核心考點04分式的概念與基本性質(zhì)

核心考點04分式的概念與基本性質(zhì)目錄考點一：分式的定義考點二：分式有意義的條件考點三：分式的值為零的條件考點四：分式的值考點五：分式的基本性質(zhì)考點六：約分考點七：通分考點八：最簡分式考點九：最簡公分母考點十：列代數(shù)式（分式）考點考點考向一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因為0不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分數(shù)線可以理解為除號，還兼有括號的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運算，而不能稱之為分式，但如果用負指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因為y﹣1＝僅是一種數(shù)學上的規(guī)定，而非一種運算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．（4）分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號法則：分子、分母、分式本身同時改變兩處的符號，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當分子、分母的系數(shù)為分數(shù)或小數(shù)時，應用分數(shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號問題：分式的分子、分母及分式本身的三個符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變，注意分子、分母是多項式時，分子、分母應為一個整體，改變符號是指改變分子、分母中各項的符號．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面．③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．通分（1）通分的定義：把幾個異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．八．最簡分式最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．和分數(shù)不能化簡一樣，叫最簡分數(shù)．九．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．十．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數(shù)量關系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分數(shù)線代替．考點考點精講一．分式的定義（共1小題）1．（2022春?贛榆區(qū)校級月考）下列各式：，﹣，xy2，，，其中是分式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)分式的定義逐個判斷即可．【解答】解：分式有﹣，，共2個，故選：B．【點評】本題考查了分式的定義，能熟記分式的定義是解此題的關鍵，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，則叫分式．二．分式有意義的條件（共1小題）2．（2022春?六合區(qū)校級月考）分式有意義，x的取值范圍是．【分析】根據(jù)分式有意義的條件，使分式分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出答案．【解答】解：∵分式有意義，∴3x﹣2≠0，解得，故答案為：．【點評】本題考查分式有意義的條件，即：分母不等于0，如果式子中含有多個分母，那么這幾個分母都不能為0．三．分式的值為零的條件（共1小題）3．（2022?亭湖區(qū)校級開學）當x＝3時，分式的值為零．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個條件需同時具備，缺一不可．【解答】解：分式的值為零，即x2﹣9＝0，∵x≠﹣3，∴x＝3．故當x＝3時，分式的值為零．故答案為3．【點評】由于該類型的題易忽略分母不為0這個條件，所以常以這個知識點來命題．四．分式的值（共7小題）4．（2022秋?高郵市期末）已知x2﹣3x﹣m＝0，則代數(shù)式的值是（）A．3 B．2 C． D．【分析】先將已知等式變形為x2﹣m＝3x，再代入求解即可．【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，則，故選：D．【點評】本題考查了分式的化簡求值，根據(jù)所求式子，正確變形已知等式是解題關鍵．5．（2022春?溧水區(qū)期中）關于分式的判斷，下列說法正確的是（）A．當x＝2時，分式的值為零 B．當x＝﹣1時，分式無意義 C．當x≠2時，分式有意義 D．無論x為何值，分式的值總為負數(shù)【分析】利用分式有無意義、值為0的條件，逐個判斷得結(jié)論．【解答】解：當x＝2時，分式無意義，故A說法錯誤；當x＝﹣1時，分式的值為0，故B說法錯誤；當x≠2時，分式有意義，故C說法正確；當x＝3時，分式的值不為負數(shù)，故D說法錯誤．故選：C．【點評】本題考查了分式有無意義及值為0的條件．當分式的分母為0時，分式無意義；當分式的分子為0，分母不為0時分式的值為0；當分式的分母不為0時，分式總有意義．6．（2021春?沭陽縣校級期末）已知＝0，求的值．【分析】直接利用算術平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)結(jié)合分式有意義的條件得出x，y的值，進而代入求出答案．【解答】解：∵＝0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，解得：x＝3，y＝1，則＝＝2．所以的值是2．【點評】此題主要考查了算術平方根的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關鍵．7．（2022春?鼓樓區(qū)期中）閱讀材料．已知，求的值．解：由，得，顛倒分子與分母的位置為，因為＝，所以．回答問題：已知a，b，c為非零實數(shù)，，，求代數(shù)式的值．