＝2，所以Ceq\o\al(2,5)a3＝－80，解得a＝－2．10．若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展開(kāi)式中的第5項(xiàng)是常數(shù)，則自然數(shù)n的值為()A．6B．10C．12D．1510．答案C解析由二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展開(kāi)式的第5項(xiàng)Ceq\o\al(4,n)(eq\r(x))n－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))4＝16Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n,2)－6是常數(shù)項(xiàng)，可得eq\f(n,2)－6＝0，解得n＝12．題型二形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)量的問(wèn)題11．(2020·全國(guó)Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A．5B．10C．15D．2011．答案C解析方法一∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15．方法二當(dāng)x＋eq\f(y2,x)中取x時(shí)，x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)，當(dāng)x＋eq\f(y2,x)中取eq\f(y2,x)時(shí)，x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)，∴x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)＝10＋5＝15．12．(2019·全國(guó)Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為()A．12B．16C．20D．2412．答案A解析展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12．13．(3－2x－x4)(2x－1)6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為()A．600B．360C．－600D．－36013．答案C解析由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可知，展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為3×Ceq\o\al(3,6)23(－1)3－2×Ceq\o\al(4,6)22(－1)4＝－600．故選C．14．若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．1D．214．答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,10)·x10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,10)·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)，令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,10)，所以(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝30，解得a＝2．15．(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x的系數(shù)是()A．－4B．－3C．3D．415．答案解法1(1－eq\r(x))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Ceq\o\al(m,6)·(－eq\r(x))m＝Ceq\o\al(m,6)·(－1)mxeq\s\up8(eq\f(m,2))，(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Ceq\o\al(n,4)·(eq\r(x))n＝Ceq\o\al(n,4)xeq\s\up8(eq\f(n,2))，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4．令eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，得m＋n＝2，于是(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x的系數(shù)等于Ceq\o\al(0,6)·(－1)0·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,6)·(－1)1·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,6)·(－1)2·Ceq\o\al(0,4)＝－3．解法2(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4＝[(1－eq\r(x))(1＋eq\r(x))]4(1－eq\r(x))2＝(1－x)4(1－2eq\r(x)＋x)．于是(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(0,4)·1＋Ceq\o\al(1,4)(－1)1×1＝－3．解法3在(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展開(kāi)式中要出現(xiàn)x，可以分為以下三種情況：①(1－eq\r(x))6中選2個(gè)(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中選0個(gè)eq\r(x)作積，這樣得到的x的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(0,4)＝15；②(1－eq\r(x))6中選1個(gè)(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中選1個(gè)eq\r(x)作積，這樣得到的x的系數(shù)為Ceq\o\al(1,6)(－1)1·Ceq\o\al(1,4)＝－24；③(1－eq\r(x))6中選0個(gè)(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中選2個(gè)eq\r(x)作積，這樣得到的x的系數(shù)為Ceq\o\al(0,6)·Ceq\o\al(2,4)＝6．所以x的系數(shù)為15－24＋6＝－3．故選B．16．在(1＋x)6(1＋y)4的展開(kāi)式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．21016．答案C解析在(1＋x)6的展開(kāi)式中，xm的系數(shù)為Ceq\o\al(m,6)，在(1＋y)4的展開(kāi)式中，yn的系數(shù)為Ceq\o\al(n,4)，故f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)·Ceq\o\al(n,4)．所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120．17．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋\f(4,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－30B．30C．－25D．2511．答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋\f(4,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5＋eq\f(4,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－1)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r，易知當(dāng)r＝4或r＝2時(shí)原式有常數(shù)項(xiàng)，令r＝4，T5＝Ceq\o\al(4,5)(－1)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4，令r＝2，T3＝Ceq\o\al(2,5)(－1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2，故所求常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,5)－3×Ceq\o\al(2,5)＝5－30＝－25，故選C．18．已知(1＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n(n∈N*，n＜10)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，則n的最大值是()A．6B．7C．8D．918．答案B解析∵(1＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n(n∈N*，n＜10)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)的展開(kāi)式中沒(méi)有x－1項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)．∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,n)·xn－3r，故n－3r≠0，且n－3r≠－1，即n≠3r，且n≠3r－1，∴n≠3，6，9，且n≠2，5，8，故n的最大值為7，故選B．19．在(1＋x)8(1＋y)5的展開(kāi)式中，記x3y2的系數(shù)為m，x5y3的系數(shù)為n，則m＋n＝()A．1260B．1120C．840D．63019．答案解析二項(xiàng)式(1＋x)8展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,8)xr(其中r＝0,1，…，8)，二項(xiàng)式(1＋y)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)RB＋1＝Ceq\o\al(R,5)yR(其中R＝0,1，…，5)．令r＝3，R＝2，可得Ceq\o\al(5,8)x3Ceq\o\al(2,5)y2＝Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(2,5)x3y2，即m＝Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(2,5)；令r＝5，R＝3，可得Ceq\o\al(5,8)x5Ceq\o\al(3,5)y3＝Ceq\o\al(5,8)Ceq\o\al(3,5)x5y3，即n＝Ceq\o\al(5,8)Ceq\o\al(3,5)．所以m＋n＝560＋560＝1120．故選B．20．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展開(kāi)式中一次項(xiàng)系數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,n)B．Ceq\o\al(2,n＋1)C．Ceq\o\al(n－1,n)D．eq\f(1,2)Ceq\o\al(3,n＋1)20．答案B解析1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n·(n＋1),2)＝Ceq\o\al(2,n＋1)．題型三形如(a＋b＋c)n(n∈N*)展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)量的問(wèn)題21．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是________．21．