2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第二講排列與組合學(xué)案新人教版

PAGE其次講排列與組合學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一排列與排列數(shù)(1)排列的定義：從n個(gè)__不同__元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，依據(jù)肯定的__依次__排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__全部不同排列__的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0！＝__1__．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二組合與組合數(shù)(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)__不同__元素中取出m(m＜n)個(gè)元素__合成一組__，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__全部不同組合__的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，這里規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝__1__．(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m,n)__＋__Ceq\o\al(m－1,n)__．注：應(yīng)用公式化簡(jiǎn)、求值、解方程、解不等式時(shí)，留意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隱含條件m≤n，且m，n∈N＋．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮(1)以元素為主考慮，即先滿意特別元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主考慮，即先滿意特別位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)全部元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(×)(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后依次．(×)(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)?。璶！＝n·n?。?√)(5)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．(×)(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)．(√)題組二走進(jìn)教材2．(P27A組T716)A．144 B．120C．72 D．24[解析]“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24．題組三走向高考3．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有(D)A．12種 B．18種C．24種 D．36種[解析]4項(xiàng)工作分成3組，可得：Ceq\o\al(2,4)＝6，支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：6×Aeq\o\al(3,3)＝36種，故選D．4．(2024·浙江)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成__1_260__個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(用數(shù)字作答)[解析]從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字有Ceq\o\al(2,5)種方法，從2,4,6,0中任取2個(gè)數(shù)字不含0時(shí)，有Ceq\o\al(2,3)種方法，可以組成Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(4,4)＝720個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；含有0時(shí)，0不能在千位位置，其它隨意排列，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,3)＝540，故一共可以組成1260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故答案為：1260．5．(2024·新課標(biāo)Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競(jìng)賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有__16__種．(用數(shù)字填寫答案)[解析]解法一：從2位女生，4位男生中選3人，且至少有1位女生入選的狀況有以下2種：①2女1男：有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4種選法；②1女2男：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種選法，故至少有1位女生入選的選法有4＋12＝16種．解法二：從2位女生，4位男生中選3人有Ceq\o\al(3,6)＝20種選法，其中選出的3人都是男生的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4種，所以至少有1位女生入選的選法有20－4＝16種．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一排列問(wèn)題——自主練透例1有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，不同的排列方法總數(shù)，分別為：(1)選其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；__3_600__(4)全體排成一排，女生必需站在一起；__576__(5)全體排成一排，男生互不相鄰；__1_440__(6)全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；__720__(7)全體排成一排，甲必需排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__[解析](1)從7個(gè)人中選5個(gè)人來(lái)排，是排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．事實(shí)上，本小題即為7人排成一排的全排列，無(wú)任何限制條件．(3)優(yōu)先法：解法一：(元素分析法)甲為特別元素．先排甲，有5種方法；其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種．解法二：(位置分析法)排頭與排尾為特別位置．排頭與排尾從非甲的6個(gè)人中選2個(gè)排列，有Aeq\o\al(2,6)種方法，中間5個(gè)位置由余下5人進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(5,5)種方法，共有Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(5,5)＝3600種．