第01講 圖形的相似（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-A4

第頁第01講圖形的相似1.掌握線段成比例條件及運(yùn)用；2.能通過生活中的實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，能通過觀察直觀地判斷兩個圖形是否相似；4.了解比例線段的概念和黃金分割的概念及有關(guān)性質(zhì)，探索相似圖形的性質(zhì)，知道兩相似多邊形的主要特征：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.明確相似比的含義；5.知道兩個相似的平面圖形之間的關(guān)系，會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計算，提高推理能力.知識點(diǎn)1比例線段1．線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗桑?．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．比例的基本性質(zhì)：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．知識點(diǎn)2黃金分割比1.黃金分割的定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值).2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).注意：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個.知識點(diǎn)3相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).注意：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；知識點(diǎn)4相似多邊形相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比．【題型1比例性質(zhì)】【典例1】（2023春?乳山市期末）若，則＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴，∴＝＝，故選：C．【變式1-1】（2022秋?萬州區(qū)期末）已知，則的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【解答】解：∵，∴b＝2a，∴＝＝﹣3．故選：B．【變式1-2】（2023春?張店區(qū)期末）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵，∴＝+1＝+1＝．故選：D．【變式1-3】（2023?大豐區(qū)校級模擬）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：A．因?yàn)椋?，所?m＝4n，不符合題意；B．因?yàn)椋?，所?m＝5n，符合題意；C．因?yàn)椋?，所?m＝4n，不符合題意；D．因?yàn)椋?，所以mn＝20，不符合題意．故選：B．【題型2比例線段】【典例2】（2022秋?于洪區(qū)期末）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【答案】A【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，∴d＝8（cm），故選：A．【變式2-1】（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【變式2-2】（2022秋?敘州區(qū)期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（）A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7【答案】B【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、1×6＝2×3，所以B選項(xiàng)符合題意；C、2×5≠4×3，所以C選項(xiàng)不符合題意；D、1×7≠3×4，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式2-3】（2023?邵陽模擬）四條線段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，則線段c的長為（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【答案】B【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，∴c＝＝＝4（cm）．故選：B．【典例3】（2022秋?余姚市期末）已知線段a＝3，b＝12，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于（）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【解答】解：設(shè)a，b的比例中項(xiàng)線段為c，則：c2＝ab＝3×12＝36，∵c＞0，∴c＝6．故選：C．【變式3-1】（2022秋?池州期末）已知線段a＝2，b＝2，線段b是a、c的比例中項(xiàng)，則線段c的值為（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【解答】解：∵線段b是a、c的比例中項(xiàng)，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝2，∴（2）2＝2c，∴c＝6，故選：C．【變式3-2】（2022秋?興化市期末）已知線段a＝9，b＝1，如果線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，那么c＝（）A．±3 B．3 C．4.5 D．5【答案】B【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．則c2＝9×1，解得c＝±3（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），所以c＝3．故選：B．【題型3黃金分割比】【典例4】（2023春?海陽市期末）已知如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA C． D．【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），∴，∴選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【變式4-1】（2023春?棲霞市期末）大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．【答案】D【解答】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），∴AP2＝BP?BA，＝＝，故選項(xiàng)A、B、C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【變式4-2】（2022秋?渭南期末）已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），若線段AB＝1，則線段AP的長是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由于P為線段AB＝1的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長線段；則．故選：A．【變式4-3】（2023?開化縣模擬）美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達(dá)到美的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60＝99cm，設(shè)需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：＝0.618，解得：y≈8cm．故選：C．【題型4相似圖形】【典例5】（2023?茂南區(qū)二模）任意下列兩個圖形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形【答案】C【解答】解：A、因?yàn)槿我鈨蓚€正方形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因?yàn)槿我鈨蓚€等腰直角三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因?yàn)槿我鈨蓚€矩形的對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因?yàn)槿我鈨蓚€等邊三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以A不符合題意；故選：C．【變式5-1】（2023?東洲區(qū)模擬）觀察下列圖形，下列各組圖形不是相似圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；B．