答案120解析在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋2))5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)為2Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4，23Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2，所以在這幾項(xiàng)的展開(kāi)式中x2的系數(shù)和為2Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＋23Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(0,2)＝40＋80＝120．22．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．1B．11C．－19D．5122．答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＋1))5展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5－k，當(dāng)k＝5時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(5,5)＝1，當(dāng)k＝3時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為－Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)＝－20，當(dāng)k＝1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30．綜上所述，常數(shù)項(xiàng)為1－20＋30＝11．23．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3展開(kāi)后，常數(shù)項(xiàng)是________．23．答案－160解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(x))))6展開(kāi)式的通項(xiàng)是Ceq\o\al(k,6)(eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))k＝(－2)k·Ceq\o\al(k,6)x3－k．令3－k＝0，得k＝3．所以常數(shù)項(xiàng)是Ceq\o\al(3,6)(－2)3＝－160．24．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為()A．28B．－28C．－56D．5624．答案A解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,4)·x－r·(x3－2x)4－r．而(x3－2x)4－r的通項(xiàng)為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,4－r)·(x3)4－r－k·(－2x)k＝(－2)k·Ceq\o\al(k,4－r)·x12－3r－2k(k≤4－r)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(－2)k·Ceq\o\al(r,4)·Ceq\o\al(k,4－r)·x12－4r－2k．令12－4r－2k＝0，可得k＝0，r＝3或k＝2，r＝2．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(0,1)＋4×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,2)＝28，故選A．25．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答)．25．答案eq\f(63\r(2),2)解析解法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(2))2]5＝eq\f(1,32x5)(x＋eq\r(2))10．求原式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為求(x＋eq\r(2))10的展開(kāi)式中含x5項(xiàng)的系數(shù)，即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5．所以所求的常數(shù)項(xiàng)為eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq\f(63\r(2),2)．解法二要得到常數(shù)項(xiàng)，可以對(duì)5個(gè)括號(hào)中的選取情況進(jìn)行分類(lèi)：①5個(gè)括號(hào)中都選取常數(shù)項(xiàng)，這樣得到的常數(shù)項(xiàng)為(eq\r(2))5．②5個(gè)括號(hào)中的1個(gè)選eq\f(x,2)，1個(gè)選eq\f(1,x)，3個(gè)選eq\r(2)，這樣得到的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(2))3．③5個(gè)括號(hào)中的2個(gè)選eq\f(x,2)，2個(gè)選eq\f(1,x)，1個(gè)選eq\r(2)，這樣得到的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(2)．因此展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(eq\r(2))5＋Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(2)＝eq\f(63\r(2),2)．26．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是(用數(shù)字作答)．26．答案15解析因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，所以展開(kāi)式中x2的系數(shù)是Ceq\o\al(2,6)(－1)2＝15．27．(x2＋2x＋3y)5的展開(kāi)式中x5y2的系數(shù)為()A．60B．180C．520D．54027．答案D解析(x2＋2x＋3y)5可看作5個(gè)(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個(gè)y，有Ceq\o\al(2,5)種選法；再?gòu)氖Ｓ嗟娜齻€(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x2，最后一個(gè)括號(hào)里選出x，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1)種選法．所以x5y2的系數(shù)為32Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·2·Ceq\o\al(1,1)＝540．28．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)＋y))6的展開(kāi)式中，x3y3的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)28．答案－120解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)＋y))6表示6個(gè)因式x2－eq\f(2,x)＋y的乘積，在這6個(gè)因式中，有3個(gè)因式選y，其余的3個(gè)因式中有2個(gè)選x2，剩下一個(gè)選－eq\f(2,x)，即可得到x3y3的系數(shù)，即x3y3的系數(shù)是Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)×(－2)＝20×3×(－2)＝－120．29．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))－y))6的展開(kāi)式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為()A．30B．60C．90D．12029．答案B解析展開(kāi)式中含xy的項(xiàng)來(lái)自Ceq\o\al(1,6)(－y)1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)x5－eq\f(4,3)r，令5－eq\f(4,3)r＝1?r＝3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5展開(kāi)式中x的系數(shù)為(－1)3Ceq\o\al(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))－y))6的展開(kāi)式中含xy的項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(1,6)(－1)Ceq\o\al(3,5)(－1)3＝60，故選B．30．(多選)若(1－ax＋x2)4的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為－56，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)的值為－2B．展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為0C．展開(kāi)式中x的系數(shù)為4D．展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為7030．答案BD解析(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展開(kāi)式中x5項(xiàng)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(－ax)3x2＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2．(1－ax＋x2)4＝(x－1)8，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為0，展開(kāi)式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(7,8)(－1)7＝－8，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為Ceq\o\al(4,8)＝70．故選B、D．題型四二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)的系數(shù)和的問(wèn)題31．若(a＋x2)(1＋x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為192，且常數(shù)項(xiàng)為2，則該展開(kāi)式中x4的系數(shù)為()A．30B．45C．60D．8131．答案B解析令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n．令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6．故該展開(kāi)式中x4的系數(shù)為2Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,6)＝45．故選B．32．設(shè)(x－2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，則a0＝________，a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．32．答案－24380解析令x＝－1得a0＝(－1－2)5＝－243．二項(xiàng)式(x－2)5可以寫(xiě)為[(x＋1)－3]5，則a1＝Ceq\o\al(4,5)(－3)4＝405，a2＝Ceq\o\al(3,5)(－3)3＝－270，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－3)2＝90，a4＝Ceq\o\al(1,5)(－3)1＝－15，a5＝Ceq\o\al(0,5)(－3)0＝1，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝405＋2×(－270)＋3×90＋4×(－15)＋5×1＝80．