(4)(捆綁法)將女生看成一個(gè)整體，與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將4名女生進(jìn)行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576種．(5)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾空出5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440種．(6)把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體，第一步先排甲、乙兩人，有Aeq\o\al(2,2)種方法；其次步從余下5人中選3人排在甲、乙中間，有Aeq\o\al(3,5)種；第三步把這個(gè)整體與余下2人進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720種．(7)消序法：eq\f(A\o\al(7,7),2！)＝2520．(8)間接法：Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,7)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720．位置分析法：分甲在右端與不在右端兩類．甲在右端的排法有Aeq\o\al(6,6)(種)排法，甲不在右端的排法有5×5Aeq\o\al(5,5)(種)排法，∴共有Aeq\o\al(6,6)＋25Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中間的站法有__720__種；(2)甲、乙相鄰且丙不站排頭和排尾的站法有__960__種；(3)甲、乙相鄰且都與丙不相鄰的站法有__960__種．[解析](1)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝720；或Aeq\o\al(6,6)＝720(2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝960；(3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝960．名師點(diǎn)撥求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先支配特別元素或特別位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2024·廣東深圳寶安區(qū)調(diào)研)某車隊(duì)有6輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按肯定的依次出去執(zhí)行任務(wù)，要求甲、乙兩車必需參與，且甲車要先于乙車開出，則共有__72__種不同的調(diào)度方法．(用數(shù)字填寫答案)(2)(2024·廣西興寧、南寧三中期末)2020年3月31日，某地援鄂醫(yī)護(hù)人員A，B，C，D，E，F(xiàn),6人(其中A是隊(duì)長(zhǎng))圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務(wù)返回本地，他們受到當(dāng)?shù)厝罕娕c領(lǐng)導(dǎo)的熱情歡迎．當(dāng)?shù)孛襟w為了宣揚(yáng)他們的優(yōu)秀事跡，讓這6名醫(yī)護(hù)人員和接見他們的一位領(lǐng)導(dǎo)共7人站一排進(jìn)行拍照，則領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長(zhǎng)站在兩端且BC相鄰，而BD不相鄰的排法種數(shù)為(D)A．36種 B．48種C．56種 D．72種[解析](1)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝72．或Ceq\o\al(2,4)·eq\f(A\o\al(4,4),2)＝72(2)①領(lǐng)導(dǎo)和隊(duì)長(zhǎng)站在兩端，有Aeq\o\al(2,2)＝2種狀況，②中間5人分2種狀況探討：若BC相鄰且與D相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種支配方法，若BC相鄰且不與D相鄰，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24種支配方法，則中間5人有12＋24＝36種支配方法，則有2×36＝72種不同的支配方法；故選D．考點(diǎn)二組合問(wèn)題——師生共研例2(1)(2024·廣東中山模擬)從10名高校畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)當(dāng)村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(B)A．85 B．49C．56 D．28(2)(2024·福建寧德聯(lián)考)福建省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2024年在寧德召開，組委會(huì)預(yù)備在會(huì)議期間將A，B，C，D，E，F(xiàn)這六名工作人員安排到兩個(gè)不同的地點(diǎn)參與接待工作．若要求A，B必需在同一組，且每組至少2人，則不同的安排方法有(D)A．15種 B．18種C．20種 D．22種[解析](1)∵丙沒有入選，∴可把丙去掉，總?cè)藬?shù)變?yōu)?個(gè)．∵甲、乙至少有1人入選，∴可分為兩類：一類是甲、乙兩人只選一人的選法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,7)＝42(種)，另一類是甲、乙都入選的選法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,7)＝7(種)，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有42＋7＝49(種)．(2)先從兩個(gè)不同的地點(diǎn)選出一地點(diǎn)安排A，B兩人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)狀況，再將剩余4人分入兩地有三種狀況，4人都去A，B外的另一地點(diǎn)，有1種狀況；有3人去A，B外的另一地點(diǎn)，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)狀況；有2人去A，B外的另一地點(diǎn)，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)狀況．綜上，共有2×(1＋4＋6)＝22(種)，故選D．[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入選的選法有__56__種；②甲、乙都不入選的選法有__56__種．[解析]①Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8)＝56②Ceq\o\al(3,8)＝56名師點(diǎn)撥組合問(wèn)題常有以下兩類題型改變：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必需非常重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用干脆法和間接法都可以求解，通常用干脆法分類困難時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·海南省聯(lián)考)樓道里有9盞燈，為了節(jié)約用電，需關(guān)掉3盞互不相鄰的燈，為了行走平安，第一盞和最終一盞不關(guān)，則關(guān)燈方案的種數(shù)為(A)A．10 B．15C．20 D．24(2)(2024·江蘇南通質(zhì)檢)我國(guó)進(jìn)入雙航母時(shí)代，航母編隊(duì)的要求是每艘航母配2～3艘驅(qū)除艦，1～2艘核潛艇．