【分析】先分別求得的倒數(shù)，再將計算結(jié)果代入的倒數(shù)進行計算即可．【解答】解：∵，，，∴＝6，＝8，＝10，∴++＝6+8+10，∴，∴＝24，∴，，∴＝．【點評】此題考查的是分式的計算，能夠根據(jù)已知等式進行正確變形是解決此題的關鍵．8．（2021春?江都區(qū)校級期中）小明和小強一起做分式的游戲，如圖所示他們面前各有三張牌（互相可以看到對方的牌），自己任選兩張牌做分子和分母，組成一個分式，然后兩人取定一個相同的x值，再計算分式的值，值大者為勝．為使分式有意義，他們約定x是大于3的正整數(shù)．（1）請分別寫出小明和小強可能組成的分式中，值最大的分式（直接寫出結(jié)果）；（2）小強思考了一下，哈哈一笑，說：“雖然我是三張帶減號的牌，但我一定是勝者”，小強說的有道理嗎？請你通過計算說明．小明的牌：小強的牌：【分析】（1）根據(jù)分式值的意義，確定分式的分子和分母即可；（2）作差法即可比較出與的大?。窘獯稹拷猓海?）∵x是大于3的正整數(shù)．∴x﹣1＞x﹣2＞x﹣3＞0，x+3＞x+2＞x+1＞0，∴小明用x+3作分子，x+1作分母，其分式的值最大，小強用x﹣1作分子，x﹣3作分母，其分式的值最大，∴小明：；小強：；（2）小強說的有道理，理由如下：﹣＝；∴當x是大于3的正整數(shù)時，＜0；即＜；故小強說的有道理．【點評】本題考查分式的定義及分式的加減運算，解題關鍵是利用作差法比較大?。?．（2022春?洪澤區(qū)期中）小紅、小剛、小明三位同學在討論：當x取何整數(shù)時，分式的值是整數(shù)？小紅說：這個分式的分子、分母都含有x，它們的值均隨x取值的變化而變化，有點難．小剛說：我會解這類問題：當x取何整數(shù)時，分式的值是整數(shù)？3是x+1的整數(shù)倍即可，注意不要忘記負數(shù)哦．小明說：可將分式與分數(shù)進行類比．本題可以類比小學里學過的“假分數(shù)”，當分子大于分母時，可以將“假分數(shù)”化為一個整數(shù)與“真分數(shù)”的和．比如：＝＝2+（通常寫成帶分數(shù)：2）．類比分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時，可稱這樣的分式為“假分式”，若將化成一個整式與一個“真分式”的和，就轉(zhuǎn)化成小剛說的那類問題了！小紅、小剛說：對！我們試試看！…（1）解決小剛提出的問題；（2）解決他們共同討論的問題．【分析】（1）只要3是x+1的倍數(shù)即可；（2）將分式化成一個整式與一個真分式的和，5是x+1的倍數(shù)即可．【解答】解：（1）當x+1＝±1，±3時，分式的值是整數(shù)，∴x＝0，﹣2，2，﹣4．（2）＝3﹣，當x+1＝±1，±5時，分式的值為整數(shù)，∴x＝0，﹣2，4，﹣6．【點評】本題考查了分式的整數(shù)值，考查學生的計算能力，看懂題意是解題的關鍵．10．（2021春?海州區(qū)期中）已知：，（1）若A＝，求m的值；（2）當a取哪些整數(shù)時，分式B的值為整數(shù)；（3）若a＞0，比較A與B的大小關系．【分析】（1）根據(jù)分式的值相等，可得關于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）根據(jù)拆項法，可得1﹣，根據(jù)是整數(shù)，可得a的值；（3）根據(jù)作差法，可得答案．【解答】解：（1）由A＝，得＝1﹣＝，2﹣m＝1，解得m＝1；（2）B＝＝1﹣，∴當a+4＝±1時B為整數(shù)a＝﹣3，a＝﹣5．（3）當a＞0時，A﹣B＝﹣＜0，A＜B．【點評】本題考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解題關鍵．五．分式的基本性質(zhì)（共2小題）11．（2022春?泰州月考）下列變形中，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、＝﹣1，符合題意；B、＝，不符合題意；C、＝＝﹣，不符合題意；D、＝（c≠0），不符合題意．故選：A．【點評】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變是解題的關鍵．12．（2022春?銅山區(qū)期中）如果把分式中的x和y都擴大為原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大3倍 C．縮小為原來的 D．擴大9倍【分析】根據(jù)x，y都擴大3倍，即可得出分子擴大9倍，分母擴大3倍，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x，y都擴大為原來3倍，∴分子3xy擴大9倍，分母x﹣y擴大3倍，∴分式的值擴大3倍．故選：B．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)x、y的變化找出分子分母的變化．六．約分（共6小題）13．（2022春?淮安區(qū)期末）化簡分式的結(jié)果是．【分析】直接將分式的分子分解因式，進而化簡得出答案．【解答】解：原式＝＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了約分，正確化簡分式是解題關鍵．14．（2022春?宿豫區(qū)期中）約分：＝．【分析】把分子分母的公因式2ab約去即可．【解答】解：＝＝．故答案為：．【點評】本題考查分式的化簡，解題的關鍵是掌握分式的約分的方法，理解最簡分式的意義，屬于中考基礎題．15．（2022春?寶應縣期中）化簡：＝．【分析】直接將分式的分母分解因式，再利用分式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：＝＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了約分，正確化簡分式是解題關鍵．16．（2022春?洪澤區(qū)期中）約分：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）首先將分子與分母分解因式，進而化簡得出答案．【解答】解：（1）原式＝＝﹣6a；（2）原式＝＝．【點評】此題主要考查了約分，正確分解因式再約分是解題關鍵．17．（2020春?濱湖區(qū)期中）約分：（1）；（2）．【分析】（1）將找到分子、分母的公因式，再約分即可得；（2）先將分子、分母因式分解，再約去公因式即可得．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝．