第09講二次函數(shù)y=ax2bxc(a≠0)的圖象與性質(zhì)

第09講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【知識(shí)梳理】一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2.一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知，．∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．要點(diǎn)詮釋：1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

二、二次函數(shù)的圖象的畫(huà)法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡(jiǎn)易畫(huà)法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái)．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫(huà)出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b24ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開(kāi)口向上a＜0開(kāi)口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b24acb24ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b24ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b24ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)四、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最小）值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．【考點(diǎn)剖析】題型一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案與解析】解法1（配方法）：．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．解法2（公式法）：∵，，，∴，．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．解法3（代入法）：∵，，，∴．將代入解析式中得，．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．【總結(jié)升華】所給二次函數(shù)關(guān)系是一般式，求此類拋物線的頂點(diǎn)有三種方法：（1）利用配方法將一般式化成頂點(diǎn)式；（2）用頂點(diǎn)公式直接代入求解；（3）利用公式先求頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入解析式求出縱坐標(biāo)．這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．【變式1】把一般式化為頂點(diǎn)式．（1）寫(xiě)出其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）分別求出它與y軸的交點(diǎn)C，與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo).【答案】（1）向下；x=2；D(2，2).（2）C（0，6）；A（1,0）；B（3,0）.例2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y=ax+b的圖象大致是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】由y=ax2+bx+c的圖象判斷出a＞0，b＞0，于是得到一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限，即可得到結(jié)論．【答案】A．【解析】解：∵y=ax2+bx+c的圖象的開(kāi)口向上，∴a＞0，∵對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，∴b＞0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限．故選A．【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的取值范圍．【變式1】拋物線與y軸交于(0，3)點(diǎn)：(1)求出m的值并畫(huà)出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)x取什么值時(shí)，拋物線在x軸上方？(4)x取什么值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？【答案與解析】(1)由拋物線與y軸交于(0，3)可得m＝3．∴拋物線解析式為，如圖所示．(2)由得，．∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為(1，0)、(3，0)．∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)．(3)由圖象可知：當(dāng)1＜x＜3時(shí)，拋物線在x軸上方．(4)由圖象可知：當(dāng)x≥1時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。究偨Y(jié)升華】研究函數(shù)問(wèn)題一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來(lái)，借助于圖象的直觀性求解更形象與簡(jiǎn)潔．(1)將點(diǎn)(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描點(diǎn)法或五點(diǎn)作圖法畫(huà)拋物線；(2)令y＝0可求拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用配方法或公式法可求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)、(4)均可利用圖象回答，注意形數(shù)結(jié)合的思想，【變式2】某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時(shí)，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯(cuò)了其中一個(gè)y值，則這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是（）11B.2C.1D.5【答案】D.提示：由函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函數(shù)圖象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函數(shù)解析式，得，解得，函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1x=2時(shí)y=﹣11，故選：D．題型二、二次函數(shù)的最值例3．求二次函數(shù)的最小值.【答案與解析】解法1(配方法)：∵，∴當(dāng)x＝3時(shí)，．解法2(公式法)：∵，b＝3，∴當(dāng)時(shí)，．解法3(判別式法)：∵，∴．∵x是實(shí)數(shù)，∴△＝624(12y)≥0，∴y≥4．∴y有最小值4，此時(shí)，即x＝3．【總結(jié)升華】在求二次函數(shù)最值時(shí)，可以從配方法、公式法、判別式法三個(gè)角度考慮，根據(jù)個(gè)人熟練程度靈活去選擇．【變式1】用總長(zhǎng)60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地．矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)L的變化而變化．當(dāng)L是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積S最大？【答案】（0<L<30）．（m）時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大，為225m2．【變式2】分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．【答案與解析】∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時(shí)y有最小值，．∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點(diǎn)，在x＝1兩側(cè)圖象左右對(duì)稱，端點(diǎn)處取不到，不存在最大值．(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖所示)，又因?yàn)楹瘮?shù)(2≤x≤3)的圖象是拋物線的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時(shí)，；當(dāng)x＝2時(shí)，．【總結(jié)升華】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后看頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫(huà)出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實(shí)線部分，易看出x＝3時(shí)，；x＝2時(shí)，．題型三、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4．已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P(2，1)．（1）求證：；（2）求bc的最大值．【答案與解析】（1）∵的圖象過(guò)點(diǎn)P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=2b4．（2）．∴當(dāng)時(shí)，bc有最大值．最大值為2．【總結(jié)升華】（1）將點(diǎn)P(2，1)代入函數(shù)關(guān)系式，建立b、c的關(guān)系即可．（2）利用（1）中b與c的關(guān)系，用b表示bc，利用函數(shù)性質(zhì)求解．【變式1】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個(gè)數(shù)有（）1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B.提示：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4），∴二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4，①正確；∵x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣2，③錯(cuò)誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤﹣2，④錯(cuò)誤，故選：B．【變式2】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1及圖象開(kāi)口向下可判斷出a、b、c的符號(hào)，從而判斷①；根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對(duì)②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【答案】D．【解析】解：①∵函數(shù)開(kāi)口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號(hào)，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），∴當(dāng)x=2時(shí)，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯(cuò)誤；③∵圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對(duì)稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【總結(jié)升華】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式3】一條拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0）和B（6，0），最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1．（1）求這條拋物線的解析式，并用描點(diǎn)法畫(huà)出拋物線；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為D，拋物線與y軸的交點(diǎn)為E，請(qǐng)你在拋物線上另找一點(diǎn)P(除點(diǎn)A、B、C、E外)，先求點(diǎn)C、A、E、P分別到點(diǎn)D的距離，再求這些點(diǎn)分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點(diǎn)具有何種規(guī)律?請(qǐng)用文字寫(xiě)出這個(gè)規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對(duì)稱軸是．∴最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：202468108301038描點(diǎn)、連線，如圖所示：（2）取點(diǎn)（2，8）為所要找的點(diǎn)P，如圖所示，運(yùn)用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點(diǎn)E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．（3）拋物線上任一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離等于該點(diǎn)到直線y＝2的距離．【總結(jié)升華】(1)描點(diǎn)畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)先確定拋物線的對(duì)稱軸，然后以對(duì)稱軸為參照，左右對(duì)稱取點(diǎn)．(2)計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理求得．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021春·廣東江門·九年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校佄锞€向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位得到拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線平移的法則：左加右減，上加下減即可得到答案．【詳解】解：將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線的解析式為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減進(jìn)行平移，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)“二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)是圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限；小于0，經(jīng)過(guò)二、四象限；二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象開(kāi)口向上；二次項(xiàng)系數(shù)小于0，圖象開(kāi)口向下．”逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、由拋物線可知，，由直線知，，∴A正確；B、由拋物線可知，，由直線知，，∴B錯(cuò)誤；C、由拋物線可知，，由直線知，，∴C錯(cuò)誤；D、由拋物線可知，，由直線知，，∴D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·山東濰坊·昌邑市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，拋物線的對(duì)稱軸是直線，則下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，與y軸交與y軸負(fù)半軸，得到，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線，得到，由此即可判斷A；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可判斷B；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可判斷C、D．【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向上，與y軸交與y軸負(fù)半軸，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∴，故A結(jié)論正確，符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故C、D結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，若，則直線一定經(jīng)過(guò)（

