2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1.3古典概型同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價四十古典概型(15分鐘30分)1.袋中有2個紅球,2個白球,2個黑球,從里面隨意摸2個小球,下列不是樣本點的是 ()A.正好2個紅球 B.正好2個黑球C.正好2個白球 D.至少一個紅球【解析】選D.至少一個紅球包含:一紅一白或一紅一黑或2個紅球,所以至少一個紅球不是樣本點.2.下列概率模型中,是古典概型的個數(shù)為 ()(1)從區(qū)間內(nèi)任取一個數(shù),求取到1的概率;(2)從1～10中隨意取一個整數(shù),求取到1的概率;(3)在一個正方形ABCD內(nèi)畫一點P,求P剛好與點A重合的概率;(4)向上拋擲一枚不勻稱的硬幣,求出現(xiàn)反面朝上的概率.A.1 B.2 C.3 D.4【解題指南】推斷一個概率模型是否是古典概型,關(guān)鍵是看它是否滿意兩個條件:①有限性;②等可能性.【解析】選A.第1個概率模型不是古典概型,因為從區(qū)間內(nèi)隨意取出一個數(shù),有多數(shù)個對象可取,所以不滿意有限性.第2個概率模型是古典概型,因為試驗結(jié)果只有10個,而且每個數(shù)被抽到的可能性相等,即滿意有限性和等可能性;第3個概率模型不是古典概型,不滿意有限性;第4個概率模型也不是古典概型,因為硬幣不勻稱,因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等.3.(2024·全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標(biāo),若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.從5只兔子中隨機取出3只,總的基本領(lǐng)件有10種;又因為只有3只測量過某項指標(biāo),故恰有2只測量過該指標(biāo)的種數(shù)為6,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為QUOTE,即QUOTE.4.從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同的字母,則取到字母a的概率為.

【解析】總的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10種,其中含有a的有ab,ac,ad,ae共4種,故所求概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·江蘇高考)將一顆質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲2次,視察向上的點數(shù),則點數(shù)和為5的概率是.

【解析】總事務(wù)數(shù)為6×6=36,滿意條件的事務(wù)有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4種,則點數(shù)和為5的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.連續(xù)擲3枚硬幣,視察這3枚硬幣落在地面上時是正面朝上還是反面朝上.(1)寫出這個試驗的全部樣本點.(2)求這個試驗的樣本點的總數(shù).(3)求“恰有兩枚硬幣正面朝上”這一事務(wù)發(fā)生的概率.【解析】(1)這個試驗包含的樣本點有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)這個試驗包含的樣本點的總數(shù)是8.(3)設(shè)A=“恰有兩枚硬幣正面朝上”,則A事務(wù)包含以下3個樣本點:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以P(A)=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列,則樣本點的個數(shù)是 ()A.4 B.12 C.16 D.24【解析】選D.將兩位男同學(xué)分別記為A1,A2,兩位女同學(xué)分別記為B1,B2,則四位同學(xué)排成一列,狀況有A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A2.從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.如圖可知從5個點中選取2個點的全部狀況有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共10種.選取的2個點的距離不小于該正方形邊長的狀況有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6種.故所求概率為QUOTE=QUOTE.【補償訓(xùn)練】假如3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),共有如下10個不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為QUOTE.3.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取兩種,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)共10種等可能發(fā)生的結(jié)果,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5種,則不相克的也是5種,所以抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為QUOTE.4.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個,被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.用(x,y,z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元.乙、丙、丁三人搶完6元錢的全部不同的可能結(jié)果有10種,分別為(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙獲得“手氣最佳”的全部不同的可能結(jié)果有4種,分別為(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).依據(jù)古典概型的概率計算公式,得乙獲得“手氣最佳”的概率P=QUOTE=QUOTE.【補償訓(xùn)練】從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個,其個位數(shù)為0的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.分類探討法求解.個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù),則個位數(shù)與十位數(shù)中必一個奇數(shù)一個偶數(shù),所以可以分兩類.(1)當(dāng)個位為奇數(shù)時,有5×4=20個符合條件的兩位數(shù).(2)當(dāng)個位為偶數(shù)時,有5×5=25個符合條件的兩位數(shù).因此共有20+25=45個符合條件的兩位數(shù),其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個,所以所求概率為P=QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列試驗是古典概型的是 ()A.從6名同學(xué)中選出4人參與數(shù)學(xué)競賽,每人被選中的可能性大小B.同時擲兩顆骰子,點數(shù)和為6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相鄰的概率【解析】選ABD.A,B,D是古典概型,因為符合古典概型的定義和特點.C不是古典概型,因為不符合等可能性,降雨受多方面因素影響.6.袋中有大小相同的黃、紅、白球各一個,每次任取一個,有放回地取3次,則概率不是QUOTE的為 ()A.顏色全相同B.顏色不全相同C.顏色全不同D.無紅球【解析】選BCD.有放回地取球3次,共27種可能結(jié)果,其中顏色全相同的結(jié)果有3種,其概率為QUOTE=QUOTE;顏色不全相同的結(jié)果有24種,其概率為QUOTE=QUOTE;顏色全不同的結(jié)果有6種,其概率為QUOTE=QUOTE;無紅球的狀況有8種,其概率為QUOTE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,則兩人都中獎的概率是.

【解析】設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0,那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6種.其中甲、乙都中獎有(1,2),(2,1),共2種,所以P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓(xùn)練】設(shè)m,n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實根的概率為.

【解析】先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的狀況有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實根的狀況有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事務(wù)的概率P=QUOTE.答案:QUOTE8.小李在做一份調(diào)查問卷,共有5道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共3道,另一種是填空題,共2道.若小李從中任選2道題解答,每一次選1題(不放回),則所選的題不是同一種題型的概率為,若小李從中任選2道題解答,每一次選1題(有放回),則所選的題不是同一種題型的概率為.

【解析】將3道選擇題依次編號為1,2,3;2道填空題依次編號為4,5.從5道題中任選2道題解答,每一次選1題(不放回),則全部樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20種,而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事務(wù)A為“所選的題不是同一種題型”,則事務(wù)A包含的樣本點有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12種,所以P(A)=QUOTE=0.6.從5道題中任選2道題解答,每一次選1題(有放回),則全部樣本點為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25種,而且這些樣本點發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事務(wù)B為“所選的題不是同一種題型”,因為所選題不是同一種題型的樣本點共12種,所以P(B)=QUOTE=0.48.答案:0.60.48四、解答題(每小題10分,共20分)9.先后擲兩枚大小相同的骰子.(1)求點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率.(2)求出現(xiàn)兩個4點的概率.(3)求點數(shù)之和能被3整除的概率.【解析】如圖所示,從圖中簡單看出基本領(lǐng)件與所描點一一對應(yīng),共36個.(1)記“點數(shù)之和出現(xiàn)7點”為事務(wù)A,從圖中可以看出,事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共6個:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)記“出現(xiàn)兩個4點”為事務(wù)B,從圖中可以看出,事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件只有1個,即(4,4),故P(B)=QUOTE.(3)記“點數(shù)之和能被3整除”為事務(wù)C,則事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共12個:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P(C)=QUOTE=QUOTE.10.(2024·天津高考)2024年,我國施行個人所得稅專項附加扣除方法,涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采納分層隨機抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受狀況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受狀況如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.【解析】(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于實行分層隨機抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種;②由表格知,符合題意的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種,所以事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)=QUOTE.1.一個三位數(shù),它的個、十、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當(dāng)且僅當(dāng)y>x,y>z時,稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合{5,6,7,8}中取出三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù),則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.從集合{5,6,7,8}中取出3個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果:567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,786,867,876