數(shù)學(xué)各地名校一模試題分類匯編專題18圓錐曲線解答題練習(xí)(原卷版+解析)

試卷第頁，共SECTIONPAGES頁專題18圓錐曲線解答題一、解答題1．（2022·江蘇海門·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線與其兩條漸近線的交點(diǎn)分別為、，且．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，若，求證：存在定圓與直線相切，并求該定圓的方程．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)P（1，1）作兩條動(dòng)直線l1，l2分別交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D．設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m，試判斷直線m是否經(jīng)過定點(diǎn)，并說明理由．3．（2022·江蘇通州·高三期末）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，直線l交C于A，B兩點(diǎn).(1)若線段AB的中點(diǎn)為，求l的方程；(2)若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且O到l的距離為，求C的方程.4．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知雙曲線的虛軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過左頂點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交一條漸近線于點(diǎn)，過作直線分別交雙曲線左?右兩支于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn).證明：四邊形為平行四邊形.5．（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2022·江蘇如東·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，離心率為e，且點(diǎn)(e，3)，(，b)都在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A，B是雙曲線C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AF1//BF2.證明：為定值.7．（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，過定點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，設(shè)直線AB，AC與直線的交點(diǎn)分別為P，Q，求面積的最小值.8．（2022·江蘇無錫·高三期末）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍.9．（2022·江蘇常州·高三期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率．點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)，直線、分別交橢圓于異于的點(diǎn)、．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線平行于軸，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．10．（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)（不含短軸端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．11．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知橢圓為橢圓的左?右焦點(diǎn)，焦距為，點(diǎn)在上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過軸上的定點(diǎn)？若存在該定點(diǎn)，請求出的值；若不存在，請說明理由.12．（2022·廣東潮州·高三期末）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．13．（2022·廣東東莞·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：.14．（2022·廣東羅湖·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，．(1)求C的方程；(2)證明：為定值．15．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P為l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的切線，切點(diǎn)為Q，試判斷F是否在以為直徑的圓上．16．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知點(diǎn)M為直線：x=-2上的動(dòng)點(diǎn)，N（2，0），過M作直線的垂線l，l交線段MN的垂直平分線于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線AB是否過定點(diǎn)？若不過定點(diǎn)，請說明理由；若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)．17．（2022·廣東佛山·高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線過定點(diǎn).18．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知橢圓過點(diǎn)，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn).19．（2022·湖南常德·高三期末）已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l：經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線BM，AN的斜率分別為，，若，求證：λ為定值．20．（2022·湖南婁底·高三期末）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為F，離心率為，橢圓C上一點(diǎn)為．直線AB的方程為，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F且與AB垂直的直線與直線OM交于P點(diǎn)，過O點(diǎn)作一條與AB平行的直線l，過F作與MO垂直的直線m，設(shè)，求證：直線軸．21．（2022·湖南郴州·高三期末）已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知為點(diǎn)的軌跡上三個(gè)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．22．（2022·湖北武昌·高三期末）已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)、是雙曲線的兩個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線交于，直線交于，證明：直線的傾斜角為定值．23．（2022·湖北江岸·高三期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切.(1)求；(2)若定點(diǎn)，，M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為?恒過一個(gè)定點(diǎn).求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).24．（2022·湖北襄陽·高三期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．(1)求橢圓的方程；(2)直線(,均為常數(shù))與橢圓相交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)(,異于,)，若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，試判斷直線能否過定點(diǎn)？若能，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．25．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知橢圓：（），、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓長軸長等于，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過作垂直于軸的直線，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與橢圓交與點(diǎn)，與橢圓交與點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn).26．