）．A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可求出答案．【詳解】解：拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，，．，．當(dāng)，時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，當(dāng)，時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，綜上所述，一定經(jīng)過(guò)一、四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系公式．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．有下列結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，4，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得出，即可判斷①，根據(jù)代入②即可判斷；根據(jù)對(duì)稱性可得拋物線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可判斷③【詳解】解：∵拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其對(duì)稱軸為直線．∴，，則，∴∴，故①正確；∵，故②正確，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，∴一元二次方程的兩根分別為，，故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸是直線；②點(diǎn)在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)稱軸公式可判斷①；當(dāng)時(shí)，，可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性，分兩種情況計(jì)算可判斷③；利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)得到，可以判斷④．【詳解】解：∵拋物線（a是常數(shù)，，∴，故①正確；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在拋物線上，故②正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)得到，，故④錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的對(duì)稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)在拋物線上，則．其中，正確的結(jié)論有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，，可以得到，，從而可以得到b的正負(fù)情況，從而可以判斷①；繼而可得出，則，即可判斷②；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，所以有，從而可得出，即可判斷③；利用，再根據(jù)，所以，從而可得，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象開(kāi)口向上，∴，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，∴，∴，故①正確；∵，，∴∴，故②正確；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，∴∵，，∴，故③正確；∵，又∵，∴，∵拋物線的圖象開(kāi)口向上，∴，故④錯(cuò)誤．∴正確的有①②③共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·遼寧朝陽(yáng)·校考三模）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，圖像過(guò)點(diǎn)對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③（為常數(shù)）：④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與軸的交點(diǎn)，即可判斷的大小，從而即可判斷①，根據(jù)對(duì)稱軸和經(jīng)過(guò)，得到，代入進(jìn)行求解即可判斷②④，根據(jù)當(dāng)時(shí)二次函數(shù)取得最大值，即可判斷③．【詳解】解：拋物線的開(kāi)口向下，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，拋物線交軸正半軸，，，故①錯(cuò)誤，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，圖像過(guò)點(diǎn)，，，，，故②錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，函數(shù)由最大值，，（為常數(shù)），故③錯(cuò)誤，，，故④正確，綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽六安·校考二模）已知拋物線和直線分別交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，則拋物線的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】求出求出交點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知圖象確定，與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的正負(fù)，進(jìn)而推斷新拋物線的圖象的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，從而確定答案．【詳解】解：由，得，解得，或，拋物線和直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)為：，拋物線的開(kāi)口向上，交點(diǎn)在第三象限內(nèi)，，，拋物線中，，對(duì)稱軸，此拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在軸的左邊，符合此條件的圖象是C，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知條件確定和點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值．10．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京鐘英中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開(kāi)口大小與軸的交點(diǎn)位置以及對(duì)稱軸的位置進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)，，由圖像知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖像開(kāi)口大于函數(shù)的圖像開(kāi)口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖像是拋物線，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，A．圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，故此選項(xiàng)符合題意；B．圖像開(kāi)口向上，故此選項(xiàng)不符合題意；C．圖像對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．圖像開(kāi)口向上，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意：二次函數(shù)的越大，圖像開(kāi)口越小．二、填空題11．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，若點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，且，則的值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在上，∴，，解得：(舍去)故答案為：2．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，理解題意正確求解是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象沿x軸向_______平移_______個(gè)單位，再沿y軸向_______平移_______個(gè)單位得到．【答案】右3下1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象沿軸向右平移3個(gè)單位，再沿軸向下平移1個(gè)單位得到，故答案為：右，3，下，1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如果三點(diǎn)，和在拋物線的圖象上，那，，之間的大小關(guān)系是______．【答案】/【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，關(guān)于稱軸是直線的對(duì)稱點(diǎn)是，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．14．（2023·遼寧朝陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有______．

