探究式導學案2：1-1-1-1正弦定理（一）

高中數學課程PAGEPAGE71.1.1.1《正弦定理》探究式學案【學習目標】1.掌握正弦定理的內容；2.掌握正弦定理的證明方法；3.會運用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題．【重、難點】重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用.難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數.【知識鏈接】問題1.在一個三角形中，有幾個角？有幾條邊？答：三個角，三條邊問題2.在一個三角形中，三個內角有怎樣的數量關系？三條邊有怎樣的數量關系？答：三角形三個內角角，三條邊問題3.在一個三角形中，邊與角有怎樣的數量關系？答：大邊對大角.【自主探究】（一）要點識記1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a2.三角形的元素：一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.3.解三角形：已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．（二）深層探究1.對定理的證明，教材用___________方法證明了直角三角形和銳角三角形的情況，為證明任意三角形中的正弦定理，還需要證明_______三角形的情況.【答案】等高法，鈍角2.請給出上述情況下的定理的證明.證明：如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，根據正弦函數的定義知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).3.正弦定理可以解決哪幾種三角形問題？答：（1）兩角任一邊；（2）兩邊一對角4.正弦定理有哪些變形？答：變式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.變式2：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sin變式3：a:b:c＝sinA:sinB:sinC.（三）拓展探究1.你能用外接圓法證明正弦定理嗎？證明：（1）當?ABC是直角三角形時，斜邊c就是外接圓的直徑2R，易證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.（2）當?ABC是直銳角三角形時，作三角形?ABC的外接圓O（如圖1），過點B作圓O的直徑BD，連接AD則由圓的性質易得∠ACB=∠ADB，BA⊥DA.∴sin∠ACB=sin∠ADB又在Rt?ABD中，sin∠ADB=ABBD=c2R∴sin∠ACB同理，a∴在銳角?ABC中（3）當?ABC是直銳角三角形時，作三角形?ABC的外接圓O，過點B作圓O的直徑BD，連接CD，如圖3，由四邊形及圓的性質易得∠A＝180°－∠∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin180°－D)＝eq\f(a,sinD)＝2R.同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴在鈍角?ABC中eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R仍成立．2.你能用正弦定理解釋“大邊對大角”嗎？答：在任意ABC中，不妨設a<b，則由正弦定理得2RsinA<2R若A,B都是銳角，因為正弦函數y=sinx在區(qū)間上單調遞增，所以有A若A是銳角，B是直角或鈍角，顯然有A<B；若A是鈍角，B是直角或銳角，則A+B<π，即0∴y=sinB<sin綜上所述：任意?ABC中，若a<b，則A<B，即大邊對大角.【典例突破】題型一.兩角任一邊例1.已知?ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°【解析】∵A＝30°，B＝∴C＝180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C＝30°，AC=63，變式1.在?ABC中，已知B=45o，C=60o，a=12cm，解此【答案】A=75°題型二.兩邊一對角例2.已知?ABC中，a=15，b=10，A＝60°，則sin33B.63C.2【答案】A【解析】由正弦定理asinA變式2.在?ABC中，若3a=2【答案】B=60°或B=120°【解題反思】從解題過程和結果上看，上述兩個題型有什么不同？談談你的理解.答：“兩邊一對角”的三角形問題的解可能有一組，也可能有兩組，求解時要根據三角形的性質判斷取舍.2.你能否解釋為什么“角角邊”和“角邊角”可以判定兩個三角形全等，而“邊邊角”不能？答：“角角邊”與“角邊角”就是“兩角任一邊”的題型，從例2可以看出這兩個條件都可唯一確定三角形，因而可以作為三角形全等的判定條件；“邊邊角”即“兩邊一對角”的題型，從例2及其變式可知，這種題型的可能有兩組解，即它不能唯一確定三角形，因而不是三角形全等的判定條件.一課一練1.在?ABC中，已知a=8，A.42B.43C.462.在?ABC中，若a=5,b=3，則sinA.53B.35C.573.在?ABC中，若sinA>sinB，則A與B的大小關系為A.A>BB.C.A≥BD.A,B的大小關系不能確定4.以下關于正弦定理的敘述錯誤的是（）A.在?ABC中，B.在?ABC中，若sin2A=sin2B，則C.在?ABC中，若sinA>sinB，則A>D.在?ABC中，5.在?ABC中，b=2aA.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°6.在?ABC中，角A,C的對邊分別為a,c，若A.2B.12C.32D選擇題答題欄1234567.已知?ABC中，sinA：sin8.已知?ABC中，A=60°,a=9.已知a,b,c分別是?ABC則A=10.已知?ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°11．已知?ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為ba12.用向量法證明正弦定理.《導學案》參考答案例1.【解析】∵A＝30°，B＝120°∴C＝180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C＝30°，AC=63，變式1.【答案】A=75°例2.【答案】A【解析】由正弦定理asinA=bsin變式2.【解析】由正弦定理得3∵sinA≠0∴sinB=又B∈0，π∴《一課一練》參考答案1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A【解析】（1）當A≥90°時，一定有A>B（2）當A<90°時，①若B<90°，則由正弦函數的單調性得則A<90°，180°-BA>180°-B，即A+B>180°綜合（1）（2）知A4.【答案】B【解析】∵在△ABC中，0°∴0°∴由sin2A=sin2B可得2A=2B或2A=180°-2B∴A=B或A=180°-B∴當A=B時a=b；當A=180°-B時，a5.【答案】D【解析】由b=2asinB得bsinB所以A=30°或A=150°6.【答案】C【解析】由正弦定理得ca=sin7.【答案】1【解析】由正限定理得a=2R8.【答案】2【解析】asinA=b9.【答案】30°【解析】由A+C=2BA又a<b，所以A<10.【解析】∵△ABC中C=180°-A-B=60