（2022·湖北·高三期末）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸右側(cè)），點(diǎn)在拋物線上，直線交軸的正半軸于點(diǎn)且，設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．(1)設(shè)點(diǎn)，；①求證：；②求證：直線與平行；(2)求使面積取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．28．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）已知點(diǎn)、分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l（不過焦點(diǎn)）交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若x軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．29．（2022·山東青島·高三期末）已知橢圓離心率為，短軸長為，過的直線與橢圓C相切于第一象限的T點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和T點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于直線OT，與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：為定值.30．（2022·山東棗莊·高三期末）如圖，為橢圓的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且異于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓的另一交點(diǎn)分別為．(1)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值；(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值．31．（2022·山東萊西·高三期末）已知橢圓的離心率為，A，B為其左?右頂點(diǎn)，，為其左?右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線相切，點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P異于A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別連接AP，并延長交于點(diǎn)M，連接并延長交橢圓C于點(diǎn)N，記△的面積與的面積分別為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo).32．（2022·山東泰安·高三期末）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，射線分別交橢圓于兩點(diǎn)，已知的周長為8，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值.33．（2022·山東青島·高三期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，原點(diǎn)為的重心，證明：的面積為定值.34．（2022·山東德州·高三期末）已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，且FA?(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C的焦點(diǎn)作與x軸不垂直的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).35．（2022·山東淄博·高三期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，漸近線方程為，F(xiàn)到漸近線的距離為．(1)求C的方程；(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線x=t與直線AP，AQ的交點(diǎn)分別為M，N．是否存在實(shí)數(shù)t，使得FM+FN=36．（2022·山東煙臺(tái)·高三期末）已知橢圓Γ:x2a2+y(1)求橢圓Γ的方程；(2)設(shè)橢圓Γ的左、右頂點(diǎn)分別為、，過定點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)、），試探究直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．37．（2022·山東濟(jì)南·高三期末）已知為圓M:x2+y2?2x?15=0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N?1,0，線段(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)，使得GH為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.38．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn)22,32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求F2A?F2B39．（2022·山東日照·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A12,0且與直線x=?12相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線K，(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線K交于B,C兩點(diǎn)，若l//OP且直線OP與直線交于點(diǎn)，求|AB|?|AC||OP|?|OQ|的值；(3)若點(diǎn)D,E在軸上，△PDE的內(nèi)切圓的方程為(x?1)2+y240．（2022·山東臨沂·高三期末）如圖，橢圓Γ：（）的離心率為，直線：x+2y?4=0與Γ只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求橢圓Γ的方程.（2）不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與平行且與Γ交于，兩點(diǎn)，記直線，MB的斜率分別為，，證明：為定值.41．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知拋物線C:y2=4x，點(diǎn)F為C的焦點(diǎn)，過F的直線l交C于A(1)設(shè)A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為R，證明：AR∥FQ；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得直線AT，BT的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．42．（2022·河北唐山·高三期末）已知圓O:x2+y2=4，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，在軸上的射影為，點(diǎn)滿足NP=32NM，記點(diǎn)(1)求曲線的方程；(2)已知F1,0，過的直線與曲線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于C,D兩點(diǎn)，求AB+CD的取值范圍．43．（2022·河北保定·高三期末）已知橢圓經(jīng)過A2,0,B(1)求的方程.(2)若為上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且BMBM+BNBN與OA垂直，試問上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得MN//AG？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.44．（2022·河北張家口·高三期末）已知雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且OA?OB=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.試卷第頁，共SECTIONPAGES頁專題18圓錐曲線解答題一、解答題1．（2022·江蘇海門·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線與其兩條漸近線的交點(diǎn)分別為、，且．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與雙曲線相交于點(diǎn)、，若，求證：存在定圓與直線相切，并求該定圓的方程．【答案】(1)；(2)證明見解析，定圓方程為.