2025屆廣東省東莞中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆廣東省東莞中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從編號(hào)為1~120的商品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽8件進(jìn)行質(zhì)檢，若所抽樣本中含有編號(hào)66的商品，則下列編號(hào)一定被抽到的是（）A.111 B.52C.37 D.82．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的公差，若，，則該數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.454．如圖，用4種不同的顏色對(duì)A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種5．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)6．已如雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離8．設(shè)，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．給出下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.“”是“雙曲線(xiàn)的離心率大于”的充要條件C.命題“，”的否定是“，”D.命題“在中，若，則是銳角三角形”的逆否命題是假命題10．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.11．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.12．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)__________.14．設(shè)雙曲線(xiàn)(0<a<b)的半焦距為c，直線(xiàn)l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為c，求雙曲線(xiàn)的離心率15．已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，體對(duì)角線(xiàn)與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類(lèi)比得到的結(jié)論為_(kāi)__________________.16．在等比數(shù)列中，已知，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線(xiàn)垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線(xiàn)AP的方程.18．（12分）已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線(xiàn)，均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.20．（12分）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線(xiàn)；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足的面積是面積的一半，求的面積21．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)（1）求直線(xiàn)AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值22．（10分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱(chēng)為“天文愛(ài)好者”，否則稱(chēng)為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求出等距抽樣的組距，從而得到被抽到的是，從而求出答案.【詳解】120件商品中抽8件，故，因?yàn)楹芯幪?hào)66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，當(dāng)時(shí)，，其他三個(gè)選項(xiàng)均不合要求，故選：A2、C【解析】對(duì)使用基本不等式，這樣得到關(guān)于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式得：，所以，解得：，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立故選：C3、D【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差以及首項(xiàng)，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當(dāng)或10時(shí)，最大，，故選：D4、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步：涂A部分時(shí)，有4種涂法；涂B部分時(shí)，有3種涂法；涂C部分時(shí)，有2種涂法；涂D部分時(shí)，有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.5、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】先作輔助線(xiàn)，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設(shè)，則根據(jù)可知，，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫?，由雙曲線(xiàn)定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A7、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.8、A【解析】根據(jù)充分、必要條件的概念理解，可得結(jié)果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】A選項(xiàng)：否命題應(yīng)該對(duì)條件結(jié)論同時(shí)否定，說(shuō)法不正確；B選項(xiàng)：雙曲線(xiàn)的離心率大于，解得，所以說(shuō)法不正確；C選項(xiàng)：否定應(yīng)該是：，，所以說(shuō)法不正確；D選項(xiàng)：“在中，若，則是銳角三角形”是假命題，所以其逆否命題也為假命題，所以說(shuō)法正確.【詳解】命題“若，則”的否命題是“若，則”，所以A選項(xiàng)不正確；雙曲線(xiàn)的離心率大于，即，解得，則“”是“雙曲線(xiàn)的離心率大于”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)不正確；命題“，”的否定是“，”，所以C選項(xiàng)不正確；命題“在中，若，則是銳角三角形”，在中，若，可能，此時(shí)三角形不是銳角三角形，所以這是一個(gè)假命題，所以其逆否命題也是假命題，所以該選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查四個(gè)命題關(guān)系，充分條件與必要條件，含有一個(gè)量詞的命題的否定，關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系，正確求解.10、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項(xiàng)分布的知識(shí)計(jì)算出，再計(jì)算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的求解問(wèn)題，涉及到利用二項(xiàng)分布公式求解概率的問(wèn)題.11、C【解析】由平面，直線(xiàn)與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線(xiàn)與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線(xiàn)上12、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實(shí)數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.14、e＝2.【解析】先求出直線(xiàn)的方程，利用原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)性質(zhì)，考查求雙曲線(xiàn)的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題15、【解析】先由線(xiàn)面角的定義得到，再計(jì)算的值即可得到結(jié)論【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，在長(zhǎng)方體中，平面，所以對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為，對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為,對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：16、32【解析】根據(jù)已知求出公比即可求出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以.故答案為：32.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線(xiàn)方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，由題意知，直線(xiàn)BP的斜率為，設(shè)，，直線(xiàn)AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線(xiàn)AP與橢圓C的交點(diǎn)，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，經(jīng)驗(yàn)證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)BP的方程為，符合題意.∴直線(xiàn)AP得方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩條直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，兩直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).18、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，即可求出面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，，所以面積的最大值為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，由求解；（2）設(shè)直線(xiàn)AC方程為，則直線(xiàn)BD的方程為，分時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)AC的方程為，則直線(xiàn)BD的方程為.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得，不妨設(shè)A，聯(lián)立，得，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，同理可得上述結(jié)論.綜上，20、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為，由題意，，從而可得，由橢圓的定義即可求解；（2）由題意，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，可得，利用弦長(zhǎng)公式求出及到直線(xiàn)AB的距離即可得的面積.【小問(wèn)1詳解】解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由題意，直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)，，由，可得，所以①，②，且，即，因?yàn)榈拿娣e是面積的一半，所以點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，即③，聯(lián)立①②③可得，所以，因?yàn)榈街本€(xiàn)AB的距離，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的面積為或.21、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線(xiàn)向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線(xiàn)與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線(xiàn)線(xiàn)角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.22、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可