專題28.8圓與銳角三角函數(shù)綜合問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【人教版】專題28.8圓與銳角三角函數(shù)綜合問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）一．解答題（共25小題）1．（2022?西城區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑的⊙O交AC于點D，在AC上截取AE＝AB，連接BE交⊙O于點F．（1）求證：∠EBC＝∠BAC；（2）若⊙O的半徑長r＝5，tan∠CBE＝，求CE的長．【分析】（1）連接AF，由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBC＝90°，進而可得∠BAF＝∠EBC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）過E點作EG⊥BC于點G，證明△BAF∽△EBG，列比例式可得，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求得EG＝4，BG＝8，△ABC∽△EGC，列比例式可求解CG的長，再利用勾股定理可求解．【解答】（1）證明：連接AF，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF+∠EBC＝90°，∴∠BAF＝∠EBC，∵AB＝AE，∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠BAC，∴∠EBC＝∠BAC；（2）過E點作EG⊥BC于點G，∴∠AFB＝∠BGE＝90°，∵∠BAF＝∠EBG，∴△BAF∽△EBG，∴，∵tan∠BAF＝tan∠CBE＝，∴AF＝2BF，∵AB＝2OA＝10，∴BF＝，AF＝，∵AF⊥BE，AB＝AE，∴BE＝2BF＝，∴，解得EG＝4，BG＝8，∵∠ABC＝∠EGC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EGC，∴，∴，解得CG＝，∴CE＝．2．（2022?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點C，過點C作CD⊥BE，交BE的延長線于點D，連接CE．（1）請判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半徑．【分析】（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線，證明OC⊥CD即可；（2）設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點J．證明四邊形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線．理由：連接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）設(shè)OA＝OC＝r，設(shè)AE交OC于點J．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四邊形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半徑為．3．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的長．【分析】（1）連接OE，方法一：根據(jù)角平分線的性質(zhì)及同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出∠OEC＝90°即可；方法二：根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OEC＝90°即可；（2）連接EF，根據(jù)三角函數(shù)求出AB和半徑的長度，再利用三角函數(shù)求出AE的長即可．【解答】（1）證明：連接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠BAC＝2∠OAE，∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；方法二：∵AE平分∠BAC交BC于點E，∴∠OAE＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴OE∥AB，∵∠B＝90°，∴OE⊥BC，又∵OE是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：連接EF，∵CF＝2，sinC＝，∴，∵OE＝OF，∴OE＝OF＝3，∵OA＝OF＝3，∴AC＝OA+OF+CF＝8，∴AB＝AC?sinC＝8×＝，∵∠OAE＝∠BAE，∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即，∴，解得AE＝（舍去負(fù)數(shù)），∴AE的長為．4．（2022?大連）AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與DO的延長線相交于點E．（1）如圖1，求證∠B＝∠E；（2）如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE＝3，求AD的長．【分析】（1）利用等角的余角相等證明即可；（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性質(zhì)求BD，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出AD．【解答】（1）證明：∵AE與⊙O相切于點A∴AB⊥AE，∴∠A＝90°，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠A＝90°，∵∠BOD＝∠AOE，∴∠B＝∠E．（2）如圖2，連接AC，∵OA＝2，OE＝3，∴根據(jù)勾股定理得AE＝，∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，∴△BOD∽△EOA，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴CD＝BD＝，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC＝，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AD＝＝＝．5．