33．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和大于100，則n的最小值為_(kāi)_______；當(dāng)n取最小值時(shí)，該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是________．33．答案4－12解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和等于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\r(3,x)))n的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，令x＝1得二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\r(3,x)))n的展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，即二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為4n，由4n>100得n≥4(n∈N*)，所以n的最小值為4，當(dāng)n＝4時(shí)，二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))4－r(－eq\r(3,x))r＝(－1)r34－rCeq\o\al(r,4)xeq\f(4r,3)－4，令eq\f(4r,3)－4＝0得r＝3，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)334－3·Ceq\o\al(3,4)＝－12．34．若(1－x)2019＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a2019(x＋1)2019，x∈R，則a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019的值為()A．－1－22019B．－1＋22019C．1－22019D．1＋2201934．答案A解析由(1－x)2019＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a2019(x＋1)2019，令x＝－1得a0＝22019；令x＝2得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019＝－1，即a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019＝－1－22019，故選A．35．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．35．答案－3或1解析令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．36．設(shè)(2x－1)6－x6＝(x－1)(a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5)，其中a0，a1，a2，a3，a4，a5為實(shí)數(shù)，則a0＝________，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．36．答案－16解析令x＝0，得a0＝－1；(2x－1)6＝(x＋x－1)6＝Ceq\o\al(0,6)x6＋Ceq\o\al(1,6)x5(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)6，所以(2x－1)6－x6＝Ceq\o\al(1,6)x5(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)6＝(x－1)[Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)5]，則Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6．37．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．10B．20C．30D．4037．答案D解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1．因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中x的系數(shù)與eq\f(1,x)的系數(shù)的和．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)25－rx5－2r·(－1)r．令5－2r＝1，得r＝2，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)25－2×(－1)2＝80；令5－2r＝－1，得r＝3，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中eq\f(1,x)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)25－3×(－1)3＝－40，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40．38．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則a1＋2a2＋…＋nan＝()A．405B．810C．243D．6438．答案B解析(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，兩邊求導(dǎo)得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1．令x＝1，則2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan．又因?yàn)?2x＋1)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810．故選B．39．若(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，則a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝________．39．答案13解析在(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6中，令x＝－1得a0＝(－2＋1)6＝1，對(duì)(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6兩邊求導(dǎo)得12(2x＋1)5＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋6a6(x＋1)5，令x＝0得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝12，則a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝13．40．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，則有()A．m＝2B．a(chǎn)3＝－280C．a(chǎn)0＝－1D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝1440．答案BCD解析令1－x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)－m))7＝(1－m)7＝a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，得m＝3，則令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1，(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝Ceq\o\al(3,7)×(－1)7－3×(－2)3＝－280．對(duì)(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7兩邊求導(dǎo)得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14．故選B、C、D．題型五二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的最值問(wèn)題41．已知(1＋3x)n的展開(kāi)式中，后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_______．41．答案Ceq\o\al(7,15)(3x)7和Ceq\o\al(8,15)(3x)8解析由已知得Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝121，則eq\f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去負(fù)值)，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8．42．在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展開(kāi)式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－360B．－160C．160D．36042．答案B解析因?yàn)檎归_(kāi)式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式共有7項(xiàng)．所以n＝6．所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)x6－2k．由6－2k＝0得k＝3，即常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4＝(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－160．故選B．43．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．210B．180C．160D．17543．答案B解析若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(5,n)最大，則n＝10，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,10)(－2)rx5－eq\f(5r,2)．令5－eq\f(5r,2)＝0，得r＝2．所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(2,10)(－2)2＝180．故選B．44．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是()A．－462B．462C．792D．－79244．答案D解析因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則n＝12．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))12的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,12)x12－2k．令12－2k＝2，得k＝5．所以展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是(－1)5Ceq\o\al(5,12)＝－792．故選D．45．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8，但小于32，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．6eq\r(3,x)B．eq\f(4,\r(x))C．4xeq\r(6,x)D．eq\f(4,\r(x))或4xeq\r(6,x)45．答案A解析令x＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4