【解析】【分析】（1）由二倍角的正切公式可求得，可得出，利用雙曲線的右準(zhǔn)線方程可求得的值，可得出的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）分析可知直線、的斜率都存在，可設(shè)直線直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出，可得出的值，利用等面積法可求得原點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.(1)解：設(shè)漸近線的傾斜角為，則，由已知可得，整理可得，因?yàn)?，解得，則，所以，，雙曲線的右準(zhǔn)線方程為，可得，，故雙曲線的方程為.(2)解：若直線、中有一條直線的斜率不存在時(shí)，則直線、分別與兩坐標(biāo)軸重合，則這兩條直線中有一條直線不與雙曲線相交，不合乎題意；若直線、的斜率都存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，所以，，，所以，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，綜上，存在定圓與直線相切，該定圓的方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)P（1，1）作兩條動(dòng)直線l1，l2分別交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D．設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m，試判斷直線m是否經(jīng)過定點(diǎn)，并說明理由．【答案】(1)y2＝4x；(2)直線m恒過定點(diǎn)(，)，理由見解析.【解析】【分析】（1）由題可得p＝2，即求；（2）利用韋達(dá)定理法及條件可求以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的方程，然后可得公共弦所在直線，進(jìn)而即得.(1)由題意得該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為－(－)＝p＝2，所以該拋物線的方程為y2＝4x．(2)①當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線l1：，直線l2：y－1＝k2（x－1），由，消去y得，顯然，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，，，則以AB為直徑的圓的方程為：，，即＋＋＝0，同理，以CD為直徑的圓的方程為：＋＋＝0，∴以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：．令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)(，)．②當(dāng)直線l1，l2的斜率中有一個(gè)不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)l1的斜率不存在，l2的斜率為k2，則以AB為直徑的圓的方程為：，以CD為直徑的圓的方程為：＋＋＝0，所以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：，此時(shí)直線m恒過定點(diǎn)（，），綜上得：直線m恒過定點(diǎn)（，）．3．（2022·江蘇通州·高三期末）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，直線l交C于A，B兩點(diǎn).(1)若線段AB的中點(diǎn)為，求l的方程；(2)若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且O到l的距離為，求C的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)差法求得直線的方程.（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，求得，從而求得的方程.(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為，所以.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，由于線段的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為.(2)結(jié)合（1）可知雙曲線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由于到的距離為，所以直線的方程為，不妨設(shè)直線的方程為，由于以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性可知點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以雙曲線的方程為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，到的距離為①.由消去并化簡得②，，，.由于以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，，，，，由①得，將代入②得，.所以，雙曲線方程為.綜上所述，雙曲線方程為.4．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知雙曲線的虛軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過左頂點(diǎn)作實(shí)軸的垂線交一條漸近線于點(diǎn)，過作直線分別交雙曲線左?右兩支于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn).證明：四邊形為平行四邊形.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)虛軸長為4，且經(jīng)過點(diǎn)這兩個(gè)條件可求解；（2）要證明四邊形為平行四邊形，即證明對(duì)角線相互平分，也就是證明其對(duì)稱性，這一點(diǎn)通過橫坐標(biāo)之和為零實(shí)現(xiàn).(1)因?yàn)殡p曲線的虛軸長為4，且經(jīng)過，所以解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)聯(lián)立得，由題意知過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立得，則，得，所以，因?yàn)?，所以直線的方程為，聯(lián)立解得，同理可得，所以因?yàn)榧?所以對(duì)角線與互相平分，即四邊形為平行四邊形.5．（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點(diǎn)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率不為，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線過軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點(diǎn)，若直線，的斜率之積為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程求出的值即可求解；（2），設(shè)，，，，直線，的斜率分別為，根據(jù)，，可得利用和所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得利用和所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，將整理為關(guān)于的方程，由對(duì)于任意的恒成立列出等價(jià)條件即可求解.(1)由可得漸近線方程為：，因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，所以，可得，又因?yàn)?，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，，，，由（1）知：，設(shè)直線，的斜率分別為，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，因?yàn)橹本€過軸上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，即，所以，由可得，所以，同理可得，因?yàn)橹本€，的斜率之積為定值，設(shè)定值為，則，整理可得：，其中，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的都成立，所以，可得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：破解此類解析幾何題的關(guān)鍵：一是“圖形”引路，一般需畫出草圖，把已知條件翻譯到圖形中；二是“轉(zhuǎn)化”搭橋，即利用斜率，聯(lián)立方程等，將問題代數(shù)化，一般運(yùn)算量較大.6．（2022·江蘇如東·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，離心率為e，且點(diǎn)(e，3)，(，b)都在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A，B是雙曲線C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且AF1//BF2.證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)，代入雙曲線方程，解出，得到答案.