2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性（原卷版）

2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性【推本溯源】1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語(yǔ)言說(shuō)明：由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是，是它的對(duì)稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）幾何語(yǔ)言：（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語(yǔ)言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語(yǔ)言：已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語(yǔ)言：（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語(yǔ)言：按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點(diǎn)D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：方法2：因此，可以得到是等腰三角形（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）幾何語(yǔ)言：4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？的三角形叫做等邊三角形或三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質(zhì)嗎？等邊三角形是圖形，并且有條對(duì)稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。因此，等邊三角形的各角都等于。幾何語(yǔ)言：5.（1）那如果一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，那么這個(gè)三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC因此，的三角形是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：因此，是等邊三角形。幾何語(yǔ)言：6.兩個(gè)斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：因此，對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的幾何語(yǔ)言：（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點(diǎn)D，使得BD=CD因此，直角三角形斜邊上的等于斜邊的。幾何語(yǔ)言：【解惑】例1：如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2：如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)F、G．

(1)若，求的周長(zhǎng)．(2)若，求的度數(shù)．例3：在數(shù)學(xué)課堂上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們用尺規(guī)“過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線”，圖①是老師畫出的第一步，圖②，圖③分別是甲、乙兩位同學(xué)補(bǔ)充的作圖痕跡，則補(bǔ)充的作圖痕跡正確的是（

）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正確例4：如圖，在四邊形中，，，相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是，的中點(diǎn)，若，則______．

例5：如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)不可能是（

）

A． B． C． D．例6：如圖，在中，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)且，求證：．【摩拳擦掌】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線為正五邊形的對(duì)稱軸，連接交于點(diǎn)，以為邊作等邊，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，且，根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計(jì)算（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．4．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)虎門五中?？计谥校┰谥校?，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，則_____．5．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則為_(kāi)___________．6．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是___________．7．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，則_____度．8．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E且交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，的長(zhǎng)．

9．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？计谥校┮阎涸谥?，為的中點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)、，且．求證：是等腰三角形．10．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．求證：．

11．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在，，上，且，，是的中點(diǎn)．求證：．

【知不足】1．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)校考期中）已知一個(gè)三角形中兩個(gè)內(nèi)角分別是和，則這個(gè)三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定2．（湖南省衡陽(yáng)市八中教育集團(tuán)20222023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題）等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于（

）A．12 B．15 C．12或15 D．173．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，且，相交于點(diǎn)F，若，則等于（）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，線段的垂直平分線分別交，于點(diǎn)D，E，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．5．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在解答一道習(xí)題時(shí)，嘉嘉先作出了的一條高，又作出了的一條角平分線，發(fā)現(xiàn)作的是同一條線段，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形6．（2023春·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別等于3厘米和7厘米，那么這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于________厘米．7．（2023秋·重慶渝北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形中，，D為線段上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)A作，連接，當(dāng)平分時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)F使得，連接．若且，則__________．8．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．9．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)、分別在、上，且，和相交一點(diǎn)，于，，，___________．10．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)求．11．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┑冗呏?，，且．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．12．（2023·廣東廣州·?？既＃┮阎粋€(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)a，底邊上的高長(zhǎng)b．

(1)求作等腰三角形，底邊上的高為（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．13．（2023秋·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，，垂足為E，F(xiàn)是的中點(diǎn)連接．(1)求證：；(2)連接，若，．①判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②_________．14．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，于F，于E，M為的中點(diǎn)．(1)若＝4，＝10，求的周長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．無(wú)法確定2．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，平分，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____．

3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)，連接，若，則___________．

4．（2023·黑龍江哈爾濱·校考三模）如圖，四邊形ABCD中，且，過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)E，若，則___________5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考三模）如圖，小明練習(xí)冊(cè)上的一個(gè)等腰三角形被墨跡污染了，只有它的底邊和還保留著．

(1)小明要在練習(xí)冊(cè)上畫出原來(lái)的等腰，用到的基本作圖可以是___________（填寫正確答案的序號(hào)）；①作一條線段等于已知線段；②作一個(gè)角等于已知角；③作已知角的平分線；④作已知線段的垂直平分線；⑤過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；(2)為邊上的中線，若的一個(gè)外角為，求的度數(shù)．6．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點(diǎn)P，使得·（保留作圖痕跡，不寫作法）7．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期中）【學(xué)習(xí)新知】等邊對(duì)等角是等腰三角形的性質(zhì)定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應(yīng)用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數(shù)學(xué)小組成員通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明．請(qǐng)你參考他們的想法，寫出完整的證明過(guò)程．【拓展應(yīng)用】借助上一問(wèn)的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)t為何值時(shí)，是等邊三角形？(3)當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？9．（2023春·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，點(diǎn)，，都在網(wǎng)格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按下列要求作圖．

(1)在圖中過(guò)點(diǎn)畫的垂線，且點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上．(2)在圖中畫，再畫，且點(diǎn)，都在網(wǎng)格點(diǎn)上．10．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點(diǎn)F是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在線段、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、．

(1)求證：是等腰三角形．(2)判斷的度數(shù)，并說(shuō)明理由．11．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．求證：為的角平分線．12．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）和均為等腰三角形．(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；(2)如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖1中的和，若在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線與相交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．13．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐——探索圖形平移中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．【問(wèn)題情境】如圖1，已知等邊三角形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為邊，在外部作等邊三角形．

【操作探究】將從圖1的位置開(kāi)始，沿射線方向平移，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、(1)如圖2，善思小組的同學(xué)畫出了時(shí)的情形，此吋平移的距離是______；

(2)如圖3，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在平移過(guò)程中，連接交射線于