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文檔簡介
廣東省汕頭市潮陽新世界中英文學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試模擬試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,點E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,點F,M分別在線段AC,BD1(不包含端點)上運動,則()A.在點F的運動過程中,存在EF//BC1B.在點M的運動過程中,不存在B1M⊥AEC.四面體EMAC的體積為定值D.四面體FA1C1B的體積不為定值2.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()3.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+14.已知,則()A.5 B. C.13 D.5.已知函數(shù),,的零點分別為,,,則()A. B.C. D.6.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標(biāo)原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知集合,,若,則()A. B. C. D.8.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點,使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.10.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和,例如:,,,那么在不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.11.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點,M為棱AD的中點,設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點,滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,其左、右焦點分別為、,若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,則雙曲線的離心率為__________.14.在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)抽取200個樣品.并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個,如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.15.在中,角所對的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為__________,的大小為__________.16.現(xiàn)有5人要排成一排照相,其中甲與乙兩人不相鄰,且甲不站在兩端,則不同的排法有____種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,有一個微型智能機(jī)器人(大小不計)只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),且每一步只能行進(jìn)1個單位長度,例如:該機(jī)器人在點處時,下一步可行進(jìn)到、、、這四個點中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點出發(fā)、行進(jìn)步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達(dá)式.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;(Ⅱ)已知點設(shè)直線與曲線相交于兩點,求的值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,.(1)證明:平面平面ABCD;(2)設(shè)H在AC上,,若,求PH與平面PBC所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時,證明;(Ⅱ)已知點,點,設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試判斷的零點個數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
采用逐一驗證法,根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式,可得結(jié)果.【詳解】A錯誤由平面,//而與平面相交,故可知與平面相交,所以不存在EF//BC1B錯誤,如圖,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點到平面的距離,由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即點到平面的距離,所以為定值,故四面體EMAC的體積為定值錯誤由//,平面,平面所以//平面,則點到平面的距離即為點到平面的距離,所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選:C【點睛】本題考查線面、線線之間的關(guān)系,考驗分析能力以及邏輯推理能力,熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,中檔題.2、D【解析】
由題意利用兩個向量坐標(biāo)形式的運算法則,兩個向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.【點睛】本題主要考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算,兩個向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點,則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計算能力,是中檔題.4、C【解析】
先化簡復(fù)數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算,是基礎(chǔ)題.5、C【解析】
轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點為與,,的交點,數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點,即為與,,的交點,作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.6、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).7、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵,∴,,,.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離,再由余弦定理得出的齊次式.10、B【解析】
先求出從不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過18的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個,從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點,連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點,第二個難點是求出點軌跡,第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.12、C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項;結(jié)合特殊值,即可排除D選項.【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項A,B;又∵當(dāng)時,,故選:C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先根據(jù)橢圓得出焦距,結(jié)合橢圓的定義求出,結(jié)合雙曲線的定義求出雙曲線的實半軸,最后利用離心率的公式求出離心率即可.【詳解】解:因為橢圓,則焦點為,又因為橢圓與雙曲線(,)有相同的焦點,橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為,且,在橢圓中:由橢圓的定義:在雙曲線中:,所以雙曲線的實軸長為:,實半軸為則雙曲線的離心率為:.故答案為:【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的定義,考查離心率的求解,利用定義解決綜合問題.14、10【解析】
先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個,第二組有60個,第三組有80個,第四組有20個,所以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,16、36【解析】
先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法,在此條件下,計算甲不排在兩端的排法,最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,有種排法,其中甲排在兩端,有種排法,則6人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,且甲不排在兩端,共有(種)排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特,計算量龐大,對結(jié)果的檢驗困難,所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩、考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標(biāo)因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因為,所以,,所以,所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎(chǔ)題.18、(1),,,(2)【解析】
(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿軸行進(jìn)步,必須沿軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù),而余下的每一步行進(jìn)方向都有兩個選擇(向上或向下),由此結(jié)合組合知識確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于的表達(dá)式,并得到的表達(dá)式,然后結(jié)合二項式定理及展開式的通項公式進(jìn)行求解.【詳解】解:(1),,(2)設(shè)為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長度為1),則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,(其中為不超過的最大整數(shù))總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負(fù)方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下),即等價于求中含項的系數(shù),為其中含項的系數(shù)為故.【點睛】本題考查組合數(shù)、二項式定理,考查學(xué)生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.19、(Ⅰ)直線的直角坐標(biāo)方程為;曲線的普通方程為;(Ⅱ).【解析】
(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;(II)將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程,可得,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,知,代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,并整理得.設(shè)是方程的兩根,則有.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化,直線參數(shù)方程的幾何意義,是一道容易題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)記,連結(jié),推導(dǎo)出,平面,由此能證明平面平面;(2)推導(dǎo)出,平面,連結(jié),由題意得為的重心,,從而平面平面,進(jìn)而是與平面所成角,由此能求出與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:記,連結(jié),中,,,,
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