【點評】本題主要考查約分，由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．18．（2021春?沭陽縣期中）約分：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：（1）＝﹣3xy；（2）＝﹣＝﹣．【點評】此題主要考查了分式的約分，正確化簡分式是解題關鍵．七．通分（共2小題）19．（2022春?泗陽縣期中）（1）約分：（2）通分：與【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡，進而得出答案；（2）首先得出最簡公分母，進而得出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）與，最簡公分母為：3a2bc，則＝＝，＝＝．【點評】此題主要考查了通分與約分，正確掌握分式的性質(zhì)是解題關鍵．20．（2018春?沭陽縣期中）（1）通分：；（2）通分：，．【分析】找出最簡公分母，根據(jù)分式的通分法則計算即可．【解答】解：（1）＝，＝；（2）＝，＝．【點評】本題考查的是分式的通分、約分，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關鍵．八．最簡分式（共1小題）21．（2022秋?泰山區(qū)期末）分式，，，中，最簡分式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【解答】解：分子分母有公因式x2﹣1，；；這三個是最簡分式．故選：C．【點評】最簡分式就是分子和分母沒有可以約分的公因式．九．最簡公分母（共2小題）22．（2022春?南京期末）分式與﹣的最簡公分母是（）A．6x3y B．6x2y C．18x2y D．18x3y【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【解答】解：分式與﹣的最簡公分母是6x2y．故選：B．【點評】此題考查了最簡公分母，熟練掌握最簡公分母的找法是解本題的關鍵．23．（2022春?梁溪區(qū)校級期中）分式與的最簡公分母是xyz．【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【解答】解：分式與的分母分別是xy、yz，所以最簡公分母xyz．故答案為：xyz．【點評】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．一十．列代數(shù)式（分式）（共2小題）24．（2022春?溧陽市期中）用漫灌方式給綠地澆水，a天用水10噸，改用噴灌方式后，10噸水可以比原來多用5天，那么噴灌比漫灌平均每天節(jié)約用水噸．【分析】漫灌時平均每天的用水量為噸，噴灌平均每天用水量為噸，然后求它們的差即可．【解答】解：噴灌比漫灌平均每天節(jié)約用水量為﹣＝（噸）．故答案為：．【點評】本題考查了列代數(shù)式（分式）：把問題中與數(shù)量有關的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．列代數(shù)式五點注意：①仔細辨別詞義．②分清數(shù)量關系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．25．（2022春?梁溪區(qū)校級期中）甲、乙兩地相距x千米，某人從甲地前往乙地，原計劃y小時到達，因故延遲了2小時到達，則他平均每小時比原計劃少走的千米數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】實際每小時比原計劃多走的路程＝實際速度﹣原計劃速度，把相關數(shù)值代入即可．【解答】解：∵原計劃速度為千米/時，實際速度為千米/時，∴實際每小時比原計劃少走（）千米，故選：C．【點評】考查列代數(shù)式（分式），得到實際每小時比原計劃多走的路程的關系式是解決本題的關鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）下列關于分式的判斷，正確的是（

）A．當時，的值為零 B．當x為任意實數(shù)時，的值總為正數(shù)C．無論x為何值，不可能得整數(shù)值 D．當時，有意義【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當時，無意義，故本選項不合題意；B、當x為任意實數(shù)時，的值總為正數(shù)，故本選項符合題意；C、當或2時，能得整數(shù)值，故本選項不合題意；D、當時，有意義，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）下列是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)最簡分式的定義逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、，該選項不符合題意．B、是最簡分式．該選項符合題意．C、，該選項不符合題意．D、，該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了最簡分式的識別，熟記定義：“一個分式的分子與分母，除1以外沒有其它的公因式時，這樣的分式叫做最簡分式”是解本題的關鍵．3．（2022春·江蘇·八年級專題練習）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：，括號內(nèi)應填（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把分式的分母與分子同時除以(x+1)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵分式的分母與分子同時除以(x+1)得，，∴括號內(nèi)應填x1．故選：B．【點睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，熟知分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變是解答此題的關鍵．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習）下列變形中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、，選項正確，符合題意；B、，選項錯誤，不符合題意；C、，選項錯誤，不符合題意；D、當時，等號右邊的式子沒有意義，選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握分式的有關性質(zhì)．5．（2023春·江蘇·八年級專題練習）把，，通分的過程中，不正確的是（

