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2022-2023學(xué)年湖南名師聯(lián)盟高三下學(xué)期階段性測(cè)評(píng)(期中)數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,在邊上滿足,為的中點(diǎn),則().A. B. C. D.2.已知符號(hào)函數(shù)sgnxf(x)是定義在R上的減函數(shù),g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),則()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]3.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.4.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.5.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)6.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.7.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.8.若集合,則=()A. B. C. D.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.23 B.25 C.28 D.2910.若,則()A. B. C. D.11.博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車,等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào),就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P212.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個(gè)數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知△的三個(gè)內(nèi)角為,,,且,,成等差數(shù)列,則的最小值為__________,最大值為___________.14.如圖,從一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形紙片的三個(gè)角上,沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形,余下部分再以虛線為折痕折起,恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱,而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底,則所得正三棱柱的體積為______.15.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù);②的對(duì)稱軸方程為,;③在區(qū)間上為增函數(shù);④方程在區(qū)間有6個(gè)根.16.根據(jù)記載,最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應(yīng)是我國(guó)西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高,商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”,其中“股”,為“弦”上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且滿足勾股定理,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足對(duì)任意都有,其前項(xiàng)和為,且是與的等比中項(xiàng),.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列滿足,,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求大于的最小的正整數(shù)的值.18.(12分)已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)是,,在橢圓上,且,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn),.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求證:為定值.19.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出其形狀;(2)曲線與曲線交于,兩點(diǎn),若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由,可得,,再將代入即可.【詳解】因?yàn)?,所以,?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式,結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意,g(x)=f(x)﹣f(ax),而f(x)是R上的減函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),x<ax,則有f(x)>f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)>0,此時(shí)sgn[g(x)]=1,當(dāng)x=0時(shí),x=ax,則有f(x)=f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)=0,此時(shí)sgn[g(x)]=0,當(dāng)x<0時(shí),x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)=f(x)﹣f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=﹣1,綜合有:sgn[g(x)]=sgn(x);故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問題,涉及函數(shù)單調(diào)性辨析,關(guān)鍵在于讀懂定義,根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.3.C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.4.A【解析】
每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5.A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個(gè)元素,故選A.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.6.B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題7.D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.8.C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【詳解】解:是等差數(shù)列,又,公差為,,故選:D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,是基礎(chǔ)題.10.D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.11.C【解析】
將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)正弦定理可得,利用余弦定理以及均值不等式,可得角的范圍,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)性質(zhì),可得結(jié)果.【詳解】由,,成等差數(shù)列所以所以又化簡(jiǎn)可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)又,所以令,則當(dāng),即時(shí),當(dāng),即時(shí),則在遞增,在遞減所以由,所以所以的最小值為最大值為故答案為:,【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理,還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求出,考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力,屬難題.14.1【解析】
由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)6,高為,由此能求出所得正三棱柱的體積.【詳解】如圖,作,交于,,由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng),高為,所得正三棱柱的體積為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意翻折前后的不變量.15.①②④【解析】
由函數(shù),對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù),是周期函數(shù),最小正周期為,故①正確;當(dāng)或時(shí),有最大值或最小值,此時(shí)或,即或,即.的對(duì)稱軸方程為,,故②正確;當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在區(qū)間上不是增函數(shù),故③錯(cuò)誤;作出函數(shù)的部分圖象,如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根,故④正確.故答案為:①②④.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.16.【解析】
先由等面積法求得,利用向量幾何意義求解即可.【詳解】由等面積法可得,依題意可得,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積,重點(diǎn)考查向量數(shù)量積的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)4【解析】
(1)利用判斷是等差數(shù)列,利用求出,利用等比中項(xiàng)建立方程,求出公差可得.(2)利用的通項(xiàng)公式,求出,用錯(cuò)位相減法求出,最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解:任意都有,數(shù)列是等差數(shù)列,,又是與的等比中項(xiàng),,設(shè)數(shù)列的公差為,且,則,解得,,;由題意可知,①,②,①﹣②得:,,,由得,,,,滿足條件的最小的正整數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列中,是最基本的兩個(gè)量,一般可設(shè)出和,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)錯(cuò)位相減法求和的方法:如果數(shù)列是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比,然后作差求解;在寫“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式18.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)橢圓的定義可得,將代入橢圓方程,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程,代入橢圓方程,求得直線和的方程,求得和的橫坐標(biāo),表示出,根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】(1)因?yàn)椋蓹E圓的定義得,,點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程,解得,所以的方程為;(2)證明:設(shè),,直線的斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,消去,整理得,所以,,直線的直線方程為,令,則,同理,所以:,代入整理得,所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中的定值問題,屬于中檔題.19.(1);(2)【解析】
(1)又題意知,,及即可求得,從而得橢圓方程.(2)分三種情況:直線斜率不存在時(shí),的斜率為0時(shí),的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】(1)由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對(duì)稱性可知,,∵過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.又,解得.∴橢圓的方程為(2)由(1)可知圓的方程為,(i)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的斜率為0,此時(shí)(ii)當(dāng)直線的斜率為零時(shí),.(iii)當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為,則.所以,(注:的長(zhǎng)度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計(jì)算.)由可得直線的方程為,聯(lián)立橢圓的方程消去,得設(shè)的橫坐標(biāo)為,則..綜上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目,通常利用的關(guān)系,確定橢圓方程是基礎(chǔ);通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù),得到目標(biāo)函數(shù)解析式,運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求解;本題是難題.20.(1)(2)【解析】
(1)求出及其導(dǎo)函數(shù),利用研究的單調(diào)性和最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍.(2)令,題意說明時(shí),恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù),由研究的單調(diào)性,通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論.【詳解】解(1)函數(shù)所以討論:①當(dāng)時(shí),無零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.取,則又,所以,此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),令,解得(舍)或當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意,得,所以(舍)或綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)令,根據(jù)題意知,當(dāng)時(shí),恒成立.又討論:①若,則當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,所以存在使,不符合題意.②若,則當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù),據(jù)①求解知,不符合題意.③若,則當(dāng)時(shí),恒有,故在上是減函數(shù),于是“對(duì)任意成立”的充分條件是“”,即,解得,故綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題,考查不等式恒成立問題,考查用
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