第14講勾股定理的應(yīng)用八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（華師大版）（教師版）

第14講勾股定理的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2．通過對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01利用勾股定理巧解折疊問題方法指導(dǎo)：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題的關(guān)鍵是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)探索折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題．【即學(xué)即練1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′.(1)如圖①，如果點(diǎn)B′和頂點(diǎn)A重合，求CE的長(zhǎng)；(2)如圖②，如果點(diǎn)B′是AC的中點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)．【答案】解：(1)設(shè)CE＝x，則BE＝8－x，由題意得AE＝BE＝8－x，由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2.解得x＝eq\f(7,4).即CE的長(zhǎng)為eq\f(7,4).(2)因?yàn)辄c(diǎn)B′是AC的中點(diǎn)，所以CB′＝eq\f(1,2)AC＝3.設(shè)CE＝x，類比(1)中的解法，可列出方程x2＋32＝(8－x)2，解得x＝eq\f(55,16).即CE的長(zhǎng)為eq\f(55,16).知識(shí)點(diǎn)02巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)方法指導(dǎo)：求最短距離的問題，第一種情況是通過計(jì)算和比較解最短距離問題；第二種情況是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對(duì)稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種情況是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．【即學(xué)即練2】如圖，A，B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到試驗(yàn)田A，B；乙方案：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到線段AB上的H處，再從H分別向試驗(yàn)田A，B修筑水渠．(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因?yàn)锳C2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠較短．因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以△ABC的面積＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)AC·BC.所以CH＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(160×120,200)＝96(m)．因?yàn)锳C＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC<CH＋AH＋BH.所以甲方案所修的水渠較短．能力拓展能力拓展考法01折疊如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處．(1)試說明：B′E＝BF；(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的長(zhǎng)．【答案】解：(1)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，所以∠B′EF＝∠EFB.又因?yàn)椤螧′FE＝∠EFB，所以∠B′FE＝∠B′EF.所以B′E＝B′F.又因?yàn)锽F＝B′F，所以B′E＝BF.(2)在Rt△A′B′E中，A′B′＝AB＝4，A′E＝AE＝3，所以B′E2＝A′B′2＋A′E2＝42＋32＝25.所以B′E＝5.所以BF＝B′E＝5.考法02最短距離問題1.如圖，小明在廣場(chǎng)上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達(dá)的終點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離是________．【答案】100m解析：如圖，作AC⊥BC于C.因?yàn)锳C＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，則AB＝100m.2.某島爭(zhēng)端持續(xù)，我海監(jiān)船加大對(duì)該島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，該島位于O點(diǎn)，我國海監(jiān)船在點(diǎn)B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點(diǎn)出發(fā)沿著AO方向勻速駛向此島所在地點(diǎn)O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)C處截住了漁船．(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長(zhǎng)．【答案】解：(1)如圖，連接AB，作AB的垂直平分線與OA交于點(diǎn)C，C點(diǎn)即為所求．(2)如圖，連接BC，設(shè)BC＝xnmile，則CA＝xnmile，在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，所以152＋(45－x)2＝x2.解得x＝25.即我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長(zhǎng)為25nmile.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG，且AG平分∠BAF.(1)試說明：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．【答案】解：(1)在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠C＝90°.因?yàn)閷ⅰ鰽DE沿AE對(duì)折至△AFE，所以AD＝AF，DE＝FE，∠D＝∠AFE＝90°.所以AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又因?yàn)锳G平分∠BAF，所以∠BAG＝∠FAG.所以△ABG≌△AFG(ASA)．(2)因?yàn)椤鰽BG≌△AFG，所以BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x.因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以CE＝EF＝DE＝3.所以EG＝3＋x.所以在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.所以BG＝2.2.高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖所示，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最短．求這個(gè)最短距離．【答案】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所建的出口．此時(shí)A，B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短，最短距離為AC的長(zhǎng)．作AD⊥BB′于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km，所以AC2＝AD2＋DC2＝100.所以AC＝10km.所以這個(gè)最短距離為10km.題組B能力提升練3.如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)試說明：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．【答案】解：(1)由題意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.又四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，所以AD∥BC.所以∠AEF＝∠CFE.所以∠AFE＝∠AEF.所以AE＝AF.所以AE＝AF＝CE＝CF.(2)由題意知，AE＝CE＝a，ED＝b，DC＝c.由∠D＝90°知ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.4.有一只螞蟻要從一個(gè)圓柱形玻璃杯的點(diǎn)A爬到與A相對(duì)的點(diǎn)B處，如圖所示，已知杯子高8cm，點(diǎn)B距杯口3cm，杯子底面半徑為4cm.螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短距離為多少？(π取3)【答案】解：從點(diǎn)A處豎直向上剪開，此圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，其中AC為圓柱的底面周長(zhǎng)，則AC＝2πr≈2×3×4＝24(cm)，則E′B＝eq\f(1,2)E′D′＝eq\f(1,2)AC≈12(cm)．又因?yàn)镋A＝8cm，EE′＝3cm，所以AE′＝EA－EE′＝8－3＝5(cm)．在Rt△ABE′中，AB2＝AE′2＋E′B2＝52＋122＝132，所以AB＝13cm.即螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短距離為13cm.題組C培優(yōu)拔尖練5.如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它的側(cè)面沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的側(cè)面爬行．你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程的平方．【答案】解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，連接AC，則AC為蝸牛爬行的最短路線．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.故蝸牛爬行的最短路程的平方為125.6．如圖，桌子上放著一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃．求小蟲爬行的最短路程．【答案】解：分為三種情況．情況一如圖①，連接EC.在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，所以EC＝25cm.情況二如圖②，連接EC.根據(jù)勾股定理可求得EC2＝82＋(30＋12＋15)2＝3313.情況三如圖③，連接EC.根據(jù)勾股定理可求得EC2＝122＋(30＋8＋15)2＝2953.所以小蟲爬行的最短路程是25cm.7．有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一小蟲想從魚缸外的A點(diǎn)沿壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)G處吃魚餌．(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才能使爬的