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖，作線段AC的垂直平分線即可；（2）根據(jù)垂徑定理、勾股定理可求出直徑AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位線定理可求出OE，即點O到AC的距離，在直角三角形CDE中，求出DE，由勾股定理求出CD，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出答案．【解答】解：（1）分別以A、C為圓心，大于AC為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別相交于P、Q兩點，畫直線PQ交劣弧于點D，交AC于點E，即作線段AC的垂直平分線，由垂徑定理可知，直線PQ一定過點O；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．∴AB＝＝10，∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝4，又∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝BC＝3，由于PQ過圓心O，且PQ⊥AC，即點O到AC的距離為3，連接OC，在Rt△CDE中，∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，∴CD＝＝＝2∴sin∠ACD＝＝＝．6．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余以及等量代換得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，進而得出EC是切線；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出OD、CD、AC、OC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EC，根據(jù)S陰影部分＝S△COE﹣S扇形進行計算即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半徑，∴EC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，設(shè)OD＝4x，則OC＝5x，∴CD＝＝3x＝AC，在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴＝，即＝，∴EC＝，∴S陰影部分＝S△COE﹣S扇形＝××4﹣＝﹣4π＝，答：AC＝3，陰影部分的面積為．7．（2022?松陽縣二模）如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為O，弦AC平分∠BAD，點D在半圓上，過點C作CE⊥AD，垂足為點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF與半圓O相切于點C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠E＝90°，再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可證AE∥OC，然后利用平行線的性質(zhì)可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根據(jù)已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后證明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出AE，EF的長，最后在Rt△ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半徑，∴EF與半圓O相切于點C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF＝＝＝4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴＝＝，∴＝＝，∴EA＝，EF＝，∴CE＝EF﹣CF＝，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝＝2，∴tan∠ACE的值為2．8．（2022?樂山）如圖，線段AC為⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，＝，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．連結(jié)CE交DF于點G．（1）求證：CG＝DG；（2）已知⊙O的半徑為6，sin∠ACE＝，延長AC至點B，使BC＝4．求證：BD是⊙O的切線．【分析】（1）證明∠CDG＝∠DCG可得結(jié)論；（2）證明△COH∽△BOD可得∠BDO＝90°，從而得結(jié)論．【解答】證明：（1）連接AD，∵線段AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDG＝90°，∵DF⊥BC，∴∠DFA＝∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CDG＝∠DAF，∵＝，∴∠DAF＝∠DCG，∴∠CDG＝∠DCG，∴CG＝DG；（2）連接OD，交CE于H，∵＝，∴OD⊥EC，∵sin∠ACE＝＝，∵BC＝4，OD＝OC＝6，∴＝＝，∴＝，∵∠COH＝∠BOD，∴△COH∽△BOD，∴∠BDO＝∠CHO＝90°，∴OD⊥BD，∵OD是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線．9．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．