（2）設(shè)直線的傾斜角為，由雙曲線的定義可得出，在在中由余弦定理可得處，同理得出的長，從而可得答案.(1)由點(diǎn)在上，有，解得由點(diǎn)在上，有，即，即所以所以雙曲線的方程為：(2)由AF1//BF2，設(shè)直線的傾斜角為，如圖，連接由雙曲線的定義可得，又在中由余弦定理可得：即所以在中，，同理可得所以所以為定值.7．（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，過定點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，設(shè)直線AB，AC與直線的交點(diǎn)分別為P，Q，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達(dá)，然后表示出直線，的方程，進(jìn)而求得，，求得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.(1)由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入橢圓的方程，整理得，因?yàn)?，設(shè)，，則，①，由（1）得，則直線的方程為，令，得，同理可得將，代入，把①式代入，整理得，由，知所以面積的最小值為8．（2022·江蘇無錫·高三期末）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）列出關(guān)于的方程組，解方程組即得解；（2）設(shè)直線的方程為，其中，，，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，求出，再對(duì)分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的取值范圍.(1)解：由題意知，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：設(shè)直線的方程為，其中，，，，，，，若，則，，若，則，令，，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以綜上：的取值范圍為.9．（2022·江蘇常州·高三期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率．點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的一點(diǎn)，點(diǎn)，直線、分別交橢圓于異于的點(diǎn)、．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線平行于軸，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，寫出直線、的方程，將這兩直線的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，由已知可得，即可求得的值，即可得解.(1)解：由題意知，橢圓的方程為.(2)解：設(shè)點(diǎn)、、，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，即，由韋達(dá)定理可得，則，直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定理可得，可得，因?yàn)檩S，則，即，解得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.10．（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)（不含短軸端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，直接根據(jù)條件列方程，注意挖去兩點(diǎn)，即可得到答案；（2）設(shè)，直線方程為，將，用表示，進(jìn)行計(jì)算可得為定值；(1)設(shè)，，，，，曲線的方程為．(2)設(shè)，直線方程為直線方程為：，方程為：在方程中令，聯(lián)立，，為定值．11．（2022·廣東揭陽·高三期末）已知橢圓為橢圓的左?右焦點(diǎn)，焦距為，點(diǎn)在上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過軸上的定點(diǎn)？若存在該定點(diǎn)，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距求出，再根據(jù)面積的最值求出，即得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，圓與軸的交點(diǎn)為；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線.聯(lián)立直線和圓的方程得到韋達(dá)定理，得到，即，解方程，且即得解.(1)解：由橢圓的焦距為，可得，即.設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為的面積，其中，根據(jù)面積的最大值為，可得.由橢圓的性質(zhì)可得：.于是橢圓的方程為.(2)解：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，以為直徑的圓的方程為圓與軸的交點(diǎn)為當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線.將直線與橢圓聯(lián)立，可得.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則有以為直徑的圓的方程為令，可得：①.其中②，③.②③代入①可得④.式子④可變換為⑤.當(dāng)，且時(shí)，⑤式成立，可解得.綜上可得，以為直徑的圓恒過軸上的定點(diǎn).12．（2022·廣東潮州·高三期末）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值【解析】【分析】（1）求得圓得方程，由直線與圓相切得條件，可得的值，再由離心率可求得，從而可得，即可得出答案；（2），假設(shè)存在，設(shè)，，聯(lián)立,消，利用韋達(dá)定理求得，分析計(jì)算從而可得出結(jié)論.(1)解：由離心率為，得，及，又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，且與直線相切，所以，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：假設(shè)存在，設(shè)，聯(lián)立,消整理得，，設(shè)，則，由，則，要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)，即，此時(shí)為定值，所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與方法，考查了定值定點(diǎn)問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)據(jù)分析能力，計(jì)算量較大.13．（2022·廣東東莞·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，且，點(diǎn)為橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由，右焦點(diǎn)，以及關(guān)系，聯(lián)立可求解出，從而得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出直線的方程，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出和，計(jì)算得，再由，代入化簡計(jì)算，即可得，所以可證明.(1)由題知，得，又因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，則，解得，所以，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以直線的方程是，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，又因?yàn)楹褪卿J角，所以.【點(diǎn)睛】一般橢圓中的動(dòng)點(diǎn)問題，需要設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)題意列式計(jì)算，再由動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的方程代入化簡，即可求出定值.14．（2022·廣東羅湖·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，．(1)求C的方程；(2)證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，再利用弦長公式可得，即求；（2）由題可設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理法可得，且，再計(jì)算即得.(1)∵在上，∴，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，將代入，并整理得，解得，或，∴，解得，∴橢圓的方程為：.(2)由題意知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得∴，且，∴，∴，即為定值.15．