）A．最簡公分母是 B．C． D．【答案】D【分析】按照通分的方法依次驗證各選項，找出不正確的答案．【詳解】A、最簡公分母為，正確，該選項不符合題意；B、，通分正確，該選項不符合題意；C、，通分正確，該選項不符合題意；D、通分不正確，分子應為，該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解題的關鍵是通分保證（1）各分式與原分式相等；（2）各分式分母相等．6．（2023秋·江蘇南通·八年級如皋市實驗初中?？计谀┤舭逊质街泻偷闹刀紨U大3倍，則分式的值（

）A．擴大3倍 B．不變 C．縮小3倍 D．擴大9倍【答案】B【分析】根據(jù)題意分別用和去代換原分式中的和，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：分別用和去代換原分式中的和得，，可見新分式與原分式相等，分式的值不變，故選：B．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變，是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇·八年級專題練習）在，，，，中分式的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．【詳解】解：，，分母中含字母，是分式；，分母中不含字母，不是分式；故選B．【點睛】本題主要考查的是分式的定義，掌握分式的定義是解題的關鍵．二、填空題8．（2023秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為0，則______．【答案】3【分析】根據(jù)分式的值為零的條件即可求出的值．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，解得：，故答案為：3．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，即分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，熟練掌握該知識點是解題的關鍵．9．（2022春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）小明用元錢去購買某種練習本．這種練習本原價每本元（），現(xiàn)在每本降價1元，購買到這種練習本的本數(shù)為______．【答案】【分析】先由已知條件求出現(xiàn)在每本練習本的單價，再根據(jù)“金額÷單價＝數(shù)量”列出代數(shù)式便可．【詳解】解：根據(jù)題意得，現(xiàn)在每本單價為（b﹣1）元，則購買到這種練習本的本數(shù)為（本）．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是列代數(shù)式，掌握列代數(shù)式的方法是解題的關鍵．10．（2021春·江蘇·八年級專題練習）若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項的符號為正，則＝______．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答．【詳解】原式＝．【點睛】本題考查分式的應用，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關鍵．11．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）已知，則的值為______．【答案】【分析】設k法將都用k表示出來，直接代值求解即可．【詳解】設，則，故答案為：【點睛】此題考查分式的求值，解題關鍵是用一個未知數(shù)表示出所有的未知數(shù)，直接化簡．12．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知分式，當時，分式無意義，則a＝________．【答案】4【分析】根據(jù)分母等于0分式無意義列式求解即可.【詳解】解：∵當時，分式無意義，∴，解得：；故答案為4．【點睛】本題考查了分式無意義的條件，當分母不等于零時，分式有意義；當分母等于零時，分式無意義．分式是否有意義與分子的取值無關．13．（2023春·江蘇·八年級專題練習）分式，的最簡公分母是______．【答案】##【分析】根據(jù)最簡公分母的確定方法，求最簡公分母時，將各分母分解因式，將所有的表達式都化成積的形式，系數(shù)取最小公倍數(shù)，取各式所有分母因式的最高次冪的積，確定最簡公分母；【詳解】∵3和2的最小公倍數(shù)是6，的最高次冪是2，的最高次幕是3，∴是兩者的最簡公分母，故答案為：【點睛】本題考查了最簡公分母，解決本題的關鍵是熟練掌握最簡公分母的確定方法步驟．14．（2023春·江蘇·八年級專題練習）約分：（1）___________；（2）___________；（3）___________．【答案】

【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可；（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可；（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性質(zhì)約分即可．【詳解】解：（1）；故答案為：（2）；故答案為：（3）故答案為：【點睛】本題考查了約分，約分的關鍵是找出分式分子分母的公因式．15．（2017春·江蘇鹽城·八年級階段練習）不改變分式的值，把分式的分子、分母各項系數(shù)都化為整數(shù)，得_________．【答案】【詳解】要想將分式分母各項系數(shù)都化為整數(shù)，可將分式分母同乘以10，即故答案為.16．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）計算______．【答案】b【分析】先算乘方，再算除法．【詳解】解：故答案為：b．【點睛】本題考查了整式的混合運算的應用，主要考查學生的化簡能力．17．（2021春·江蘇常州·八年級常州市清潭中學?？