（1）求證：∠ECD＝∠A；（2）若CE＝4，DE＝2，求AB的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODC＝90°，從而可得∠ADO+∠EDC＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠E＝90°，從而可得∠EDC+∠DCE＝90°，進而可得∠ADO＝∠DCE，然后利用等腰三角形的性質(zhì)，即可解答；（2）在Rt△DCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出tan∠DCE的值，從而求出tanA的值，然后在Rt△AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，從而求出AD的長，最后證明A字模型相似三角形△ADB∽△AEC，利用相似三角形的性質(zhì)求出DB的長，從而在Rt△ADB中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODC＝90°，∴∠ADO+∠EDC＝180°﹣∠ODC＝90°，∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∴∠EDC+∠DCE＝90°，∴∠ADO＝∠DCE，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠ECD＝∠A；（2）解：在Rt△DCE中，CE＝4，DE＝2，∴tan∠DCE＝＝＝，∵∠ECD＝∠A，∴tan∠ECD＝tanA，在Rt△AEC中，tanA＝＝＝，∴AE＝8，∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2＝6，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠E，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴DB＝3，∴AB＝＝＝3，∴AB的長為3．10．（2022?市中區(qū)一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線交DA的延長線于點E，DE⊥CE，連接CD，BC．（1）求證：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝8，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OC，根據(jù)CE是⊙O的切線得到∠OCE＝90°，從而得到OC∥DE，進而得到∠DAB＝∠AOC，再結(jié)合∠AOC＝2∠ABC，即可得到∠DAB＝2∠ABC；（2）連接AC，先根據(jù)AB是⊙O的直徑得到∠ACB＝90°，再根據(jù)圓周角定理得到tan∠ABC＝tan∠ADC＝，在Rt△ABC利用銳角三角函數(shù)及勾股定理即可計算出半徑長．【解答】（1）證明：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°，∵DE⊥CE，∴∠E＝90°，∴∠OCE+∠E＝180°，∴OC∥DE，∴∠DAB＝∠AOC，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC；（2）解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC，∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，∴，∵BC＝8，∴AC＝4，∴AB＝4，∴⊙O的半徑為2．11．（2022?瑞安市一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，交⊙O于點E，以DB為直徑作⊙O交BC于點F，連結(jié)BE，EF．（1）證明：∠A＝∠BEF．（2）若AC＝4，tan∠BEF＝4，求EF的長．【分析】（1）連接DF，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DFB＝90°，從而可得∠ACB＝∠DFB＝90°，進而可得AC∥DF，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠FDB，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠FDB＝∠BEF，即可解答；（2）過點E作EH⊥BC，垂足為H，根據(jù)角平分線的定義可得CF＝DF，再設(shè)CF＝DF＝x，在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BC，從而表示出BF，然后證明A字模型相似三角形△ACB∽△DFB，利用相似三角形的性質(zhì)求出FB的長，從而求出FH的長，最后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DEB＝90°，從而可得CH＝EH＝BC＝8，進而在Rt△EFH中，利用勾股定理求出EF，即可解答．【解答】（1）證明：連接DF，∵BD是⊙O的直徑，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB＝90°，∴AC∥DF，∴∠A＝∠FDB，∵∠FDB＝∠BEF，∴∠A＝∠BEF；（2）解：過點E作EH⊥BC，垂足為H，∴∠EHF＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCB＝45°，∴CF＝DF，設(shè)CF＝DF＝x，∵∠A＝∠BEF，∴tanA＝tan∠BEF＝4，∴BC＝AC?tanA＝4×4＝16，∴BF＝BC﹣CF＝16﹣x，∵∠ACF＝∠DFB＝90°，∴△ACB∽△DFB，∴＝，∴＝，∴x＝，經(jīng)檢驗，x＝是原方程的根，∴CF＝，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BED＝90°，∴∠EBC＝90°﹣∠DCB＝45°，∴EC＝EB，∵EH⊥BC，∴CH＝BH＝BC＝8，∴EH＝BC＝8，∴FH＝CH﹣CF＝，∴EF＝＝＝，∴EF的長為．12．（2022秋?濰城區(qū)期中）閱讀理解：如圖1，在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C＝90°，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA＝，sinB＝，可得＝c＝2R，即＝2R（規(guī)定sin90°＝1）．探究活動：如圖2，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，其外接圓半徑為R，那么：＝＝（用＞，＝或＜連接），并說明理由．初步應(yīng)用：事實上，以上結(jié)論適用于任意三角形．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠B＝30°，∠C＝45°，b＝，求c．綜合應(yīng)用：如圖3，在某次數(shù)學(xué)實踐活動中，小瑩同學(xué)測量一棟樓AB的高度，在A處用測角儀測得地面點C處的俯角為45°，點D處的俯角為15°，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點的距離為100米，求樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin15°＝）．【分析】探究活動：由銳角三角函數(shù)可得＝＝＝2R，可得解；初步應(yīng)用：將數(shù)值代入＝可求解；綜合應(yīng)用：由三角形的外角性質(zhì)可求∠ACB＝30°，利用（1）的結(jié)論即可求解．