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P為l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的切線，切點(diǎn)為Q，試判斷F是否在以為直徑的圓上．【答案】(1)(2)F在以為直徑的圓上【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)差法可得,再由拋物線的定義及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求出即可；（2）設(shè)，切線的方程為，利用直線與拋物線相切求出,,根據(jù)向量的數(shù)量積即可判斷.(1)設(shè)，則所以，整理得，所以．因?yàn)橹本€的方程為，所以．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4，所以，得，故拋物線C的方程為．(2)設(shè)，可知切線的斜率存在且不為0，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組得，由，得，即，所以方程的根為，所以，即．因?yàn)?，所以，所以，即F在以為直徑的圓上．16．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知點(diǎn)M為直線：x=-2上的動(dòng)點(diǎn)，N（2，0），過M作直線的垂線l，l交線段MN的垂直平分線于點(diǎn)P，記點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問直線AB是否過定點(diǎn)？若不過定點(diǎn)，請說明理由；若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)直線過定點(diǎn).【解析】【分析】（1）利用定義法求曲線C的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達(dá)定理，化簡，代入韋達(dá)定理即得解.(1)解：由已知可得，，即點(diǎn)P到定點(diǎn)N的距離等于它到直線的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以N為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，∴曲線C的方程為.(2)解：設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，解得所以直線過定點(diǎn)．17．（2022·廣東佛山·高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入求出，即可得解；（2）可設(shè)直線為，，聯(lián)立，消，利用韋達(dá)定理求得，然后求出直線的方程，整理分析即可得出結(jié)論.(1)解：因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以雙曲線C的方程為；(2)解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，，聯(lián)立，消整理得，依題意得且，即且，，直線的方程為，令，得.所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】18．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知橢圓過點(diǎn)，且該橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件寫出的等量關(guān)系式進(jìn)行求解即可.（2）討論當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，用，坐標(biāo)表示，將韋達(dá)定理代入整理即可得到直線過的定點(diǎn).【詳解】（1）由橢圓過點(diǎn)得，橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，又即，解得，，∴橢圓方程為.（2）證明：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，，，，即，解得或，直線不過點(diǎn),故(舍)，，舍去，故不滿足.②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立，整理得.，，①則，∴，將①代入上式可得，∴，若，，,直線經(jīng)過點(diǎn)與已知矛盾，若，，存在使得成立.∴直線的方程為，故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線恒過定點(diǎn)問題以及韋達(dá)定理和斜率公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19．（2022·湖南常德·高三期末）已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，直線l：經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線BM，AN的斜率分別為，，若，求證：λ為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得，，即求；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理法即求.(1)由題意知右焦點(diǎn)F(1，0)，，又，則，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)設(shè)，，由可得，則，，又，B（2，0），，法一：，由得，∴即λ為定值．法二：即λ為定值．20．（2022·湖南婁底·高三期末）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為F，離心率為，橢圓C上一點(diǎn)為．直線AB的方程為，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F且與AB垂直的直線與直線OM交于P點(diǎn)，過O點(diǎn)作一條與AB平行的直線l，過F作與MO垂直的直線m，設(shè)，求證：直線軸．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率為，橢圓C上一點(diǎn)為這兩個(gè)條件即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)平行或垂直關(guān)系求出相關(guān)直線，再根據(jù)直線的聯(lián)立分別求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證明.(1)依題意得，解得，所以橢圓C的方程為．(2)聯(lián)立橢圓C的方程，與直線AB的方程，消去y得，，設(shè)，，得，，設(shè)，所以，，所以直線MO的斜率為，MO的方程為，F(xiàn)的坐標(biāo)為，過F且與AB垂直的直線方程為，由與聯(lián)立消去y得，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，直線m的方程為，直線l的方程為，由與聯(lián)立消去y得，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為4，所以直線軸．21．（2022·湖南郴州·高三期末）已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知為點(diǎn)的軌跡上三個(gè)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意即可求解；（2）由題意可知為的重心，則有，只需求三角形面積即可，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到線的距離公式和已知條件可求出三角形的底和高的長，即可得解.(1)由已知有，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程(2)由，可知為的重心，∴，由已知的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，由，則，，由，，∴，，∴．22．（2022·湖北武昌·高三期末）已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)、是雙曲線的兩個(gè)實(shí)軸頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線交于，直線交于，證明：直線的傾斜角為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，求得，可設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.(1)解：由題意得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解：由（1）知，雙曲線方程為．設(shè)，則，則，因?yàn)?、，所以．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，則，直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定理可得，則，所以，直線的傾斜角為.23．