湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）A.102 B.C. D.1082．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，3．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.4．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離（）A. B.C.1 D.25．命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.6．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與7．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.8．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.9．在長(zhǎng)方體中，（）A. B.C. D.10．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.11．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知圓的方程為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，，處測(cè)得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)___________.15．已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則______16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進(jìn)出口總額，滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為______億元三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且.（1）求C；（2）若D是BC的中點(diǎn)，，，求AB的長(zhǎng).19．（12分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求面積的最小值20．（12分）（1）已知雙曲線的離心率為2，求E的漸近線方程；（2）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，且，求C的方程.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，求函數(shù)的最小值.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在時(shí)的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】將將看作一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】將看作一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，開口向下，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，故選：D2、A【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A3、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.4、B【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.5、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因?yàn)椤按嬖?，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個(gè)充分不必要條件是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.6、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，故選：C7、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C8、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進(jìn)而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.9、D【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，帶入化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】在長(zhǎng)方體中，易知，所以.故選：D.10、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.11、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B12、C【解析】根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握方程表示圓的條件是解題關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長(zhǎng).【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)椋寓佗趦墒较嗉涌傻茫?，解得：，則，故答案為：.14、【解析】當(dāng)時(shí)，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)題設(shè)有且，即可得目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，則，所以，整理得，又，所以，兩邊取對(duì)數(shù)有，得：，即.故答案為：.16、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據(jù)是的必要不充分條件可得，再根據(jù)集合包含關(guān)系，根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)列不等式求解即可【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，即p為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為．由，解得，即q為真時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍為若為真，則，解得實(shí)數(shù)x的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】若p是q的必要不充分條件，則且設(shè)，，則，又由，得，因?yàn)?，則，有，解得因此a的取值范圍為18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合三角變換可求答案；（2）根據(jù)余弦定理先求，再用余弦定理求解.【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴，∴.∵，∴，即.∵，∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，即，解得或（舍去），∴.∵，∴.19、（1）是,；（2）【解析】（1）由題意設(shè)出所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得為定值；（2）當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，求得三角形的面積為；當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，由弦長(zhǎng)公式求解，再由點(diǎn)到直線的距離公式求到的距離，代入三角形面積公式，利用函數(shù)單調(diào)性可得三角形的面積大于，由此可得面積的最小值【詳解】（1）由題意知，直線斜率存在，不妨設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得，設(shè)，，則，，所以，，所以，所以是定值（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，又，，此時(shí)當(dāng)直線的斜率不力0時(shí)，，又因?yàn)椋抑本€的斜率不為0，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，因?yàn)?，所以，綜上，面積的最小值為20、（1）；（2）.【解析】（1）由可知，即可求出，故可得漸近線方程；（2）利用點(diǎn)在拋物線上及其拋物線的定義列方程求解即可.【詳解】（1）∵E的離心率，∴，即，解得，故E的漸近線方程為.（2）∵是C上一點(diǎn)，∴①，由拋物線的定義可知②，兩式聯(lián)立可得，解得則C的方程為.21、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解，再對(duì)a分類討論，即得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，可得，得，再對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是方程的解的個(gè)數(shù)，顯然是方程的一個(gè)解；當(dāng)時(shí),方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋邢铝袔追N情況如下:①當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程的根為，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)且時(shí)，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和；由上知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，數(shù)的零點(diǎn)為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；②當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的最小值為；③當(dāng)，即，此時(shí)函數(shù)最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.22、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在的極值、端點(diǎn)值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可