【解答】解：探究活動：如圖，過點C作直徑CD交⊙O于點D，連接BD，∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD＝＝，∴＝＝2R，同理可證：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R，故答案為：＝，＝；初步應(yīng)用：∵＝＝2R，∠B＝30°，∠C＝45°，b＝，∴＝，∴＝，∴c＝2；綜合應(yīng)用：如圖，由題意得：∠ABD＝90°，∠MAD＝15°，∠MAC＝45°，AB＝100m，∴∠CAD＝30°，∵AM∥BD，∴∠ADB＝∠MAD＝15°，∠ACB＝∠MAC＝45°，設(shè)樓AB＝xm，則AC＝xm，∵＝，∴＝，∴＝，∴x＝50（﹣1）≈50×0.7＝35，∴樓AB高度約為35m．13．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，以△ABC的邊AC上一點O為圓心，OC為半徑的⊙O經(jīng)過B點與AC交于D點，連接BD，已知∠ABD＝∠C，tanC＝．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若AD＝1，求CD；（3）設(shè)AM為∠BAC的平分線，AM＝4，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及切線的判定方法進行解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及tanC＝＝即可求出AC，進而求出CD；（3）根據(jù)角平分線的定義，直角三角形的兩銳角互余以及三角形內(nèi)角和定理可得∠AMN＝45°，進而求出AN＝MN＝4，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC，BD，由勾股定理求出CD，進而求出半徑即可．【解答】（1）證明：∵OB＝OC，OB＝OD，∴∠C＝∠OBC，∠OBD＝∠ODB，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，即∠OBD+∠OBC＝90°，又∵∠C＝∠ABD，∴∠ABD+∠OBD＝90°，即OB⊥AB，∵OB是⊙O的半徑，∴AB是⊙⊙O的切線；（2）解：∵∠C＝∠ABD，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴＝＝＝tanC＝，∵AD＝1，∴AB＝2，AC＝4，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣1＝3；（3）解：如圖，過點A作AN⊥BC，交CB的延長線于點N，∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM，∵∠C+∠CDB＝90°，∴∠C+∠ABD+∠CAB＝90°，又∵∠C＝∠ABD，∴∠CAM+∠C＝×90°＝45°＝∠AMN，∴AN＝MN，∵AM＝4，∴AN＝MN＝4×＝4，∵tanC＝＝＝，∴CN＝2AN＝8，∴MC＝MN＝4，∵AM平分∠BAC，＝＝＝，∴BM＝2，∴BC＝3+4＝6，BD＝3，在Rt△BCD中，CD＝＝3，∴⊙O的半徑為．14．（2022春?青山區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC交于點E．（1）求證：BC是⊙D的切線；（2）若sinC＝，設(shè)BC切⊙D于點F，求tan∠CFE的值；【分析】（1）作DH⊥BC于點H，由BD平分∠ABC，得DH＝DA，可知點D到BC的距離等于⊙D的半徑長，即可證明BC是⊙D的切線；（2）連接DF，設(shè)AB＝5m，DA＝DF＝r，由sinC＝＝，得BC＝13m，根據(jù)勾股定理求得AC＝12m，則CD＝12m﹣r，由×13mr＝×5m（12m﹣r）＝S△BCD，得DA＝r＝m，再證明EF∥BD，得∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，所以tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝．【解答】（1）證明：如圖1，作DH⊥BC于點H，∵∠BAC＝90°，∴DA⊥BA，∵BD平分∠ABC，∴DH＝DA，∵DA為⊙D的半徑，∴BC是⊙D的切線．（2）解：如圖2，連接DF，設(shè)AB＝5m，DA＝DF＝r，∵sinC＝＝，∴BC＝13m，∴AC＝＝12m，∴CD＝12m﹣r，∵⊙D與BC相切于點F，∴BC⊥DF，∴BC?DF＝CD?AB＝S△BCD，∴×13mr＝×5m（12m﹣r），∴DA＝r＝m，∵∠BFD＝∠BAD＝90°，BD＝BD，DF＝DA，∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），∴∠BDF＝∠BDA，∵DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∴∠ADF＝2∠BDF＝∠DFE+∠DEF＝2∠DFE，∴∠BDF＝∠DFE，∴EF∥BD，∴∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，∴tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝＝，∴tan∠CFE的值是．15．（2022?思明區(qū)校級二模）如圖，△ABD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，E是上一點，且DE＝DA，連接AE交BD于F，在BD延長線上取點C，使得∠CAD＝∠EAD．（1）求證：直線AC與⊙O相切；（2）若AE＝24，tanE＝，求⊙O的半徑長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，求得∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠EAD，求得∠BAC＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過D作DH⊥AE于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH＝EH＝AE＝12，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵AD＝DE，∴∠E＝∠EAD，∵∠E＝∠B，∠CAD＝∠EAD，∴∠CAD＝∠B，∴∠B+∠C＝90°∴∠BAC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴直線AC與⊙O相切；（2）解：如圖，過D作DH⊥AE于H，∵DE＝DA，∴AH＝EH＝AE＝12，∵tanE＝tan∠EAD＝＝，∴DH＝9，∴AD＝＝＝15，∵∠B＝∠E，∴tanB＝＝，∴BD＝20，∴AB＝＝25，∴⊙O的半徑長為．