2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.5.1正弦函數(shù)的圖像學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE5正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)5．1正弦函數(shù)的圖像考綱定位重難突破1.會(huì)用五點(diǎn)法畫出正弦函數(shù)的圖像．2.依據(jù)圖像理解函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的性質(zhì).重點(diǎn)：1.借助單位圓了解正弦函數(shù)的圖像與周期性．2.能畫y＝sinx的圖像．難點(diǎn)：正弦線的理解和應(yīng)用.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁(yè)[自主梳理]1．從單位圓看正弦函數(shù)的性質(zhì)(1)原理(2)正弦函數(shù)的性質(zhì)定義域R最小值－1最大值1值域[－1,1]周期性周期函數(shù)，周期為2π在[0,2π]上的單調(diào)性在[0，eq\f(π,2)]上是增加的；在[eq\f(π,2)，π]上是削減的；在[π，eq\f(3π,2)]上是削減的；在[eq\f(3π,2)，2π]上是增加的2.正弦函數(shù)的圖像(1)畫法：(2)有關(guān)概念①正弦線：設(shè)隨意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，我們稱MP為角α的正弦線，P叫正弦線的終點(diǎn)．②“五點(diǎn)法”畫圖．③正弦曲線：[雙基自測(cè)]1．用五點(diǎn)法畫y＝sinx，x∈[0,2π]的圖像時(shí)，下列不是關(guān)鍵點(diǎn)的是()A．(eq\f(π,6)，eq\f(1,2)) B．(eq\f(π,2)，1)C．(π，0) D．(2π，0)答案：A2．函數(shù)y＝sinx與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0 B．3C．6 D．多數(shù)個(gè)解析：y＝sinx的圖像向左右無(wú)限伸展，重復(fù)出現(xiàn)．答案：D3．用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝－sinx的圖像時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________．解析：y＝－sinx與y＝sinx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱．答案：0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁(yè)探究一用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖像[典例1]用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝1－sinx，x∈[0,2π]的圖像．[解析](1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101－sinx10121(2)描點(diǎn)、連線，圖像如圖．五點(diǎn)法作圖：“五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)是選取函數(shù)的一個(gè)周期，將其四等分分別找出圖像的最高點(diǎn)，最低點(diǎn)及平衡點(diǎn)等五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，由這五個(gè)點(diǎn)大致確定圖像的位置和形態(tài)．1．畫函數(shù)y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖．解析：步驟：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－102sinx－1－11－1－3－1(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出(0，－1)，(eq\f(π,2)，1)，(π，－1)，(eq\f(3π,2)，－3)，(2π，－1)五個(gè)點(diǎn)．(3)連線：用光滑曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，得到函數(shù)y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖，如圖所示．探究二正弦函數(shù)圖像的應(yīng)用[典例2]寫出訪sinx≥eq\f(\r(3),2)(x∈R)成立的x的取值．[解析]如圖，畫出y＝sinx在x∈[0,2π]內(nèi)的圖像．其中直線y＝eq\f(\r(3),2)與y＝sinx的交點(diǎn)M，M′的橫坐標(biāo)分別是eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)，故在0≤x≤2π中滿意sinx≥eq\f(\r(3),2)的角x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,3)≤x≤\f(2π,3))).因此當(dāng)x∈R時(shí)，集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).利用正弦函數(shù)圖像可解簡(jiǎn)潔的三角不等式．因?yàn)檎液瘮?shù)是以2π為周期的周期函數(shù)，所以用正弦函數(shù)圖像解三角不等式的步驟是：(1)作出相應(yīng)的正弦函數(shù)的圖像；(2)寫出適合不等式的在區(qū)間[0,2π]上的解集；(3)依據(jù)正弦函數(shù)的周期性把此解集拓延到整個(gè)定義域上．2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)()A．沒(méi)有根 B．有且僅有一個(gè)根C．有且僅有兩個(gè)根 D．有無(wú)窮多個(gè)根解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x|及函數(shù)y＝cosx的圖像，如圖所示．由圖知兩函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程|x|＝cosx有兩個(gè)根．答案：C數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用[典例]求滿意下列條件的角的范圍．(1)sinx≥eq\f(1,2)；(2)sinx≤－eq\f(\r(2),2).[解析](1)利用“五點(diǎn)法”作出y＝sinx的簡(jiǎn)圖，過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作x軸的平行線，在[0,2π]上，直線y＝eq\f(1,2)與正弦曲線交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(1,2)))兩點(diǎn)．結(jié)合圖形可知，在[0,2π]內(nèi)，滿意y≥eq\f(1,2)時(shí)x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,6)≤x≤\f(5π,6))).因此，當(dāng)x∈R時(shí)，若y≥eq\f(1,2)，則x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(5,6)π，k∈Z)).(2)同理，滿意sinx≤－eq\f(\r(2),2)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(5π,4)＋2kπ≤x≤\f(7,4)π＋2kπ，k∈Z)).[感悟提高]形如sinx>a(<a)的不等式，求角x的范圍，一般采納數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解題，詳細(xì)步驟：(1)畫出y＝s