臨夏市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

臨夏市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B.的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C.在區(qū)間上可能沒有極值點(diǎn)D.在區(qū)間上可能沒有最值點(diǎn)2．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.3．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.4．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.3C.2 D.15．在正三棱錐S?ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱，則正三棱錐S?ABC外接球的表面積是（）A. B.C. D.6．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.98．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（）A.4 B.C. D.99．下列語句中是命題的是A.周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B.C. D.梯形是不是平面圖形呢？10．設(shè)，若，則（）A. B.C. D.11．設(shè)集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿足約束條件，則的最大值為_________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為________.15．在空間直角坐標(biāo)系中，向量為平面ABC的一個(gè)法向量，其中，，則向量的坐標(biāo)為______16．不等式的解集是_______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.求△OPQ面積的最小值.18．（12分）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過點(diǎn)，且與C交于P，Q兩點(diǎn)．問：在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得對(duì)任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由19．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，求的值21．（12分）如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，分別為棱上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大??；（3）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直四棱柱，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和?若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直四棱柱，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關(guān)系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點(diǎn)，所以C正確故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題2、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A3、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：D.4、C【解析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以故選：C5、A【解析】由題意推出平面，即平面，，將此三棱錐補(bǔ)成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的體積【詳解】∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴，∵三棱錐為正棱錐，作平面，所以是底面正三角的中心，連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因?yàn)镾?ABC是正三棱錐。所以，以，，為從同一定點(diǎn)出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補(bǔ)成以正方體，則它們有相同的外接球，正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，，所以.故選：A.6、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.7、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D8、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【詳解】因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=當(dāng)且僅當(dāng)，即m=2,n=4時(shí)，等號(hào)成立故的最小值等于.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是常量代換的技巧，所謂常量代換，就是把一個(gè)常數(shù)用代數(shù)式來代替，如，再把常數(shù)6代換成已知中的m+n,即.常量代換是基本不等式里常用的一個(gè)技巧，可以優(yōu)化解題，提高解題效率.9、B【解析】命題是能判斷真假的語句，疑問句不是命題，易知為命題，故選B10、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所?所以，，所以.故選：B11、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個(gè)集合的關(guān)系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A12、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象和直線在軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)直線過點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線在軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，即,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進(jìn)一步可以得到，進(jìn)而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.15、【解析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，所以，解得，所以，故答案為：16、或【解析】將分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得，進(jìn)而求得拋物線方程.（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，求得三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當(dāng)k=0時(shí)，S最小，最小值為.18、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件，同時(shí)結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)，，，直線l的方程為，因?yàn)?，所以，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點(diǎn)，使得對(duì)任意且，都有.19、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時(shí)解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).則，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用韋達(dá)定理法即求；（2）由題可求，，再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.21、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺(tái)、棱錐的棱長(zhǎng)和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.（2）取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進(jìn)而求其大小.（3）設(shè)直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長(zhǎng)均為1，所以.由D是PA的中點(diǎn)，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺(tái)的棱長(zhǎng)和為定值6，體積為V.設(shè)直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長(zhǎng)和為6，體積為.因?yàn)檎拿骟w的體積是，所以，，從而，故構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.22、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對(duì)導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因?yàn)椋?，令，得?所以時(shí)，或