（2022·湖北江岸·高三期末）已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切.(1)求；(2)若定點(diǎn)，，M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一交點(diǎn)分別為?恒過一個(gè)定點(diǎn).求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，即可求出.（2）根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線與的方程，再由，分別過，.消去代入直線，即可得到直線恒過的定點(diǎn).(1)依題意，直線與圓相切，，.(2)拋物線方程，設(shè)，，，過的直線方程為化簡得：同理，，又，分別過，.∴，消去，代入得，直線恒過一個(gè)定點(diǎn).24．（2022·湖北襄陽·高三期末）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上下頂點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．(1)求橢圓的方程；(2)直線(,均為常數(shù))與橢圓相交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)(,異于,)，若以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，試判斷直線能否過定點(diǎn)？若能，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．【答案】(1)；(2)直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)為.【解析】【分析】（1）由菱形面積得，由內(nèi)切圓圓心到四邊形四邊所在直線距離等于半徑得的一個(gè)等式，兩者結(jié)合解得得橢圓方程；（2）設(shè)，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由求出的關(guān)系，再觀察直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．(1)四邊形的面積為4，且可知四邊形為菱形∴，即①由題意可得直線方程為：，即，∵四邊形內(nèi)切圓方程為∴圓心到直線的距離為，即②．由①②：，，∴橢圓的方程為：；(2)設(shè)，，由得：，∵直線與橢圓相交于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴，即③由韋達(dá)定理得∵以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，∴，，由于，所以，∴，即，從而，即，∴，或適合③．當(dāng)時(shí)，直線，所以恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線，過定點(diǎn)，舍去．綜上可知：直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)為．25．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知橢圓：（），、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓長軸長等于，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過作垂直于軸的直線，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與橢圓交與點(diǎn)，與橢圓交與點(diǎn).求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件：橢圓長軸長等于，離心率為等到方程即可求解；（2）設(shè)方程為，將其與橢圓聯(lián)立，再根據(jù)橢圓上的點(diǎn)得到關(guān)系式，從而求出直線過定點(diǎn)，另一方面還要注意到時(shí)這一特殊情況.(1)由題意可知，∴，又，∴，.∴橢圓方程為.(2)由題，，設(shè)，，.若，設(shè)方程為，由題可知，：，∴，：，∴，消去得.又，∴，∴，即①，，，.代入①式得，∴，解得（舍去）或.∴：，即直線過點(diǎn)，時(shí)，則直線方程為，過點(diǎn).綜上可知直線過定點(diǎn).26．（2022·湖北·高三期末）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸右側(cè)），點(diǎn)在拋物線上，直線交軸的正半軸于點(diǎn)且，設(shè)直線與拋物線相切于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．(1)設(shè)點(diǎn)，；①求證：；②求證：直線與平行；(2)求使面積取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由題易知拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程即可證明；再根據(jù)，結(jié)合焦半徑公式得，進(jìn)而得直線的斜率，最后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得并結(jié)合和斜率證明結(jié)論；（2）由（1）得直線l的方程為，進(jìn)而得，，故，再構(gòu)造函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)求解最值即可得答案.(1)解：由拋物線的焦點(diǎn)為，得，所以拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，所以，由于，所以直線的斜率由得，即，所以直線的斜率，所以，即直線與平行．(2)解：直線l的方程為，即令得，所以直線l與y軸的交點(diǎn)，所以又由（1）知，所以令則∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)，有最小值，即當(dāng)時(shí)，面積取最小值，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為．27．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知雙曲線的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2，0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA斜率為，直線NB斜率為，求證：為定值．【答案】(1)；(2)見解析.【解析】【分析】(1)由虛軸長為，和漸近線方程為，求得和的值，即可；(2)設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理和直線的斜率公式，計(jì)算的值，即可．(1)虛軸長為4，，即，直線為雙曲線的一條漸近線，，，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由題意知，，，由題可知，直線l斜率不能為零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．28．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）已知點(diǎn)、分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l（不過焦點(diǎn)）交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若x軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析，（-2,0）.【解析】（1）根據(jù)離心率為，點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的一點(diǎn)，且,可用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）先用設(shè)而不求法表示出，然后分析得到，代入，求出，即可證明直線過定點(diǎn)（-2，0）.【詳解】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得：即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：.(2)設(shè)直線l：則有，消去y得：，所以因?yàn)閤軸上任意一點(diǎn)到直線與的距離均相等，所以x軸為直線與的角平分線，所以，即所以整理化簡得：即直線l：故直線恒過定點(diǎn)（-2,0）.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.29．（2022·山東青島·高三期末）已知橢圓離心率為，短軸長為，過的直線與橢圓C相切于第一象限的T點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和T點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于直線OT，與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：為定值.