2024年大學(xué)試題(理學(xué))-數(shù)值分析考試近5年真題集錦（頻考類試題）帶答案

（圖片大小可自由調(diào)整）2024年大學(xué)試題(理學(xué))-數(shù)值分析考試近5年真題集錦（頻考類試題）帶答案第I卷一.參考題庫(kù)(共100題)1.用牛頓法求方程x2-3x-1=0在[1,2]之間的近似根 （1）請(qǐng)指出為什么初值應(yīng)取2？ （2）請(qǐng)用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.2.對(duì)于初值問(wèn)題，證明當(dāng)h<0.2時(shí)，歐拉公式絕對(duì)穩(wěn)定。3.設(shè)方程組 試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?.求方程x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式，取初始值x0=1，那么x1=（）。5.試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程組的收斂性問(wèn)題： 6.設(shè)（1）方程f（x）=0有根x*： （2）對(duì)一切x∈R，f’（x）存在且，證明對(duì)于任意的λ∈（0，2/m迭代格式是局部收斂的。7.用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量： 當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。8.下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？ 9.設(shè)一階差商f（x1，x2）==-3，f（x2，x3）=，則二階差商f（x1，x2，x3）=（）。10.分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分： 11.求證： （a）║x║∞≤║x║1≤n║x║∞； （b）12.用辛浦生公式計(jì)算積分近似值；13.遞推公式，如果取y0=≈1.41作計(jì)算，則計(jì)算到y(tǒng)0時(shí)，誤差為（），這個(gè)計(jì)算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定（）。14.求解方程組的高斯—塞德?tīng)柕袷綖椋ǎ?，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑ρ（M）=（）。15.已知用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）16.用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，要求誤差限為0.5×10-5。17.設(shè)∥A∥P,∥A∥q為Rn*n上任意兩種矩陣（算子）范數(shù)，證明存在常數(shù)c1,c2>0使得對(duì)一切A∈Rn*n均成立。18.對(duì)一元2次方程具有5位有效數(shù)字，求其具有5位有效數(shù)字的根。19.導(dǎo)出如下3個(gè)求積公式，并給出截?cái)嗾`差的表達(dá)式。 20.對(duì)于f（x）=0的牛頓公式， 證明收斂到，這里x*為f（x）=0的根。21.解初值問(wèn)題的改進(jìn)歐拉法是（）階方法。22.改變函數(shù)的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確（）。23.選取常數(shù)a，使達(dá)到極小，問(wèn)這個(gè)解是否唯一？24.已知一元方程x3-3x-1.2=0。 1）求方程的一個(gè)含正根的區(qū)間； 2）給出在有根區(qū)間收斂的簡(jiǎn)單迭代法公式（判斷收斂性）； 3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。25.π=3.14159...具有4位有效數(shù)字的近似值是多少？（有效數(shù)字的計(jì)算）26.設(shè)，則ρ（A）為（）。A、2B、5C、7D、327.分別描述R2中（畫圖）28.證明對(duì)于任意選擇的A，序列收斂于零29.用二分法求方程f（x）=x3-x-1=0在[1.0，1.5]區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根，誤差限。ε=10-230.設(shè)f（x）=4x5+2x4+3x2+1和節(jié)點(diǎn)xk=k/2，k=0，1，2...則f[x0，x1，...x5]=（）31.設(shè)f（x）=x4+3x3-1，在[0，1]上求三次最佳逼近多項(xiàng)式。32.用追趕法求解三對(duì)角方程組 33.已知f（-1）=2，f（1）=3，f（2）=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2（x）及f（1，5）的近似值，取五位小數(shù)。34.設(shè)，在?1≤x≤1上取n=20，按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)Ih（x），計(jì)算各相鄰節(jié)點(diǎn)間中點(diǎn)處的Ih（x）與f（x）的值，并計(jì)算誤差。35.設(shè)為Rn×n上任意兩種矩陣算子范數(shù)，證明存在常數(shù)c1，c2>0，使對(duì)一切A∈Rn×n滿足 36.已知方程組Ax=b，其中 （1）寫出該方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判斷兩種方法的收斂性，如果均收斂，說(shuō)明哪一種方法收斂更快。37.用二步法求解一階常微分方程初值問(wèn)題，問(wèn)：如何選擇參數(shù)，α，β的值，才使該方法的階數(shù)盡可能地高？寫出此時(shí)的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，并說(shuō)明該方法是幾階的。38.解常微分方程初值問(wèn)題的梯形格式是（）階方法。39.已知常微分方程的初值問(wèn)題： 用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y（1.2）的近似值，取步長(zhǎng)h=0.2。40.，則A的譜半徑ρ（A）=（），A的cound（A）1=（）。41.