船廠現(xiàn)有5艘驅(qū)除艦和3艘核潛艇全部用來(lái)組建航母編隊(duì)，則不同的組建方法種數(shù)為(D)A．30 B．60C．90 D．120[解析](1)問(wèn)題等價(jià)于將這3盞關(guān)著的燈插入4盞亮著的燈形成的5個(gè)空檔中，所以關(guān)燈方案共有Ceq\o\al(3,5)＝10種．(2)有兩種狀況，①一艘航母配2艘驅(qū)除艦和1艘核潛艇，另一艘航母配3艘驅(qū)除艦和2艘核潛艇，②一艘航母配2艘驅(qū)除艦和2艘核潛艇，另一艘航母配3艘驅(qū)除艦和1艘核潛艇，Ceq\o\al(1,2)·(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))＝120，故選D．考點(diǎn)三排列、組合的綜合應(yīng)用——多維探究角度1相鄰、相間問(wèn)題例3(1)(2024·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方案共有__120__種．(2)(2024·湖南師范高校附屬中學(xué)模擬)某班上午有五節(jié)課，分別支配語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)課．要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是(A)A．16 B．24C．8 D．12[解析](1)①當(dāng)甲在首位，丙、丁捆綁，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48種；②當(dāng)甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36種；③當(dāng)甲在第三位，前兩位分為是丙、丁和不是丙、丁兩種狀況，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36種，因此共48＋36＋36＝120種．(2)依據(jù)題意，分三步進(jìn)行分析，①要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，將語(yǔ)文和化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況；②將這個(gè)整體與英語(yǔ)全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況，排好后，有3個(gè)空位；③數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，有2個(gè)空位可選，在剩下的2個(gè)空位中任選1個(gè)，支配物理，有2種狀況，則數(shù)學(xué)、物理的支配方法有2×2＝4(種)，則不同排課方案的種數(shù)是2×2×4＝16，故選A．角度2特別元素(位置)問(wèn)題例4(1)(2024·重慶模擬)從5名學(xué)生中選出4名分別參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參與生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為(D)A．48 B．72C．90 D．96(2)(2024·山東質(zhì)檢)高三一班周一上午有四節(jié)課，分別支配語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)和體育．其中語(yǔ)文擔(dān)心排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)擔(dān)心排在其次節(jié)，英語(yǔ)擔(dān)心排在第三節(jié)，體育擔(dān)心排在第四節(jié)，則不同的課表支配方法共有__9__種．[解析](1)由于甲不參與生物競(jìng)賽，則支配甲參與另外3場(chǎng)競(jìng)賽或甲不參與任何競(jìng)賽．①當(dāng)甲參與另外3場(chǎng)競(jìng)賽時(shí)，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(種)選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參與任何競(jìng)賽時(shí)，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選擇方案．綜上所述，全部參賽方案有72＋24＝96(種)．(2)由于四個(gè)元素都有特別要求，不宜從排列、組合數(shù)公式入手，列表法為佳，如：第一節(jié)其次節(jié)第三節(jié)第四節(jié)數(shù)學(xué)語(yǔ)文——體育——英語(yǔ)英語(yǔ)——體育——語(yǔ)文體育——語(yǔ)文——英語(yǔ)同理第一節(jié)排英語(yǔ)、體育也都有3種排法，故共有9種排法．[引申]本例(1)若增加“且乙不參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，則不同的參賽方法種數(shù)為__78__．[解析]①甲、乙都參賽有Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))＝42種方案；②甲參賽乙不參賽或乙參賽甲不參賽均有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝18種方案；∴共有42＋18＋18＝78種參賽方案．角度3分組、安排問(wèn)題例5(1)按下列要求安排6本不同的書，各有多少種不同的安排方式？將答案填在對(duì)應(yīng)橫線上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均安排給甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；__90__⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__(2)①8個(gè)相同的小球放入5個(gè)不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__種．②15個(gè)小球完全相同，放入編號(hào)依次為1,2,3的三個(gè)不同盒子中，若每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)不少于盒子的編號(hào)，則不同放法有__55__種．[解析](1)①Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60；②Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360；③eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15；④Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90；⑤Ceq\o\al(2,6)＝15；⑥Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90；⑦Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30．(2)①一共有8個(gè)相同的小球，放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子不空，即將小球分成5份，每份至少1個(gè)．(定分?jǐn)?shù))將8個(gè)小球擺放一列，形成9個(gè)空，中間有7個(gè)空，(定空位)則只需在這7個(gè)空中插入4個(gè)隔板，隔板不同的放法有Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35(種)，(插隔板)所以每盒不空的放法共有35種．