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件列式計(jì)算求出橢圓C的方程，再設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助判別式計(jì)算作答.(2)由(1)設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.(1)令橢圓C的半焦距為c，依題意，，而，解得，所以的方程為；顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去y得：，由，解得：或，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)由(1)知，直線的斜率，直線的方程為，設(shè)的方程為，，由解得：，即點(diǎn)，則，由消去y得：，則，，同理，，所以為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．30．（2022·山東棗莊·高三期末）如圖，為橢圓的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)且異于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與圓的另一交點(diǎn)分別為．(1)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值；(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)因?yàn)锳為橢圓的左頂點(diǎn)，故．設(shè)，則，故直線AM的斜率，直線AN的斜率，故．又是上的點(diǎn)，故，即，故．(2)設(shè)，，直線AM的方程為．代入得．于是有，或，故．將AM的方程代入，得，于是有，或，故．所以．設(shè)直線AN的方程為，同理可得．又，故，即．故．所以．令，則．當(dāng)時(shí)，即，即，即時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系問題，涉及到定值以及最值問題，解答時(shí)注意這類問題的一般解決思路，往往要設(shè)直線方程，和圓錐曲線的方程聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，其中要注意應(yīng)用到點(diǎn)在曲線上或者圖形的一些幾何性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大.31．（2022·山東萊西·高三期末）已知橢圓的離心率為，A，B為其左?右頂點(diǎn)，，為其左?右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線相切，點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P異于A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別連接AP，并延長交于點(diǎn)M，連接并延長交橢圓C于點(diǎn)N，記△的面積與的面積分別為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用原點(diǎn)到直線的距離為，求出值，再利用離心率，求出值，最后利用求出的值，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，分別求出直線和直線的方程，然后聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的關(guān)系求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)、、三點(diǎn)共線求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，構(gòu)造方程組即可解得、的值.(1)∵以線段為直徑的圓與直線相切，∴原點(diǎn)到直線的距離為，即，又∵，∴，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，直線的方程為（其中，），∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則直線的方程為,將兩直線方程聯(lián)立得，又∵，∴,即，，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于軸的兩側(cè)，則，∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∴∥,即，,，，故,∵點(diǎn)在橢圓上，∴，又∵點(diǎn)也在橢圓上，∴，以上兩個(gè)方程聯(lián)立求解得，，則存在點(diǎn)，使得.32．（2022·山東泰安·高三期末）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，射線分別交橢圓于兩點(diǎn)，已知的周長為8，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和點(diǎn)在橢圓上建立方程，解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，同理也可以表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，然后將化簡為三點(diǎn)的坐標(biāo)表示，最后化簡即可(1)根據(jù)橢圓的定義可得：解得：將代入方程，得解得：橢圓C的方程為：(2)由題知，，設(shè)，則直線的方程為由得同理可得為定值.【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．33．（2022·山東青島·高三期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，原點(diǎn)為的重心，證明：的面積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距可確定，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入方程解方程組可得答案.（2）設(shè)直線的方程為，和橢圓聯(lián)立，整理得到根與系數(shù)的關(guān)系式，繼而根據(jù)重心性質(zhì)表示出坐標(biāo)為，代入橢圓方程得到參數(shù)之間的關(guān)系式，從而再表示出三角形的高,根據(jù)面積公式表示出的面積，將參數(shù)間的關(guān)系式代入化簡即可證明.(1)由橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且，可知：，即①，將代入方程得：②，①②聯(lián)立解得，②故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)證明：設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，由原點(diǎn)為的重心，可知故可得此時(shí)有，該點(diǎn)在橢圓上，則，不妨取，則有，或，則此時(shí);當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)方程為，則聯(lián)立，整理得：，且需滿足，則，所以y1由原點(diǎn)為的重心知，x0=?(x故坐標(biāo)為，代入到中，化簡得：(8km1+4k又原點(diǎn)為的重心，故到直線的距離為原點(diǎn)到直線距離的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63綜合上述可知：的面積為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及重心性質(zhì)的應(yīng)用，以及橢圓內(nèi)的特殊三角形面積問題，運(yùn)算量比較復(fù)雜而且計(jì)算量較大，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，要利用重心性質(zhì)表示出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并代入橢圓方程中，找到兩參數(shù)之間的關(guān)系式，然后三角形面積的表示這點(diǎn)并不困難，表示的方法也比較常規(guī)，但需要計(jì)算時(shí)十分細(xì)心還要有耐心.34．（2022·山東德州·高三期末）已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，且FA?(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C的焦點(diǎn)作與x軸不垂直的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意知拋物線開口向右可設(shè)其拋物線方程，焦點(diǎn)為Fp2,0，拋物線上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)含有未知數(shù)，再由FA?OA=4可列出1?p2（2）由題意設(shè)直線l：y=kx?1k≠0，My124,y1，Ny224,y2，再把拋物線與直線進(jìn)行聯(lián)立消，得y1y(1)由題意可設(shè)拋物線方程為，A1,y?Fp由FA?OA=4.