【答案】②③④【分析】由圖，，，，得，推知；由知，代入，得，化簡(jiǎn)得；將代入得，，由對(duì)稱軸得，解得；將代入得．【詳解】解：由圖，，，，∴∴，，故①錯(cuò)誤；，由知，代入，得，，化簡(jiǎn)得，，故②正確；將代入得，，對(duì)稱軸，得，代入上式得，，解得，故③正確；將代入得，故④正確；綜上分析可知，正確的是②③④.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，理解圖象與方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、、三點(diǎn)，點(diǎn)是其頂點(diǎn)，若點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先求出，，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，則，然后證明當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴；∵拋物線解析式為，∴；如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，則，∴，∴，∴當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何綜合，正確作出輔助線確定當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)最小，即最小，最小值為是解題的關(guān)鍵．16．（2021春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于二次函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的最小值（用含a的式子表示），下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是；③時(shí)，函數(shù)y的最小值是；④當(dāng)，函數(shù)y的最小值．其中正確的有___（填序號(hào)即可）．【答案】①②③【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后根據(jù)，即可得到相應(yīng)的最值，從而可以解答本題．【詳解】解：二次函數(shù)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是，故①正確；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是，故②正確；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是；故③正確；④當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是；故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)的最值．17．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知一條拋物線的形狀與拋物線形狀相同，與另一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，這條拋物線的表達(dá)式為_(kāi)______．【答案】或【分析】根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系得出，，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這條拋物線的解析式為：，∵這條拋物線與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，∴，，又∵這條拋物線與拋物線形狀相同，∴，即，∴這條拋物線的解析式為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)E在直線上，若，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是____________．