已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 求它的擬合曲線（直線）。42.數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值（x0，y0）（x1，y1）（x2，y2），則由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有f′（x1）=（）。43.試用最小二乘法，求解下列超定方程組： 44.設(shè)x*=2.3149541...，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=（）。45.對(duì)于給定的線性方程組 （1）討論雅可比迭代法與高斯-塞德?tīng)柕ǖ氖諗啃浴?（2）對(duì)收斂的方法，取初值，迭代兩次，求出。46.用梯形法解初值問(wèn)題y′=x2+x-y，y（0）=0取步長(zhǎng)h=0.1，計(jì)算到x=0.5，并與準(zhǔn)確解y=-e-x+x2-x+1相比較。47.有常微分方程的初值問(wèn)題，試用泰勒展開(kāi)法，構(gòu)造線性兩步法數(shù)值計(jì)算公式，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。48.舍入誤差是（）產(chǎn)生的誤差。A、只取有限位數(shù)B、模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C、觀察與測(cè)量D、數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值49.已知高斯求積公式將區(qū)間[0，1]二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分的近似值。50.已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(計(jì)算過(guò)程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）51.如有下列表函數(shù)： 則一次差商f[0.2，0.4]=（）52.用最小二乘法求一個(gè)形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合，并求均方誤差。 53.用二分法求非線性方程f（x）=0在區(qū)間（a，b）內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為（）。54.設(shè)Y0=28，按遞推公式計(jì)算到Y(jié)100，若取≈27.982（五位有效數(shù)字），試問(wèn)計(jì)算Y100將有多大誤差？55.迭代法收斂的充要條件是什么？如果能否說(shuō)明迭代法不收斂？用什么表示迭代法的收斂速度？56.求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求（保留四位小數(shù)）。57.設(shè)A為非奇異矩陣，且，求證（A+δA）-1存在且有估計(jì) 58.設(shè)A為對(duì)稱正定矩陣，且其分解為A=LDLT=WTW，其中W=D1/2LT，求證： 59.導(dǎo)出具有下列形式的3階方法： 60.證明61.以100，121，144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。62.設(shè)f（x）=（x-x0）（x-x1）…（x-xn）求之值，其中，而節(jié)點(diǎn)互異。（均差的計(jì)算）63.取h=0.25，用差分方法解邊值問(wèn)題。 64.用改進(jìn)的尤拉方法解 取步長(zhǎng)h=0.1計(jì)算y（0.5），并與準(zhǔn)確解y=-e-x+x2-x+1相比較。65.在[-1，1]上利用冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)求f（x）=sinx的3次逼近多項(xiàng)式，使誤差不超過(guò)0.005。66.設(shè)x*的相對(duì)誤差為2％，求（x*）n的相對(duì)誤差67.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求誤差<0.05。68.求參數(shù)a，b，使得計(jì)算初值問(wèn)題的二步數(shù)值方法的階數(shù)盡量高，并給出局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。69.已知f（1）=1.0，f（2）=1.2，f（3）=1.3，則用辛普生（辛卜生）公式計(jì)算求得≈（），用三點(diǎn)式求得f′（x）≈（）。70.構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式H（x），使它滿足條件（埃爾米特插值）。71.若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德?tīng)柕迹ǎ?2.設(shè)x的相對(duì)誤差為a%，求y=xn的相對(duì)誤差。（函數(shù)誤差的計(jì)算）73.若x1≈0.937具有3位有效數(shù)字，問(wèn)的相對(duì)誤差限是多？設(shè)的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。74.設(shè)A∈Rn×n，且ai1，aj1不全為零，Pij為使aj1（2）=0的平面旋轉(zhuǎn)陣，試推導(dǎo)計(jì)算PijA第i行，第j行元素公式及APTij第i列，第j列元素的計(jì)算公式。75.用辛普森公式求積分并計(jì)算誤差76.用插值極小化方法求在[1，2]上的二次插值多項(xiàng)式，并在[1，2]上估計(jì)誤差。 77.用牛頓法求方程xex-1=0的根，x0=0.5，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。78.設(shè)f（x）=C2[a，b]，且f（a）=f（b）=0，求證： 79.設(shè)A∈Rn*n，證明當(dāng)ρ（A）<1時(shí)，矩陣序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收斂，并求其極限。80.設(shè)li（x）是以xk=k（k=0，1，...，9）為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則=（）A、xB、kC、iD、181.