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)符合題意；C．形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；D．形狀相同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式5-2】（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖，有三個矩形，其中是相似圖形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙【答案】B【解答】解：甲：鄰邊的比為3：2，乙：鄰邊的比為2.5：1.5＝5：3，丙：鄰邊的比為1.5：1＝3：2，所以，是相似圖形的是甲和丙．故選：B．【題型6相似多邊形的性質(zhì)】【典例6】（2022秋?高新區(qū)期末）如圖，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝6cm，則FG的長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴＝，∴＝，∴FG＝10（cm）．故選：B．【變式6】（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一個矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，則CF的長為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，∵四邊形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝2，CF＝BE，∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，∴，即，∴CF＝1，故答案為：1．【典例7】（2023?鼓樓區(qū)二模）若兩個相似多邊形面積比為4：9，則它們的周長比是2：3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵兩個相似多邊形面積比為4：9，∴兩個相似多邊形相似比為2：3，∴兩個相似多邊形周長比為2：3，故答案為：2：3．【變式7-1】（2022秋?雙牌縣期末）已知相似三角形的相似比為9：4，那么這兩個三角形的周長比為（）A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16【答案】A【解答】解：三角形的周長比等于相似多邊形的相似比為9：4．故周長比也為9：4．故選：A．【變式7-2】（2022秋?會寧縣校級期末）已知兩個相似多邊形的面積比是9：16，其中較小多邊形的周長為18cm，則較大多邊形的周長為（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：兩個相似多邊形的面積比是9：16，∴兩個相似多邊形的相似比是3：4，∴兩個相似多邊形的周長比是3：4，設(shè)較大多邊形的周長為為xcm，由題意得，18：x＝3：4，解得，x＝24，故選：A．1．（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【答案】A【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：設(shè)HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．3．（2023?泰州）兩個相似圖形的周長比為3：2，則面積比為9：4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵兩個相似圖形，其周長之比為3：2，∴其相似比為3：2，∴其面積比為9：4．故答案為：9：4．4．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的1.2倍．【答案】1.2．【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．5．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號）?【答案】（80﹣160）．【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．1．（2023秋?太原期中）若，則的值為（）A． B．3 C．4 D．【答案】B【解答】解：∵，∴3（a+b）＝4a，∴3a+3b＝4a，∴3b＝a，∴＝3，故選：B．2．（2023秋?晉江市期中）下列圖形中，與已知三角形相似的三角形是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：已知三角形的三個內(nèi)角為50°，40°，90°，A、三角形三個內(nèi)角的為90°，45°，45°，不符合題意；B、三角形三個內(nèi)角的為90°，50°，40°，符合題意；C、三角形三個內(nèi)角的為90°，60°，30°，不符合題意；D、三角形三個內(nèi)角的為90°，45°，45°，不符合題意．故選：B．3．（2023秋?合浦縣期中）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，則d的長度為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm【答案】D【解答】解：因?yàn)閍，b，c，d是成比例線段，可得：（cm），故選：D．4．（2023秋?高新區(qū)校級期中）下列說法中錯誤的是（）A．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對應(yīng)角相等 C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形【答案】D【解答】解：A、相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、相似多邊形的對應(yīng)角相等，正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、相似多邊形的邊數(shù)相同，正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形是相似多邊形，錯誤，對應(yīng)角不一定相等，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．5．（2023秋?高新區(qū)校級期中）大自然巧奪天工，一片樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），如果AB的長度為10cm，那么BP的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故選：B．6．（2023秋?常州期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝3，c＝5，d＝ B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a(chǎn)＝，b＝3，c＝2，d＝ D．a(chǎn)＝2，b＝，c＝2，d＝【答案】D【解答】解：A、×5≠3×4，故此選項(xiàng)不符合題意；B、1×4≠2×3，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)符合題意，故選：D．7．（2023秋?朝陽期中）如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，則下列角的度數(shù)正確的是（）A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．故選：A．8．（2023秋?黃島區(qū)期中）按照如下步驟進(jìn)行作圖：如圖，已知線段AB，過點(diǎn)B作BD⊥AB，使，連接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：設(shè)BD＝DE＝a，∵BD＝AB，∴AB＝2BD＝2a，∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°，∴AD＝＝＝a，∴AE＝AD﹣DE＝a﹣a＝（﹣1）a，∵AC＝AE，∴AC＝（﹣1）a，∴＝＝，故選：B．9．（2023秋?澤州縣期中）如圖，小康利用復(fù)印機(jī)將一張長為5cm，寬為3cm的矩形圖片放大，其中放大后的長為10cm，則放大后的矩形的面積為（）A．60cm2 B．58cm2 C．56cm2 D．50cm2【答案】A【解答】解：設(shè)放大后的寬是xcm，∵放大前后的兩個矩形相似，∴5：10＝3：x，∴x＝6，∴放大后的寬是6cm，放大后的矩形的面積＝10×6＝60（cm2）．故選：A．10．（2023春?桓臺縣期末）若兩個相似多邊形的相似比為1：2，則它們周長的比為（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】B【解答】解：∵兩個相似多邊形的相似比為1：2，∴兩個相似多邊形周長的比等于1：2，故選：B．11．（2023?蔚縣校級模擬）把一根鐵絲首尾相接