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2022-2023學(xué)年湖北省孝感市高級(jí)中學(xué)高三1月調(diào)研統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.3.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.已知純虛數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)等于()A. B.1 C. D.25.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.7.若點(diǎn)(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.409.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.211.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為99,則判斷框中可以填()A. B. C. D.12.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請(qǐng)問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為,則_______.14.如圖是一個(gè)算法流程圖,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則輸入的實(shí)數(shù)的值為______________.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為2的直線與的交點(diǎn)為,若,則直線的方程為___________.16.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面四邊形中,已知,.(1)若,求的面積;(2)若求的長(zhǎng).18.(12分)已知函數(shù),.(1)若時(shí),解不等式;(2)若關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)積為.(1)求和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和,并證明:對(duì)任意的正整數(shù)m、k,均有.20.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形,平面平面ABCD,M,N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).(1)求直線CM與平面PAB所成角的正弦值;(2)求二面角D-AP-B的余弦值;(3)試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系,并給出證明.22.(10分)已知函數(shù),其中.(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.3.B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.4.B【解析】
先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出,然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?,所以,又因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值,難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則有.5.A【解析】
由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo),得到向量的坐標(biāo),逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到向量的坐標(biāo),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),
∴=(0,1),將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
設(shè)=(a,b),,則,即,
又,解得:,∴,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.6.B【解析】
設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.7.D【解析】
由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)到直線的距離.8.C【解析】
設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程,求出通項(xiàng)公式,從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用,涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于容易題.9.A【解析】分析:題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為,利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解:由題設(shè)有,故,故選A.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.11.C【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,即可容易求得結(jié)果.【詳解】運(yùn)行該程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此時(shí)要輸出的值為99.此時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,涉及判斷條件的選擇,屬基礎(chǔ)題.12.B【解析】
人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計(jì)算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由切線方程得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),從而可求得.【詳解】由題意,∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,∴,解得,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ),14.【解析】
根據(jù)程序框圖得到程序功能,結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:程序的功能是計(jì)算,若輸出的實(shí)數(shù)的值為,則當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,此時(shí)無解.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷,理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.
由可得,
則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.16.2【解析】
根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)在三角形中,利用余弦定理列方程,解方程求得的長(zhǎng),進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.(2)利用誘導(dǎo)公式求得,進(jìn)而求得,利用兩角差的正弦公式,求得,在三角形中利用正弦定理求得,在三角形中利用余弦定理求得的長(zhǎng).【詳解】(1)在中,,解得,.(2)在中,,..【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段法,分,,討論即可;(2)當(dāng)時(shí),原問題可轉(zhuǎn)化為:存在,使不等式成立,即.【詳解】解:(1)若時(shí),,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以,綜上述:不等式的解集為;(2)當(dāng)時(shí),由得,即,故得,又由題意知:,即,故的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.19.(1),;(2),證明見解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.20.(1);(2).【解析】
(1)由,利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果;(2)由正弦定理,,利用三角形內(nèi)角和定理可得,由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意,得.∵.∴,∵,∴.(2)∵,由正弦定理,可得.∵a>b,∴,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù),屬于中檔題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.21.(1)(2)(3)直線平面,證明見解析【解析】
取中點(diǎn),連接,則,再由已知證明平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量.(1)求出的坐標(biāo),由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值;(2)求出平面的一個(gè)法向量,再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值;(3)求出的坐標(biāo),由,結(jié)合平面,可得直線平面.【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為等邊三角形.取中點(diǎn),連接,則,為等邊三角形,,又平面平面,且平面平面,平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,,,.,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由,取,得.(1)證明:設(shè)直線與平面所成角為,,則,即直線與平面所成角的正弦值為;(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由,得二面角的余弦值為;(3),,又平面,直線平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.22.(1)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn);(2)見解析【解析】
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