2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3模擬方法-概率的應(yīng)用課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修3

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十三模擬方法——概率的應(yīng)用(20分鐘·35分)1.下列關(guān)于幾何概型的說法中,錯(cuò)誤的是 ()A.幾何概型是古典概型的一種,基本領(lǐng)件都具有等可能性B.幾何概型中事務(wù)發(fā)生的概率與它的位置或形態(tài)無關(guān)C.幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)D.幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性【解析】選A.幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型.2.已知函數(shù)f(x)=log2x,x∈QUOTE,在區(qū)間QUOTE上任取一點(diǎn)x0,則使f(x0)≥0的概率為 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.欲使f(x)=log2x≥0,則x≥1,而x∈QUOTE,所以x0∈[1,2],從而由幾何概型概率公式知所求概率P=QUOTE=QUOTE.3.如圖,A是圓上固定的一點(diǎn),在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′,連接AA′,它是一條弦,它的長度小于或等于半徑長度的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.當(dāng)AA′的長度等于半徑長度時(shí),∠AOA′=QUOTE,由圓的對(duì)稱性及幾何概型得P=QUOTE=QUOTE.4.如圖,在邊長為2的正方形中,隨機(jī)撒1000粒豆子,若按π≈3計(jì)算,估計(jì)落到陰影部分的豆子數(shù)為 ()A.125 B.150 C.175 D.200【解析】選A.由題意知圓的半徑為1,則圓的面積近似為3,又正方形面積為4,則陰影部分面積為QUOTE×(4-3)=QUOTE.設(shè)落到陰影部分的豆子數(shù)為n,則QUOTE=QUOTE,n=125.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O,則在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M,點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是________.

【解析】設(shè)正方體的棱長為2.正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球O的半徑是其棱長的一半,其體積為V1=QUOTEπ×13=QUOTE.則點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如圖,射箭競(jìng)賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán).從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色,靶心為金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的競(jìng)賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶,且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的,那么射中黃心的概率為多少?【解析】記“射中黃心”為事務(wù)B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為QUOTE×π×1222cm2的大圓內(nèi),而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為QUOTE×π×12.22cm2的黃心時(shí),事務(wù)B發(fā)生,于是事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)=QUOTE=0.01.即“射中黃心”的概率是0.01.(30分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為 ()A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15【解析】選B.易知20組隨機(jī)數(shù)中表示恰有兩次命中的數(shù)據(jù)有191,271,932,812,393,所以所求概率P=QUOTE=0.25.2.已知集合A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},在集合A中任取一個(gè)元素x,則事務(wù)“x∈A∩B”的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.A∩B={x|2<x<3},因?yàn)榧螦表示的區(qū)間長度為5-(-1)=6,集合A∩B表示的區(qū)間長度為3-2=1.故事務(wù)“x∈A∩B”的概率為QUOTE.3.如圖,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在線段OB上任取一點(diǎn)C,則△AOC為鈍角三角形的概率為 ()A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解題指南】試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)對(duì)應(yīng)的是長度為5的一條線段,滿意條件的事務(wù)是組成鈍角三角形,包括兩種狀況,第一種∠ACO為鈍角,其次種∠OAC為鈍角,依據(jù)等可能事務(wù)的概率得到結(jié)果.【解析】選B.試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)對(duì)應(yīng)的是長度為5的一條線段,滿意條件的事務(wù)是組成鈍角三角形,包括兩種狀況:第一種∠ACO為鈍角,這種狀況的邊界是∠ACO=90°的時(shí)候,此時(shí)OC=1,所以這種狀況下,滿意要求的是0<OC<1.其次種∠OAC為鈍角,這種狀況的邊界是∠OAC=90°的時(shí)候,此時(shí)OC=4,所以這種狀況下,滿意要求的是4<OC<5.綜合兩種狀況,若△AOC為鈍角三角形,則0<OC<1或4<OC<5.所以概率P=QUOTE=0.4.4.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一棵類似蘆葦?shù)闹参?露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖,若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意知BC=2,B′C=5,設(shè)AC=x,則AB=AB′=x+2,在Rt△ACB′中,由勾股定理得52+x2=(x+2)2,解得x=QUOTE,所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.5.勒洛三角形是德國機(jī)械工程專家勒洛首先進(jìn)行探討的.其畫法是:先畫一個(gè)正三角形,再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以邊長為半徑,在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧,三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形,如圖中實(shí)線所示.現(xiàn)要在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)在正三角形ABC內(nèi)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解題指南】首先明確所求概率類型為一個(gè)與面積相關(guān)的幾何概型,然后明確勒洛三角形的定義:三段圓弧圍成的曲邊三角形,勒洛三角形的面積須要借助扇形面積與三角形面積求解,最終求出正三角形ABC的面積,代入幾何概型的概率計(jì)算公式求解即可.【解析】選B.不妨設(shè)BC=2,則以B為圓心的扇形ABC的面積S扇形ABC=QUOTE=QUOTE,S△ABC=QUOTE×2×2×QUOTE=QUOTE.由題圖可知,勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形ABC的面積減去2個(gè)正三角形ABC的面積,即QUOTE×3-2QUOTE=2π-2QUOTE,所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)在正三角形ABC內(nèi)的概率是QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=QUOTE,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個(gè)圓弧QUOTE,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,點(diǎn)P在圓弧QUOTE上,則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為______.

