2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE課時(shí)作業(yè)(十)離散型隨機(jī)變量的方差[練基礎(chǔ)]1．(多選題)下列說法中，不正確的是()A．離散型隨機(jī)變量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B．離散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．離散型隨機(jī)變量的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．離散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值2．已知隨機(jī)變量X滿意E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，下列說法正確的是()A．E(X)＝－5，D(X)＝5B．E(X)＝－4，D(X)＝－4C．E(X)＝－5，D(X)＝－5D．E(X)＝－4，D(X)＝53．已知X的分布列為X－101P0.50.30.2則D(X)等于()A．0.7B．0.61C．－0.3D．04．隨機(jī)變量X的分布列如下：X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于()A．eq\f(7,32)B．eq\f(9,32)C．eq\f(33,64)D．eq\f(55,64)5．已知隨機(jī)變量ξ的概率分別為P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，則D(2ξ＋3)＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C．2D．eq\f(8,3)6．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．3B．eq\f(5,3)C．eq\f(7,3)D．eq\f(11,3)7．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則ξ的均值為________，方差為________．8．已知某隨機(jī)變量ξ的概率分布列如表，其中x>0，y>0，隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)＝eq\f(1,2)，則x＋y＝________．ξ123Pxyx9.已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．10．袋中有大小相同的小球6個(gè)，其中紅球2個(gè)、黃球4個(gè)，規(guī)定取1個(gè)紅球得2分，取1個(gè)黃球得1分．從袋中任取3個(gè)小球，記所取3個(gè)小球的得分之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列、均值和方差．[提實(shí)力]11．已知隨機(jī)變量ξ的均值為E(ξ)，方差為D(ξ)，隨機(jī)變量η＝eq\f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）))，則D(η)的值為()A．0B．－1C．1D．eq\r(D（ξ）)12．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，當(dāng)生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，兩臺(tái)機(jī)床出次品的概率分別如下表：A機(jī)床次品數(shù)ξ10123概率P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)ξ20123概率P0.80.060.040.1兩臺(tái)機(jī)床的價(jià)格相差不大，若工廠派你去選購(gòu)機(jī)床，你會(huì)選購(gòu)()A．A機(jī)床B．B機(jī)床C．都一樣D．不確定13．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X01mPeq\f(1,5)neq\f(3,10)且E(X)＝1.1，則D(X)＝________．14．設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012Peq\f(p,2)eq\f(1,2)eq\f(1－p,2)則當(dāng)p改變時(shí)，D(ξ)的最大值是________．15．最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢進(jìn)行投資理財(cái)，提出了三種方案：第一種方案，李師傅的兒子認(rèn)為：依據(jù)股市收益大的特點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)將10萬元全部用來買股票．據(jù)分析預(yù)料，投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利的概率為eq\f(1,2).其次種方案，李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險(xiǎn)大，基金風(fēng)險(xiǎn)較小，應(yīng)將10萬元全部用來買基金．據(jù)分析預(yù)料，投資基金一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，且這三種狀況發(fā)生的概率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,5)，eq\f(1,5).第三種方案，李師傅的妻子認(rèn)為：投資股市、基金均有風(fēng)險(xiǎn)，應(yīng)當(dāng)將10萬元全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%.針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方案，并說明理由．[戰(zhàn)疑難]16．已知隨機(jī)變量ξi滿意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0<p1<p2<eq\f(1,2)，則()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)課時(shí)作業(yè)(十)1．解析：離散型隨機(jī)變量X的均值反映了X取值的平均水平，方差反映了X取值的穩(wěn)定程度，故C正確．答案：ABD2．解析：已知E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，依據(jù)均值和方差的性質(zhì)可得1－E(X)＝5，D(X)＝5，解得E(X)＝－4，D(X)＝5.故選D.答案：D3．解析：E(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.故選B.答案：B4．解析：由題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,2)＋2x＋3y＝\f(15,8)，,\f(1,2)＋x＋y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8)．))所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).故選D.答案：D5．解析：由隨機(jī)變量ξ的分布列，可得E(ξ)＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，E(ξ2)＝(12＋22＋32)×eq\f(1,3)＝eq\f(14,3)，∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝eq\f(14,3)－22＝eq\f(2,3)，則D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝eq\f(8,3).故選D.答案：D6．解析：由題知eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，又D(X)＝(x1－E(x))2p1＋(x2－E(X))2p2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，兩式聯(lián)立可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))又x1<x2，所以x1＝1，x2＝2，故x1＋x2＝3.故選A.答案：A7．解析：均值E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；方差D(ξ)＝(－1－E(ξ))2×eq\f(1,2)＋(0－E(ξ))2×eq\f(1,3)＋(1－E(ξ))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9).答案：－eq\f(1,3)eq\f(5,9)8．解析：由題意可得，2x＋y＝1，即y＝1－2x，所以E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，所以D(ξ)＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x＝2x.因?yàn)镈(ξ)＝eq\f(1,2)，所以2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4)，所以y＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以x＋y＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．解析：(1)由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)方法一由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16).方法二由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16).(3)因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.10．解析：由題意可知，X的全部可能的取值為5，4，3.P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，故X的分布列為X543Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(X)＝5×eq\f(1,5)＋4×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝4，D(X)＝(5－4)2×eq\f(1,5)＋(4－4)2×eq\f(3,5)＋(3－4)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).11．解析：E(ξ)與D(ξ)均為常數(shù)，不妨設(shè)E(ξ)＝a，eq\r(D（ξ）)＝b，則η＝eq\f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）))＝eq\f(1,b)ξ－eq\f(a,b).所以D(η)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)ξ－\f(a,b)))＝eq\f(1,b2)D(ξ)＝1.故選C.答案：C12．解析：由題意可得，E(ξ1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(ξ2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44，D(ξ1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，D(ξ2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.因?yàn)镋(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，所以A機(jī)床加工零件較穩(wěn)定、質(zhì)量較好．所以選購(gòu)A機(jī)床．故選A.答案：A13．解析：由eq\f(1,5)＋n＋eq\f(3,10)＝1，得n＝eq\f(1,2)，由E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋m×eq\f(3,10)＝1.1，得m＝2，所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.答案：0.4914．解析：因?yàn)镋(ξ)＝0×eq\f(p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1－p,2)＝eq\f(3－2p,2)，所以D(ξ)＝eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1－p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)[2－(2p－1)2]≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)，因此D(ξ)的最大值是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．解析：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為ξ萬元，則其分布列為ξ4－2Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以E(ξ)＝4×eq\f(1,2)＋(－2)×eq\f(1,2)＝1(萬元).若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為η萬元，則其分布列為η20－1Peq\f(3,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)所以E(η)＝2×eq\f(3,5)＋0×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,5)＝1(萬元).若按方案三執(zhí)行，收益y＝10×4%＝0.4(萬元).因?yàn)镋(ξ)＝E(η)>y，所以應(yīng)從方案一、方案二中選擇一種投資方式．D(ξ)＝(4－1)2×eq\f(1,2)＋(－2－1)2×eq\f(1,2)＝9，D(η)＝(2－1)2×eq\f(3,5)＋(0－1)2×eq\f(1,5)＋(－1－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(8,5).易知D(ξ)>D(η).這說明