16．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，D為的中點，連接AE，BD并延長交于點C．連接OD，在OD的延長線上取一點F，連接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接AD，由圓周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧對等角可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，再進行等量代換可得∠ABF＝90°便可證明；（2）連接BE，由圓周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AD，AB是圓的直徑，則∠ADB＝90°，D為的中點，則∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵，∴∠CBF＝∠BAD，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，∴AB⊥BF，∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BE，AB是圓的直徑，則∠AEB＝90°，∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，∴△OBF∽△AEB，∴OB：AE＝OF：AB，∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，OB＞0，則OB＝3，∴⊙O的半徑為3．17．（2022?南京模擬）如圖，AB是⊙O的弦，D為OA半徑的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE＝CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)；（3）如果BE＝13，，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC＝90°，即可證明BC是⊙O的切線；（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；（3）延長AO交⊙O于點M，連結(jié)BM．在Rt△ADE中，設(shè)AD＝4x，則AE＝5x，在Rt△ABM中，，即，據(jù)此即可求解．【解答】（1）證明：連接OB，∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OF，AF，BF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°；（3）解：延長AO交⊙O于點M，連結(jié)BM．∵cos∠OAB＝，∴在Rt△ADE中，設(shè)AD＝4x，則AE＝5x，∵點D為OA的中點，∴OA＝8x，∴AM＝16x，∵AM為⊙O的直徑，∴∠ABM＝90°，∵，∴在Rt△ABM中，，即，解得：x＝，經(jīng)檢驗，是方程的解，且符合題意，∴OA＝8x＝8×＝，∴⊙O的半徑是．18．（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點E為⊙O上一點，EF∥AC交AB的延長線于點F，CE與AB交于點D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理，圓周角定理解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【解答】（1）證明：連接OE，∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，∴∠ABC＝∠BOE，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠BCD，∵EF∥AC，∴∠FEC＝∠ACE，∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，即∠FEO＝∠ACB，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，∴FE⊥EO，∵EO是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）解：∵EF∥AC，∴△FEO∽△ACB，∴，∵BF＝2，sin∠BEC＝，設(shè)⊙O的半徑為r，∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，∴，解得：r＝3，檢驗得：r＝3是原分式方程的解，∴⊙O的半徑為3．19．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥HG，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)余弦的定義求出⊙O的半徑，根據(jù)三角形中位線定理求出BC，再根據(jù)余弦的定義求出BG，計算即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．20．（2022?郯城縣二模）如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD＝2∠BAC，連接CD．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．（1）求證：CF為⊙O的切線；（2）當(dāng)時，求BF的長．【分析】（1）連接OC，由圓周角定理結(jié)合已知得出∠BOC＝∠ABD，得出OC∥BD，由平行線的性質(zhì)得出OC⊥CF，即可證明CF為⊙O的切線；（2）連接AD，OC，由圓周角定理得出∠ADB＝90°，由CE⊥DB，得出∠BEF＝90°，由三角形內(nèi)角和定理及∠ABD＝∠EBF，得出∠F＝∠BAD，利用解直角三角形求出BD＝6，進而求出AB＝10，得出OC＝OB＝5，在Rt△FOC中，，即可求出BF的長度．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，∵∠BOC＝2∠BAC，∠ABD＝2∠BAC，∴∠BOC＝∠ABD，∴OC∥BD，∵CE⊥DB，∴OC⊥CF，∵OC為⊙O的半徑，∴CF為⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接AD，OC，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∵CE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∵∠ABD＝∠EBF，∴∠F＝∠BAD，∴，∵BD＝6，∴，∴AB＝10，∴OB＝5，∴OC＝OB＝5，在Rt△FOC中，，∴．