②先將2號(hào)盒內(nèi)放一個(gè)球，3號(hào)盒內(nèi)放2個(gè)小球，還剩余12個(gè)小球，用隔板法將12個(gè)小球分成3組，每組至少1個(gè)小球，共有Ceq\o\al(2,11)＝55種分法，亦即有55種不同放法．名師點(diǎn)撥解排列組合綜合問(wèn)題的方法先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問(wèn)題的根本方法，利用先選后排法解答問(wèn)題只需三步即可完成．第一步：選元素，即選出符合條件的元素；其次步：進(jìn)行排列，即把選出的元素按要求進(jìn)行排列；第三步：計(jì)算總數(shù)，即依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算方法總數(shù)．留意：(1)勻稱分組時(shí)要除以勻稱組數(shù)的階乘；(2)相同元素的安排問(wèn)題常用“隔板法”．隔板法的解題步驟(1)定個(gè)數(shù)：確定名額的個(gè)數(shù)、分成的組數(shù)以及各組名額的數(shù)量．(2)定空位：將元素排成一列，確定可插隔板的空位數(shù)．(3)插隔板：確定須要的隔板個(gè)數(shù)，依據(jù)組數(shù)要求，插入隔板，利用組合數(shù)求解不同的分法種數(shù)．(4)回顧反思：隔板法的關(guān)鍵在于精確確定空位個(gè)數(shù)以及須要的隔板個(gè)數(shù)，運(yùn)用這種方法須要留意兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是要依據(jù)題意確定能否轉(zhuǎn)化為“每組至少一個(gè)”的問(wèn)題，以便確定能否利用隔板法；二是要留意精確確定空位數(shù)以及須要的隔板數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，兩端不能插隔板．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(角度1)(2024·山西聯(lián)考)某學(xué)校組織勞動(dòng)實(shí)習(xí)，其中兩名男生和兩名女生參與農(nóng)場(chǎng)體驗(yàn)活動(dòng)，體驗(yàn)活動(dòng)結(jié)束后，農(nóng)場(chǎng)主子與四名同學(xué)站一排合影留念，已知農(nóng)場(chǎng)主子站在中間，兩名男生不相鄰，則不同的站法共有__16__種．(2)(角度2)(2024·陜西漢中質(zhì)檢)將5個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(B)A．36種 B．42種C．48種 D．60種(3)(角度3)(2024·浙江紹興柯橋中學(xué)測(cè)試)為抗擊新冠疫情，5名專家前往支援三家定點(diǎn)醫(yī)院，要求每家醫(yī)院至少分到一名專家，則不同的安排方案有__150__種．[解析](1)先排男生甲有Ceq\o\al(1,4)種方法，再排男生乙有Ceq\o\al(1,2)種方法，最終排兩女生有Aeq\o\al(2,2)種方法，故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種方法．另解(間接法)：農(nóng)場(chǎng)主子在中間共有Aeq\o\al(4,4)＝24種站法，農(nóng)場(chǎng)主子在中間，兩名男生相鄰共有2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8種站法，故所求站法共有24－8＝16種．(2)依據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，可分為兩種狀況探討：①甲在最左端，將剩余的4人全排列，共有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3種狀況，將剩余的3人全排列，支配好在剩余的三個(gè)位置上，此時(shí)共有3Aeq\o\al(3,3)＝18種不同的排法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得共有24＋18＝42種不同的排法，故選B．(3)5名專家前往支援三家定點(diǎn)醫(yī)院，要求每家醫(yī)院至少分到一名專家，則有兩種狀況，①將5名專家分成三組，一組3人，另兩組都是1人，有Ceq\o\al(3,5)＝10種方法，再將3組分到3個(gè)醫(yī)院，共有10·Aeq\o\al(3,3)＝60種不同的安排方案，②將5名專家分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝15種方法，再將3組分到3個(gè)醫(yī)院，共有15·Aeq\o\al(3,3)＝90種不同的安排方案，依據(jù)分類加法計(jì)算原理可得一共有60＋90＝150種不同的安排方案．名師講壇·素養(yǎng)提升排列組合的其它類型及解法1．限制條件的安排問(wèn)題分類法：例1某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參與中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？[解析]因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以依據(jù)是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種狀況：①若甲乙都不參與，則有派遣方案Aeq\o\al(4,8)種：②若甲參與而乙不參與，先支配甲有3種方法，然后支配其余學(xué)生有Aeq\o\al(3,8)方法，所以共有3Aeq\o\al(3,8)；③若乙參與而甲不參與同理也有3Aeq\o\al(3,8)種；④若甲乙都參與，則先支配甲乙，有7種方法，然后再支配其余8人中兩人到另外兩個(gè)城市有Aeq\o\al(2,8)種，共有7Aeq\o\al(2,8)方法，所以共有不同的派遣方法總數(shù)為Aeq\o\al(4,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋7Aeq\o\al(2,8)＝4088種．2．多元問(wèn)題分類法：元素多，取出的狀況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類狀況分別計(jì)數(shù)，最終總計(jì)．3．多排問(wèn)題單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例28個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？[解析]看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有Aeq\o\al(2,4)種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有Aeq\o\al(1,4)種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有Aeq\o\al(5,5)種，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝5760種排法．4．“至少”“至多”問(wèn)題用間接解除法或分類法：例3(2024·北京海淀區(qū)二模)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有__84__種不同的抽調(diào)方法．[解析]解法一：(分類法)，在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分成三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有Ceq\o\al(1,7)種；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛，有Aeq\o\al(2