湖南省湘西自治州四校2025屆高二數學第一學期期末質量檢測試題含解析

湖南省湘西自治州四校2025屆高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若橢圓的弦恰好被點平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.2．直線與圓相交于點，點是坐標原點，若是正三角形，則實數的值為A.1 B.-1C. D.3．已知一個圓錐的體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側面積為（）A. B.C. D.4．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.85．魏晉時期數學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數（）A.2 B.3C. D.6．已知，為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，若，則P點的橫坐標為（）A. B.C.4 D.97．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.8．已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點坐標為，則的最大值為（）A. B.13C.3 D.59．在平面上有及內一點O滿足關系式：即稱為經典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現有則O為的（）A.外心 B.內心C.重心 D.垂心10．若函數，當時，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.111．已知函數的部分圖象如圖所示，且經過點，則（）A.關于點對稱B.關于直線對稱C.為奇函數D.為偶函數12．已知在等比數列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在處有極值，則的值為___________.14．根據某市有關統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經貿合作持續(xù)深化，該市對外貿易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數據如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進出口總額x，y滿足線性相關關系，則______；若計劃2022年出口總額達到5千億元，預計該年進口總額為______千億元15．已知平面和兩條不同的直線，則下列判斷中正確的序號是___________.①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；16．在等比數列中，，，若數列滿足，則數列的前項和為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，點在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，點A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點，過的直線與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線BP與x軸交于點M，直線BQ與x軸交于點N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.19．（12分）已知某學校的初中、高中年級的在校學生人數之比為9：11，該校為了解學生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學生中共抽取了100名學生，調查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據調查結果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學生中，初中、高中年級各抽取的人數是多少？（2）根據頻率分布直方圖，估計學生做作業(yè)時間的中位數和平均時長（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（3）另據調查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少20．（12分）已知函數(其中為自然對數底數)（1）討論函數的單調性;（2）當時，若恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的焦點為，且該橢圓過點（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求的值22．（10分）已知，，分別為三個內角,,的對邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】判斷點M與橢圓的位置關系，再借助點差法求出直線AB的斜率即可計算作答.【詳解】顯然點橢圓內，設點，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D2、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標，設圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C3、B【解析】設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結果.【詳解】如圖，設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側面積為.故選：B4、C【解析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.【詳解】設等差數列的公差為，則，，聯立，解得.故選：C.5、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.6、B【解析】設，，根據向量的數量積得到，與橢圓方程聯立，即可得到答案；【詳解】設，，，與橢圓聯立，解得：，故選：B7、D【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數學文化為背景，導數的幾何意義，根據函數的單調性比較函數值的大小，屬于中檔題型.8、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示：，故選：B9、B【解析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈cO到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內心.故選：B10、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B11、D【解析】根據圖象求得函數解析式，結合三角函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，可得，根據圖形走勢，可得，解得，令，可得，所以，由，所以A不正確；由，可得不是函數的對稱軸，所以B不正確；由，此時函數為非奇非偶函數，所以C不正確；由為偶函數，所以D正確.故選：D.12、B【解析】根據等比數列的性質可求.【詳解】因為為等比數列，設公比為，則，解得，又，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2或6【解析】由解析式得到導函數，結合是函數極值點，即可求的值.【詳解】由，得，因為函數在處有極值，所以，即，解得2或6.經檢驗，2或6滿足題意.故答案為：2或6.14、①.1.6；②.3.65.【解析】根據給定數表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.【詳解】由數表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6515、②④【解析】根據直線與直線，直線與平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.詳解】若，則或，異面，或，相交，①錯誤；若，則，②正確；若，則或或與相交，③錯誤；若，則，④正確；故答案為：②④.16、【解析】求出等比數列的通項公式，可得出的通項公式，推導出數列為等差數列，利用等差數列的求和公式即可得解.【詳解】設等比數列的公比為，則，則，所以，，則，所以，數列為等差數列，故數列的前項和為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結，，由直四棱柱的性質及線面垂直的性質可得，再由正方形的性質及線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）選條件①③，設，連結，，由中位線的性質、線面垂直的性質可得、，再由線面垂直的判定證明結論；選條件②③，設，連結，由線面平行的性質及平行推論可得，由線面垂直的性質有，再由線面垂直的判定證明結論；（3）構建空間直角坐標系，求平面、平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連結，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小問2詳解】選條件①③，可使平面.證明如下：設，連結，，又，分別是，的中點，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.選條件②③，可使平面.證明如下：設，連結.因為平面，平面，平面平面，所以，又，則.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.【小問3詳解】由（2）可知，四邊形為正方形，所以.因為，，兩兩垂直，如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則，令，則.設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義可得，而離心率，解方程組，即可得解；（2）設直線的方程為，將其與橢圓的方程聯立，由，，三點的坐標寫出直線，的方程，進而知點，的坐標，再結合韋達定理，進行化簡，即可得解【小問1詳解】解：因為的周長為，所以，即，又離心率，所以，，所以，故橢圓的方程為【小問2詳解】解：由題意知，直線的斜率一定不可能為0，設其方程為，，，，，聯立，得，所以，，因為點為，所以直線的方程為，所以點，，直線的方程為，所以點，，所以，即為定值19、（1）初中、高中年級所抽取人數分別為45、55（2）2.375小時，2.4小時（3）【解析】（1）依據分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據頻率分布直方圖計算學生做作業(yè)時間的中位數和平均時長即可；（3）依據古典概型即可求得恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率.【小問1詳解】設初中、高中年級所抽取人數分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因為，，所以中位數在區(qū)間上，設為x，則，解得，所以學生做作業(yè)時間的中位數為2.375小時；平均時長為小時.故估計學生做作業(yè)時間的中位數為2.375小時，平均時長為2.4小時【小問3詳解】2人來自初中年級，記為，，3人來自高中年級，記為，，，則從中任選2人，所有可能結果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級有6種可能，所以恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率為20、（1）答案見解析（2）【解析】（1），進而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據導數研究函數的最小值，注意到使，進而結合函數隱零點求解即可.【小問1詳解】解：①，在上單調增；②，令，單調減單調增；③，單調增單調減.綜上，當時，在上單調增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調遞增∵，∴使得，即單調遞減；單調遞增，令，則在上單調增，∴實數的取值范圍是21、（1）（2）【解析】（1）利用兩點間距離公式