21．（2022?松桃縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接AC、BC，點D在BA的延長線上，且∠DCA＝∠ABC，點E在DC的延長線上，且BE⊥DE．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若tan∠D＝，BE＝+1，求DA的長．【分析】（1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACO+∠OCB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCB＝∠ABC，由∠DCA＝∠ABC，∠ACO+∠DCA＝90°，即∠DCO＝90°，即可證明DC是⊙O的切線；（2）連接OC，在Rt△DCO中，tanD＝＝，設(shè)OC＝OB＝x，則DC＝2x，得出OD＝x，在Rt△DEB中，tanD＝＝，由BE＝+1，求出DE＝2+2，由勾股定理求出BD＝（），進而求出OD＝（）﹣x，得出方程x＝（）﹣x，求出x＝，DA＝BD﹣AB＝5﹣．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠DCA＝∠ABC，∴∠OCB＝∠DCA，∴∠ACO+∠DCA＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接OC，在Rt△DCO中，tanD＝＝，設(shè)OC＝OB＝x，則DC＝2x，∴OD＝＝＝x，在Rt△DEB中，tanD＝＝，∴DE＝2BE，∵BE＝+1，∴DE＝2（+1）＝2+2，∴BD＝＝＝（），∴OD＝BD﹣OB＝（）﹣x，∴x＝（）﹣x，解得：x＝，∴AB＝2x＝2，∴DA＝BD﹣AB＝（）﹣2＝5﹣．22．（2022?中山市三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，P為圓外一點，連接PC、PB，且滿足PC＝PB，∠PCB＝∠BAC．連接PO并延長交⊙O于E、F兩點．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）證明：EF2＝4OD?OP；（3）過點E作EG垂直AB交于點G，連接BE，若，求tan∠EBA的值．【分析】（1）證出∠PBA＝∠PBC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°即可得出結(jié)論；（2）求證△BOD∽△POB，得出OB2＝OD?OP，根據(jù)EF＝2OB即可得出結(jié)論；（3）設(shè)△BOC的面積為2S．則△BOE的面積為3S，證出△OEG∽△ABC，從而得到△OEG的面積為S．進而得出，表示出EG和BG的長度．可得到答案．【解答】（1）證明：AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵PB＝PC．∴∠PCB＝∠PBC．∵∠PCB＝∠BAC，∴∠PBA＝∠PBC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝90°，∴OB⊥PB，∵OB是半徑，∴PB是⊙O的切線：（2）證明：∵PC＝PB，OB＝OC，∴OP為BC的垂直平分線，∴∠ODC＝90°，由（1）得：∠PBO＝90°，∵∠BOD＝∠POB，∴△BOD∽△POB，∴，∴OB2＝OD?OP，∵EF＝2OB，∴EF2＝4OB2＝4OD?OP；（3）解：設(shè)△BOC的面積為2S，則△BOE的面積為3S，∵OA＝OB，∴△AOC的面機為2S，△ABC的面積為4S，∵∠ODC＝∠ACB＝90°，∴EP∥AC，∴∠BAC＝∠EOG，∵EG⊥AB，∴∠OGE＝∠ACB＝90°，∴△OEG∽△ABC，∴，∴△OEG的面積為S，∴，設(shè)OB＝3a，則OG＝a．OE＝OB＝3a，∴EG＝＝2a，∴tan∠EBA＝．23．（2022?武威模擬）如圖，BE是△ABC的角平分線，∠C＝90°，點D在AB邊上，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過點E，交BC于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若sinA＝，⊙O的半徑為5，求△BEF的面積．【分析】（1）連接OE，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)和切線的判定定理解答即可；（2）連接OE，OF，過點O作OH⊥BF于點H，利用垂徑定理可得BH＝HF＝BF，利用平行線的判定與性質(zhì)可得∠HOB＝∠A，則sin∠HOB＝，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理可求BH，OH，再利用平行線間的距離相等，同底等高的三角形的面積相等可得S△BEF＝S△BOF，利用三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OE，如圖，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵BE是△ABC的角平分線，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C．∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°．∴OE⊥AC，∵OE為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）解：連接OE，OF，過點O作OH⊥BF于點H，如圖，則BH＝HF＝BF．∵∠C＝90°，∴AC⊥BC．∵OH⊥BF，∴OH∥AC，∴∠HOB＝∠A．∵sinA＝，∴sin∠HOB＝，∵sin∠HOB＝，⊙O的半徑為5，∴BH＝3．∴BF＝6，OH＝＝4．由（1）知：OE∥BC，∴S△BEF＝S△BOF．∵BF?OH＝6×4＝12，∴S△BEF＝12．24．（2022?紅花崗區(qū)模擬）如圖，在?ABCD中，AB＝AC，作△ABC的外接圓⊙O，CD與⊙O交于點E，連接AE．（1）求證：DA是⊙O切線；（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BAC＝，求DE的長．【分析】（1）連接AO并延長交BC于點M，根據(jù)已知可得AM是BC的垂直平分線