若用復(fù)化辛浦生公式計(jì)算積分問(wèn)至少應(yīng)將區(qū)間[0，4]多少等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字？82.用Gauss消去法求解下列方程組。 83.如何選取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上與零偏差最?。縭是否唯一？84.計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差為1%，問(wèn)度量半徑R允許的相對(duì)誤差限是多少？85.證明解y’=f（x，y）的公式： 是二階的，并求出其局部截?cái)嗾`差。86.已知x=φ（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)只有一根，而當(dāng)a<x<b時(shí)，試問(wèn)如何將x=φ（x）化為適于迭代的形式？ 將x=tgx化為適于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。87.若誤差限為0.5×10-15，那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）88.用Romberg方法求，要求誤差不超過(guò)。從所取節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與上題結(jié)果比較中體會(huì)這2種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。89.利用尤拉方法計(jì)算積分 在點(diǎn)x=0.5，1，1.5，2的近似值。90.證明解y′=f（x，y）的下列差分公式 是二階的，并求出截?cái)嗾`差的首項(xiàng)。91.證明：若為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A非奇異。92.用下列方法計(jì)算積分比較結(jié)果 （1）龍貝格方法； （2）三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式； （3）將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。93.利用區(qū)間變換推出區(qū)間為[a，b]的伯恩斯坦多項(xiàng)式。94.方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根，把方程寫成3種不同的等價(jià)形式： 95.設(shè)x∈Rn。證明 96.用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的值。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。97.f（x）=x7+x4+3x+1，求f[20，21，...，27]及f[20，21，...，28]。98.用直接三角分解（Doolittle）法解方程組（不選主元）： 99.選擇a，使積分取得最小值100.設(shè)初值問(wèn)題 a）寫出由Euler方法、取步長(zhǎng)h=0.1解上述初值問(wèn)題數(shù)值解的公式； b）寫出由改進(jìn)Euler方法、取步長(zhǎng)h=0.1解上述初值問(wèn)題數(shù)值解的公式。第I卷參考答案一.參考題庫(kù)1.參考答案： 2.參考答案： 3.參考答案： （a）譜半徑ρ（B）=1.093>1，Jacobi迭代法不收斂； 矩陣A對(duì)稱正定，故Gauss-Seidel迭代法收斂。 （b）譜半徑ρ（B）=01，Gauss-Seidel迭代法不收斂。4.參考答案：1.55.參考答案：6.參考答案：7.參考答案： 8.參考答案： 按高斯消去法，A無(wú)法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，B第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，C可唯一分解。9.參考答案： 10.參考答案： 如下： 11.參考答案： 12.參考答案： 13.參考答案： ；不穩(wěn)定14.參考答案： ；15.參考答案： 16.參考答案： 如下： 17.參考答案：18.參考答案：19.參考答案：20.參考答案： 迭代函數(shù)為，且有 21.參考答案：222.參考答案： 23.參考答案： 原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別為 24.參考答案： 25.參考答案： 26.參考答案：C27.參考答案： 28.參考答案： 29.參考答案： 30.參考答案：431.參考答案： 則g（t）在[-1，1]上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為 作逆變換t=2x-1代入S（t），則f（x）在[0，1]上的三次最佳逼近多項(xiàng)式為 32.參考答案：33.參考答案： 如下： 34.參考答案：35.參考答案： 由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)a1，a2>0，使得，于是令c1=a1/a2>0，c2=a2/a1>0，則對(duì)任意A∈Rn×n，均有不等式 36.參考答案： （1）Jacobi迭代法的分量形式 37.參考答案： 局部截?cái)嗾`差為 38.參考答案：二39.參考答案： 如下： 40.參考答案： ；641.參考答案： 42.參考答案： 43.參考答案：44.參考答案：2.315045.參考答案： 46.參考答案： 用梯形法求解公式，得 47.參考答案： 48.參考答案：A49.參考答案： 50.參考答案： 51.參考答案：0.652.參考答案： 如下： 53.參考答案： 54.參考答案： 如下： 55.參考答案： 迭代法收斂的充要條件是ρ（B）時(shí)因不一定能使ρ（B）則迭代法收斂。56.參考答案： 如下： 57.參考答案： 58.參考答案： 59.參考答案：60.參考答案： 如下： 61.參考答案： 用Newton插值方法：差分表： 62.參考答案： 63.參考答案： 用差商逼近導(dǎo)數(shù)的方法把原邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)差分法方程組可得， 解此方程組可得 64