【答案】和【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí):是△DCE的外角，，而，所以此時(shí)，有，可求出所在直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，，得到關(guān)于的方程，求解的值，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)題中條件，可以證明，得到為直角三角形，延長(zhǎng)至，取，此時(shí)，，從而證明是要找的點(diǎn)，應(yīng)為，為等腰直角三角形，點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可以根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，則有，令，則有，解得：，∴，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，有所以點(diǎn)坐標(biāo)

設(shè)所在直線解析式為，其過(guò)點(diǎn)、有，解得∴所在直線的解析式為：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)而∴∴因?yàn)椋?，，有解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為:當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，,∴∴如圖延長(zhǎng)至，取，

則有為等腰三角形，，∴又∵∴則為符合題意的點(diǎn)，∵∴的橫坐標(biāo)：，縱坐標(biāo)為；綜上E點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分情況找到點(diǎn)的位置，是求解此題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為，然后將代入求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)解析式為：，把代入，可得，解得：．∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．20．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求b的值；(2)求拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入二次函數(shù)解析式即可求出b的值；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，然后可得答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴把點(diǎn)代入得，解得：；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為，∵拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴所得拋物線解析式為，即．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€．

(1)若，畫(huà)出該拋物線圖象，并結(jié)合圖象寫(xiě)出y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍．(2)為拋物線上的一點(diǎn)，若P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也落在該拋物線上，求m的值．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）利用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出圖象，然后根據(jù)圖象求解即可；（2）首先求出，然后將和代入求解即可．【詳解】（1）將代入得，，∴列表如下：x01y14541∴如圖所示，將以上5點(diǎn)在坐標(biāo)系中描出，然后用平滑的曲線連接．

∴由圖象可得，當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，；（2）∵，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，∵和都在拋物線上，∴，∴得，，∴解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了五點(diǎn)作圖法，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線．

(1)求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在直線上找一點(diǎn)，使的和最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將線段沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，若線段與拋物線有唯一交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸得出，再將點(diǎn)代入確定解析式，即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求，連接，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出的和最小，由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意得：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，若線段與拋物線有唯一交點(diǎn)，則線段在線段間平移（含線段），由拋物線的對(duì)稱性得，，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，解得．∴．把點(diǎn)代入，得，解得．∴拋物線的表達(dá)式為．把代入，得，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）如圖1，連接，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．連接，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．此時(shí)，即的和最?。?，則．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，把點(diǎn)，代入可得解得∴直線的表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）．如圖2，根據(jù)題意得：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，若線段與拋物線有唯一交點(diǎn)，則線段在線段間平移（含線段），由拋物線的對(duì)稱性得，，∴當(dāng)線段與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．

【點(diǎn)睛】題目主要考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短問(wèn)題及交點(diǎn)問(wèn)題，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．23．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)（是常數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；(2)若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：；(3)若，，的圖象交于點(diǎn),，，設(shè)為圖象上一點(diǎn)，求的值．【答案】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線(2)見(jiàn)詳解(3)【分析】（1）由配方法可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將已知兩點(diǎn)代入求出，，再表示出，由，即可求解；（3）聯(lián)立，解得：再根據(jù)與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線；（2）證明：函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，，；（3）解：聯(lián)立，解得：，，故，的圖象交于點(diǎn)，，與關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)