【解析】因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP,所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB,當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí),射線AP落在∠CAB內(nèi),則區(qū)域?yàn)椤螩AB,所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=QUOTE的圖像上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________.

【解析】由已知得B(1,0),C(1,2),D(-2,2),F(0,1),則矩形ABCD的面積為3×2=6,陰影部分的面積為QUOTE×3×1=QUOTE,故該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.已知直線y=x+b的橫截距在[-2,3]內(nèi),則直線在y軸上的截距b大于1的概率是________.

【解析】全部的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)間長度為3-(-2)=5,因?yàn)橹本€在y軸上的截距b大于1,所以直線橫截距小于-1,所以“直線在y軸上的截距b大于1”包含的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)間長度為-1-(-2)=1,由幾何概型概率公式得直線在y軸上的截距b大于1的概率為P=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的肯定值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,向D中隨機(jī)投一點(diǎn),則落入E中的概率為________.

【解析】如圖,區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界),區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部,因此P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.(1)求圓C的圓心到直線l的距離;(2)求圓C上隨意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率.【解析】(1)由點(diǎn)到直線l的距離公式可得d=QUOTE=5.(2)由(1)可知圓心到直線l的距離為5,要使圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2,設(shè)與圓相交且與直線l平行且相距2的直線為l1,其方程為4x+3y=15.則符合題意的點(diǎn)應(yīng)在l1:4x+3y=15與圓相交所得劣弧上,由半徑為2QUOTE,圓心到直線l1的距離為3可知劣弧所對(duì)圓心角為60°.故所求概率為P=QUOTE=QUOTE.10.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;(2)若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.【解析】設(shè)事務(wù)A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”,當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為Δ=4a2-4b2≥0,即a≥b.(1)基本領(lǐng)件共有12個(gè):(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,其次個(gè)數(shù)表示b的取值.事務(wù)A中包含9個(gè)基本領(lǐng)件,事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.如圖,所以所求概率P(A)=QUOTE=QUOTE.1.(2024·惠州高一檢測(cè))關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法,如聞名的蒲豐試驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)π的值:先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x,y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),再統(tǒng)計(jì)其中x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)m,最終依據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)π的值.假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34,那么可以估計(jì)π的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意,120對(duì)正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)中的x,y滿意QUOTE該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1.要使正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)中的x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊,則x,y需滿意QUOTE該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為QUOTE-QUOTE,則QUOTE-QUOTE≈QUOTE,π≈QUOTE.2.對(duì)某人某兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行考核,每項(xiàng)指標(biāo)滿分100分,設(shè)此人每項(xiàng)得分在[0,100]上是等可能出現(xiàn)的.單項(xiàng)80分以上