计谥校┤绻质降闹禐檎龜?shù)，則的取值范圍是__．【答案】且【分析】根據(jù)平方的非負性、分式的值為正數(shù)可得，，由此即可得．【詳解】解：分式的值為正數(shù)，且，且，解得且，故答案為：且．【點睛】本題考查了分式的值為正數(shù)，正確列出不等式是解題關鍵．18．（2023春·江蘇·八年級專題練習）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：．______【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母同時乘以，即可求得．【詳解】解：，．故答案為：．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，完全平方公式，單項式乘以多項式法則，熟練掌握和運用分式的基本性質(zhì)是解決本題的關鍵．19．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知正整數(shù)x，y滿足，則符合條件的x，y的值有______組．【答案】2【分析】根據(jù)x，y均為正整數(shù)，可知、，據(jù)此建立不等式并求解可知，結(jié)合，可確定可知符合條件的x的值，然后根據(jù)確定與之對應的y的值，即可確定符合條件的x，y的值的組數(shù)．【詳解】解：∵x，y均為正整數(shù)，∴，，∴，∴，解得，結(jié)合，可知符合條件的x的值為：1、2、3、4、5、6、7、8、9，對應的y的值為：9、、、、、、、、，∴符合條件的x、y的值為，，∴符合條件的x，y的值有2組．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值以及一元一次不等式的應用，根據(jù)題意建立不等式并求解是解題關鍵．三、解答題20．（2023春·江蘇·八年級專題練習）約分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）分子分母約去即可；（2）分子分母約去即可；（3）首先把分子分母分解因式，然后再約去分子分母的公因式即可；（4）首先把分子分母分解因式，然后再約去分子分母的公因式即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】此題考查了分式的約分，解題的關鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)．21．（2023春·江蘇·八年級專題練習）通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】（1）先找出最簡公分母，然后通分即可；（2）先找出最簡公分母，然后通分即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，的最簡公分母為：，∴三個分式通分為：，，．（2）解：∵，，，∴分式，，的最簡公分母為：，三個分式通分為：，，．【點睛】本題主要考查了通分，解題的關鍵是熟記最簡公分母的定義，找出各個分母數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母以及指數(shù)的最高次冪，即可寫出各分式的最簡公分母．22．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”．而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，“假分式”也可以化為“帶分式”（即：整式與真分式的和的形式）．如：；再如：．解決下列問題：(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；(2)請將假分式化為帶分式的形式；(3)若分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值．【答案】(1)真(2)(3)整數(shù)x的值為－1，0，2，3【分析】（1）利用真分式的定義判斷即可；（2）根據(jù)題干中的方法拆解即可求解；（3）將原式化為帶分式的形式后，利用整除的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）分式是真分式．故答案為：真（2）原式====（3）原式=====∵分式的值為整數(shù)，即=－2，－1，1，2解得：x=－1，0，2，3∴整數(shù)x的值為－1，0，2，3．【點睛】本題考查了分式的加減法，分式中的新定義，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用題干中的定義和方法是解決本題的關鍵．23．（2022春·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）已知等式(1)①用含的代數(shù)式表示；②若均為正整數(shù)，求的值；(2)設，，分別是分式中的?。?gt;>2）時所對應的值，試比較的大小，說明理由．【答案】(1)①②或者(2)，理由見詳解【分析】（1）①合并含y的項，即可求解；②根據(jù)①的關系結(jié)合x、y為正整數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題條件可知，，即有．設，，根據(jù)，可得，則有，，進而可得，依據(jù)，即可得．【詳解】（1）①由得：，即，②∵x、y為正整數(shù)，，∴可知y只能為1或者2，∴當y=1時，x=4，當y=2時，x=3，即x、y的值為：或者；（2），理由如下，根據(jù)題條件可知，，∵，∴，設，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，則有：，即，∵，∴，∴，∴，∴，結(jié)論得證．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的運算以及求解二元一次方程的正整數(shù)解等知識，解答本題要注重換元的思想．24．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．(1)下列分式：①；②；③；④其中不是“和諧分式”的是(填寫序號即可)；(2)若a為整數(shù)，且為“和諧分式”請求出a的值．【答案】(1)②③④(2)或或【分析】（1）根據(jù)“和諧分式”的定義，進行判斷即可；（2）根據(jù)“和諧分式”的定義，可知可以進行因式分解，且不能有因式，進行求