可得1?p拋物線方程為：.(2)設(shè)直線l：y=kx?1k≠0，My由y2=4xy=k則y1直線OM的方程為y=4y1x，與聯(lián)立可得：A以AB為直徑的圓的圓心為(1,2(y1+y2)y1即x?12=4，解得或x=3即以AB為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)?1,0，.35．（2022·山東淄博·高三期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，漸近線方程為，F(xiàn)到漸近線的距離為．(1)求C的方程；(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點(diǎn)（異于C的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線x=t與直線AP，AQ的交點(diǎn)分別為M，N．是否存在實(shí)數(shù)t，使得FM+FN=【答案】(1)(2)存在，t=?【解析】【分析】（1）根據(jù)F到漸近線的距離為，可求得b，再根據(jù)漸近線方程可求得a,，即得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線的方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量FM,FN的坐標(biāo)，利用其數(shù)量積為零，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入，看能否解出參數(shù)(1)雙曲線一條漸近線方程為，焦點(diǎn)F(?c,0)，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d=|bc|由F到漸近線的距離為可知：，由漸近線方程為知：ba=3，故所以雙曲線方程為：；(2)設(shè)直線l的方程為x=my?2，聯(lián)立x=my?2x2?設(shè)P(x1,則y1所以x1+x假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得FM+FN=故由方程：y=y1x1?1(x?1)同理方程：y=y2x2?1(x?1)所以FM?即(t+2)2則(t+2)2即(t+2)2?(t?1)故存在實(shí)數(shù)t=?12，使得【點(diǎn)睛】本題考查了直線和雙曲線的相交問題，涉及到求雙曲線方程性質(zhì)以及和直線的交點(diǎn)等問題，還滲透了向量的應(yīng)用，比較復(fù)雜，這類問題的一般解決思路，是設(shè)直線方程，然后聯(lián)立圓錐曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，然后利用所給條件得到一個(gè)關(guān)系式，將根與系數(shù)的關(guān)系代入整理化簡，其中關(guān)于字母的運(yùn)算量大，需要細(xì)心耐心對(duì)待.36．（2022·山東煙臺(tái)·高三期末）已知橢圓Γ:x2a2+y(1)求橢圓Γ的方程；(2)設(shè)橢圓Γ的左、右頂點(diǎn)分別為、，過定點(diǎn)的直線與橢圓Γ交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)、），試探究直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值4.【解析】【分析】（1）求出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓Γ的方程，求出的值，可得出橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線與軸不重合，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓Γ的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將韋達(dá)定理代入即可求得結(jié)果.(1)解：由題意2a=4，得，又P263,1在橢圓上，所以所以橢圓Γ的方程為．(2)解：可得、，若直線與軸重合，則與重合，不合乎題意，設(shè)直線的直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立x24+y2Δ=36由韋達(dá)定理可得y1+y直線的方程為y=y1x1+2x+2聯(lián)立兩條直線方程，解得x=2?y1將，代入①，得x=2?2my將y1y2=?6m得x=2?2m×因此，直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值4．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．37．（2022·山東濟(jì)南·高三期末）已知為圓M:x2+y2?2x?15=0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N?1,0，線段(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)，使得GH為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，G【解析】【分析】（1）Q點(diǎn)軌跡符合橢圓定義，因而簡化了運(yùn)算過程；（2）兩條互相垂直的弦所在直線要分為兩種情況：兩條直線斜率均存在或其中一條直線斜率不存在另一條斜率為0，找到直線EF所過定點(diǎn)是本題關(guān)鍵.(1)由題意可知圓M:x2+因?yàn)榫€段PN的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)Q，所以QP=QN，所以又因?yàn)镸N=2<4，所以Q軌跡是以N，M設(shè)（），則，，，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為.(2)（?。┤魞蓷l直線斜率均存在，設(shè)過點(diǎn)N的弦所在直線的方程為x=ty?1（），代入橢圓方程聯(lián)立得：3t設(shè)與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以y1+y則xE同理xF=?4由對(duì)稱性可知EF所過定點(diǎn)必在x軸上，設(shè)為Tx顯然ET//TF，所以化簡得?41+t2（ⅱ）若其中一條直線斜率不存在，則直線EF為x軸；綜上直線EF必過定T?取點(diǎn)N與點(diǎn)T的中點(diǎn)為G，則G?1114,0，因?yàn)樗渣c(diǎn)H在以G為圓心，GT=所以存在定點(diǎn)G，使得GH為定值.38．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過點(diǎn)22,32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求F2A?F2B【答案】(1)(2)7【解析】【分析】（1）結(jié)合離心率e=ca和以及點(diǎn)22,32（2）分別考慮直線的斜率是否存在，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，代入F2A?F(1)由e=ca=∴橢圓方程為x2又橢圓過點(diǎn)22,∴22解得b2=1，∴所以橢圓的方程為.(2)由（1）得F1?1,0，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+1，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程得x消去得2k2Δ=16由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+由已知得F=========當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，則A?1,22，∴F2A=∴∴F綜上所述，F(xiàn)2A?39．（2022·山東日照·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A12,0且與直線x=?12相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線K，(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線K交于B,C兩點(diǎn)，若l//OP且直線OP與直線交于點(diǎn)，求|AB|?|AC||OP|?|OQ|的值；(3)若點(diǎn)D,E在軸上，△PDE的內(nèi)切圓的方程為(x?1)2+y2【答案】(1)y(2)(3)8【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義直接判斷出軌跡寫出方程即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出|AB|?|AC|，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算|OP|,（3）求出DE的長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，代入面積公式，由均值不等式求最值即可.(1)由題意，動(dòng)圓圓心到A(12,0)所以曲線K為拋物線，焦點(diǎn)為A(1所以拋物線方程為y2(2)設(shè)直線l：y=k(x?1則{y=k(x?